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(共26张PPT)
26.2.3　二次函数y=ax2+bx
+c的图象和性质
第二十六章　26.2　二次函数的图象和性质
2026-2027学年人教版数学九年级上册
学习目标
1.能利用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，能识别抛物线y=ax2+bx+c的开口方向、对称轴、顶点坐标等.(重点)
2.能根据二次函数y=ax2+bx+c的图象理解二次函数y=ax2+bx+c的性质.(难点)
3.在利用二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质解决问题的过程中，体会数形结合的思想方法.
课堂引入
1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及其性质吗？
2.函数y=-4(x-2)2+1的图象与函数y=-4x2的图象有什么关系？
一、
利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象
问题　画出二次函数y=x2-6x+21的图象，你有几种画法？
解：方法一(利用图象的平移)：
∵配方，得y=x2-6x+21=(x-6)2+3，
∴先画出二次函数　 　的图象，然后把这个图象向右平移　　个单位长度，再向上平移　　个单位长度，则得到二次函数y=x2-6x+21的图象，如图1所示.
y=x2
6
3
方法二(直接描点画图)：
∵配方，得y=x2-6x+21=(x-6)2+3，
∴二次函数y=x2-6x+21的图象的开口向　　，对称轴为直线x=　　，顶点坐标为　 　.
列表如表.
x … 3 4 5 7 8 9 …
y=x2-6x+21 … 7.5 5 3.5 3.5 5 7.5 …
描点、连线，则得到二次函数y=x2-6x+21的图象，如图2所示.
上
6
(6，3)
6
3
知识梳理
1.利用配方法，二次函数y=ax2+bx+c可变形为y=a+，所以二次函数y=ax2+bx+c图象如表.
a的符号 a>0 a<0
开口方向 向___ 向___
顶点坐标 ______________
_______________
对称轴 ____________
____________
开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大 上
下
直线x=-
直线x=-
知识梳理
2.在利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，为了能反映函数图象的全貌，取点时要注意三点：①先确定图象的开口方向，对称轴，顶点；②取点时顶点必须取到，然后在顶点两侧按照相同的间隔对称取点；
③取点不能少于5个点.
例1　写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y=2x2-4x+5；(2)y=-x2+2x-3；(3)y=3x2+2x；(4)y=-2x2+8x-8.
解　如表.
开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2-4x+5 向上 直线x=1 (1，3)
y=-x2+2x-3 向下 直线x=1 (1，-2)
y=3x2+2x 向上 直线x=-
y=-2x2+8x-8 向下 直线x=2 (2，0)
反思感悟
确定二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标时，一般有两种方法，一是把函数解析式配方为y=a+的形式，进而根据二次函数y=a(x-h)2+k图象得到其顶点坐标；二是把二次函数y=ax2
+bx+c中a，b，c的值分别代入-中计算，即可得到其顶点坐标.
跟踪训练1　(1)将抛物线y=x2-6x+5先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为
A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-1)2-3
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-2
解析　y=x2-6x+5=(x-3)2-4，即抛物线的顶点坐标为(3，-4)，
把点(3，-4)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标为(4，-2)，
所以平移后得到的抛物线的解析式为y=(x-4)2-2.
√
(2)抛物线y=2x2+4x-7的顶点坐标为　 　.
解析　∵y=2