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【2026年人教版数学八下期末专题复习】
专题05：一次函数
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
2．将直线向下平移3个单位，得到的新直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，，都在直线上，则，，的大小关系为（）
A． B． C． D．
4．如图，直线的图象如图所示，那么不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费y（元）与用水量之间的函数关系如图所示，琪琪家5月份用水，应收水费（ ）
A．33元 B．39元 C．42元 D．46元
6．象棋是我国传统文化艺术的瑰宝，深受人们喜爱．小明在学习平面直角坐标系后，将如图所示的象棋盘与平面直角坐标系联系起来，若“相”的坐标为，“炮”的坐标为，则经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图象是（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，若一次函数对于除0之外的任意实数k，其图象都经过一个定点A，点与点A关于x轴对称，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
9．小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．2025年全国两会上“全民体重管理”首次被写入政府工作报告．一种计算成年人标准体重（单位：）的方法是：以厘米为单位量出身高值，再减常数105，所得差是的值．若当，则______．
12．已知函数，如果函数值，那么相应的自变量x的取值范围是______．
13．一次函数的图像经过点，则关于的方程的解为____________．
14．一次函数与的图象如图所示，则的解集是______．
15．定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________．
16．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为．点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________．
18．如图，正方形、…按照如图所示的方式放置，点、、、…和点、、、…分别在直线和x轴上，已知，，，则的坐标是______________．
三、解答题（本大题共7个小题，其19题6分，20—21题各8分，22—23题各10分，24—25题各12分，共计66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．已知函数是关于x的一次函数．求当时y的值．
20．已知关于的一次函数的图象经过原点．
(1)求该函数的表达式；
(2)若点在该函数图象上，求a的值．
21．如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，点的坐标是，是直线在x轴上方这部分上的一点，连接．
(1)试求出的值；
(2)求的面积．
22．【情境】某城市为鼓励市民节约用水，对居民生活用水实行阶梯水价．具体收费标准如下表：
月用水量（单位：立方米） 水价（元/立方米）
不超过15立方米的部分 3
超过15立方米但不超过25立方米的部分 5
超过25立方米的部分 7
【问题】
(1)当时，写出每月水费（元）与月用水量（立方米）之间的函数关系式；
(2)小海家上个月的水费为130元，请问小海家上个月的用水量是多少立方米？
23．某款手机在不同状态下的电量变化是不同的．
手机在正常连续使用模式时，剩余电量与使用时间x（分钟）之间是一次函数关系，其部分图像如图所示．手机在快速充电模式时，充电电量与充电时间t（分钟）之间满足正比例函数关系，10分钟可以充电．
(1)求正常使用状态下，剩余电量与使用时间x（分钟）之间的函数表达式，并写出自变量x取值范围；
(2)将手机电量充满至时开始正常使用，持续使用了180分钟．
①此时手机剩余电量是多少？
②若此时立即进入快速充电模式，如果手机要充到电量，需要充电多少分钟？
24．“开车时语音下单咖啡，车载自动预订电影票，通勤路上完成视频会议并自动生成会议纪要……”智能制造产业不仅提升了人们的生活品质，也刺激了大家的换车需求．某汽车销售公司购进一批新能源汽车进行销售，已知2辆A型汽车和5辆B型汽车的进价共240万元；5辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共239万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)该销售公司计划用不高于2650万元购进A、B两种型号的汽车共80辆，且A型汽车的数量不高于B型汽车数量的．若销售1辆A型汽车可获利为其进价，销售1辆B型汽车可获利2万元，为了回馈用户，销售公司决定分别将A、B汽车数量的降价销售，其中每辆A型汽车在原价的基础上降价0.5万元，每辆B型汽车降价后所获利润减少，当这一批汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
25．【综合与实践】
如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求点，点的坐标以及的面积；
(2)若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转（即）得到，此时点恰好落在直线上．
①求点和点的坐标；
②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由．
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【2026年人教版数学八下期末专题复习】
专题05：一次函数
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【答案】A
【分析】本题根据正比例函数的定义判断各选项即可，正比例函数的定义为：形如（为常数，且）的函数是关于的正比例函数．
【详解】首先明确正比例函数定义：形如（为常数，）的函数叫做正比例函数，
∵ 选项A中，，符合的形式，且，∴A是正比例函数；
∵ 选项B中，是反比例函数，不符合正比例函数形式，∴B错误；
∵ 选项C中，是一次函数，常数项为，不是正比例函数，∴C错误；
∵ 选项D中，整理得，常数项为，是一次函数，不是正比例函数，∴D错误．
因此选A．
2．将直线向下平移3个单位，得到的新直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵函数图象平移遵循“上加下减”的规律，原直线解析式为，向下平移个单位，
∴新直线的解析式为.
3．已知点，，都在直线上，则，，的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的斜率判断y随x的变化规律，再比较三个点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系．
【详解】解：∵直线解析式为，一次项系数，
∴随的增大而减小，
∵三个点的横坐标满足，
∴对应纵坐标满足，即．
4．如图，直线的图象如图所示，那么不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求不等式的解集即求直线在x轴下方（包括在x轴上的点）所对应的自变量的范围．
【详解】解：由图象可知当时，，
∴不等式的解集为．
5．自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费y（元）与用水量之间的函数关系如图所示，琪琪家5月份用水，应收水费（ ）
A．33元 B．39元 C．42元 D．46元
【答案】B
【分析】设当时，y关于x的函数关系式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后代入求解即可
【详解】解：设当时，y关于x的函数关系式为，
将、代入中，
则，
解得，
∴当时，y关于x的函数关系式为，
∴当时，．
6．象棋是我国传统文化艺术的瑰宝，深受人们喜爱．小明在学习平面直角坐标系后，将如图所示的象棋盘与平面直角坐标系联系起来，若“相”的坐标为，“炮”的坐标为，则经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先建立直角坐标系得出“兵”的坐标和“帅”的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可．
【详解】解：根据“相”的坐标为，“炮”的坐标为建立直角坐标系如下：
则“兵”的坐标为：和“帅”的坐标为：，
设经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图象是，
则，
解得，
故经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图象是．
7．在平面直角坐标系中，若一次函数对于除0之外的任意实数k，其图象都经过一个定点A，点与点A关于x轴对称，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】先整理一次函数解析式求出定点A的坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征得到的坐标，最后利用三角形面积公式计算结果.
【详解】解：∵，对于除0之外的任意实数k，其图象都经过一个定点A，
∴，解得：，
此时，
∴ 定点A的坐标为，
∵ 与A关于x轴对称，
∴的坐标为，
∴ ，
∵直线为，原点O到直线的距离为
∴ 的面积为.
8．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正比例函数图像所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图像所经过的象限，然后再判断即可．
【详解】解：当，正比例函数图像经过第一、三象限，则一次函数图像经过第一、三、四象限，故A选项错误，选项错误；
当，正比例函数图像经过第二、四象限，则一次函数图像经过第一、二、三象限，选项正确、C选项错误．
9．小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作交直线于点，延长交轴于点，连接，可证明，则可证明，得到，，即可得到；同理可证明，可得垂直平分，则，推出，得到；求出直线和直线的解析式，进而可求出点的坐标．
【详解】解：如图所示，过点作交直线于点，延长交轴于点，连接，
由题意得，，，
，
，
又 ，，
，
，，
，
，
；
同理可证明，
，
垂直平分，
；
是等腰直角三角形，
；
，
，
，
设直线的解析式为，则，
，
直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得，
点的坐标为，
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得，，进而，又根据，过点作于点，可得，则可求．
【详解】解：根据题意得：直线向右平移个单位长度时，直线经过点，此时直线的解析式为，
设直线与轴的交点为，与轴的交点为，
当时，，当时，，
则，
∴，
∴，
当直线经过点，点时，
设过点的直线与的交点为，过点的直线与的交点为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
根据函数图象得，
设直线分别与轴交于点，点，
则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．2025年全国两会上“全民体重管理”首次被写入政府工作报告．一种计算成年人标准体重（单位：）的方法是：以厘米为单位量出身高值，再减常数105，所得差是的值．若当，则______．
【答案】
【分析】先根据题意得出标准体重与身高的关系式，再代入计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意，可得，
将代入得，．
12．已知函数，如果函数值，那么相应的自变量x的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意，先求出函数值时对应的自变量的值，再结合一次函数的增减性即可求出时自变量的取值范围．
【详解】解：当时，，
移项得，
解得，
∵一次函数中，，
∴随的增大而增大，
∴当时，，
故答案为．
13．一次函数的图像经过点，则关于的方程的解为____________．
【答案】
【分析】方程的解是一次函数中，函数值时对应的自变量的值，已知一次函数图像经过点，即可得到方程的解．
【详解】解：∵一次函数的图像经过点，
∴当时，，
∴关于的方程的解为．
14．一次函数与的图象如图所示，则的解集是______．
【答案】
【详解】解：由图象可知，的解集，即的解集为.
15．定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________．
【答案】3
【分析】根据特征数的定义得到对应一次函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入点的坐标计算得到的值．
【详解】解：由题意得，特征数对应的一次函数为，
∵点在该一次函数图象上，
∴将代入函数解析式得，
解得．
16．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________．
【答案】3
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点计算，当时，值为点纵坐标，同理，当时，值为点横坐标，从而求得，，计算的面积．
【详解】当时，，
当时，，，
则，，
的面积．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为．点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________．
【答案】或
【分析】先求出，，，从而可得，再分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，分别求解即可得出结果．
【详解】解：在中，当时，，即，
当时，，解得，即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点在点左侧时，
∵，，
∴，
过点作，交直线于点，过点作轴，过点作于，过点作于，则，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入可得，
解得，
∴；
当点在点的右侧时，
作点关于直线的对称点，连接，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
18．如图，正方形、…按照如图所示的方式放置，点、、、…和点、、、…分别在直线和x轴上，已知，，，则的坐标是______________．
【答案】
【分析】先求出点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而可得点的坐标，归纳类推出一般规律即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
将点，代入直线得：，
解得，
∴，
∵，，
∴，，即，，
∴，即，
归纳类推得：点的横坐标为，纵坐标为，其中为正整数，
∴的坐标是．
三、解答题（本大题共7个小题，其19题6分，20—21题各8分，22—23题各10分，24—25题各12分，共计66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．已知函数是关于x的一次函数．求当时y的值．
【答案】当时，
【分析】根据一次函数的定义得到且，求出，求出函数解析式，再把代入函数解析式即可求解函数值．
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴且，
∴，
∴函数解析式为，
∴当时，．
20．已知关于的一次函数的图象经过原点．
(1)求该函数的表达式；
(2)若点在该函数图象上，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：
（1）将代入求解即可；
（2）将点代入（1）中求解的函数解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵关于的一次函数的图象经过原点，
∴将代入，
则，
解得
∴该函数的表达式为；
（2）解：若点在该函数图象上，
则，
解得．
21．如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，点的坐标是，是直线在x轴上方这部分上的一点，连接．
(1)试求出的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）待定系数法即可求解；
（2）代入可得的坐标即可求出三角形的面积．
【详解】（1）解：将点代入，
得，
解得：，
（2）解：由（1）可知，，
则直线，
将代入，
得，
解得：，
则，
∵点，
∴，
则．
22．【情境】某城市为鼓励市民节约用水，对居民生活用水实行阶梯水价．具体收费标准如下表：
月用水量（单位：立方米） 水价（元/立方米）
不超过15立方米的部分 3
超过15立方米但不超过25立方米的部分 5
超过25立方米的部分 7
【问题】
(1)当时，写出每月水费（元）与月用水量（立方米）之间的函数关系式；
(2)小海家上个月的水费为130元，请问小海家上个月的用水量是多少立方米？
【答案】(1)
(2)
30立方米
【分析】（1）根据每月的水费等于15立方米的水费加上立方米的水费，再加上超过25立方米的水费，然后整理得出关系式；
（2）将代入关系式得出答案即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，
即，
解得，
所以小海家上个月用水量是30立方米．
23．某款手机在不同状态下的电量变化是不同的．
手机在正常连续使用模式时，剩余电量与使用时间x（分钟）之间是一次函数关系，其部分图像如图所示．手机在快速充电模式时，充电电量与充电时间t（分钟）之间满足正比例函数关系，10分钟可以充电．
(1)求正常使用状态下，剩余电量与使用时间x（分钟）之间的函数表达式，并写出自变量x取值范围；
(2)将手机电量充满至时开始正常使用，持续使用了180分钟．
①此时手机剩余电量是多少？
②若此时立即进入快速充电模式，如果手机要充到电量，需要充电多少分钟？
【答案】(1)
(2)①；②分钟
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①把代入中求出的值即可得到答案；
②求出，再求出时x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设，
由题意得，，
∴，
∴；
（2）解：①在中，当时，，
∴此时手机剩余电量是；
②设，则，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴需要充电分钟．
24．“开车时语音下单咖啡，车载自动预订电影票，通勤路上完成视频会议并自动生成会议纪要……”智能制造产业不仅提升了人们的生活品质，也刺激了大家的换车需求．某汽车销售公司购进一批新能源汽车进行销售，已知2辆A型汽车和5辆B型汽车的进价共240万元；5辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共239万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)该销售公司计划用不高于2650万元购进A、B两种型号的汽车共80辆，且A型汽车的数量不高于B型汽车数量的．若销售1辆A型汽车可获利为其进价，销售1辆B型汽车可获利2万元，为了回馈用户，销售公司决定分别将A、B汽车数量的降价销售，其中每辆A型汽车在原价的基础上降价0.5万元，每辆B型汽车降价后所获利润减少，当这一批汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、38万元
(2)购进方案为A型号的汽车30辆，B型号的汽车50辆时，获得最大利润为137万元
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用，正确理解题意，建立方程或不等式组是解题的关键．
（1）设A、B两种型号的汽车每辆进价分别为x、y万元，根据“2辆A型汽车和5辆B型汽车的进价共240万元；5辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共239万元”建立二元一次方程组求解即可；
（2）设销售公司购进A型号的汽车a辆，则购进B型号的汽车辆，先建立不等式组求解的取值范围，设汽车全部售出后，利润为w万元，然后建立起关于的一次函数关系式，最后由一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A、B两种型号的汽车每辆进价分别为x、y万元
根据题意得，
解得，
答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、38万元．
（2）解：设销售公司购进A型号的汽车a辆，则购进B型号的汽车辆．
根据题意得，解得，
∵将A、B汽车数量的降价销售，
∴为的倍数，即的取值应为30，35，40，45，
设汽车全部售出后，利润为w万元，
∴
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，最大值为（万元）
此时购进方案为A型号的汽车30辆，B型号的汽车50辆时，获得最大利润为137万元．
25．【综合与实践】
如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求点，点的坐标以及的面积；
(2)若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转（即）得到，此时点恰好落在直线上．
①求点和点的坐标；
②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由．
【答案】(1)，，的面积为
(2)①，；②存在，，或
【分析】（1）分别令，求得的坐标，进而根据三角形的面积公式，求得的面积；
①根据题意过点作于点，利用全等三角形的判定先证，可求出、的长，进而即可得出点和点的坐标；
②根据题意设点的坐标为，分为边和为对角线两种情况考虑：当为边时，由，的坐标及点的横坐标可求出值，进而可得出点，的坐标；当为对角线时，由，的坐标及点的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出值，进而可得出点的值．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点
当时，，当时，
∴，，
∴
∴的面积为
（2）①过点作于点，
，，
．又，
，
，．
设，则点的坐标为，
点在直线上，
，
，
点的坐标为，点的坐标为．
②存在点的坐标为，或．
理由如下：
设点的坐标为．
分两种情况考虑，如图2所示：
当为边时，
点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为，
或，
或，
点的坐标为，点的坐标为；
当为对角线时，
点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为，
，
，
点的坐标为．
综上所述：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为，或．
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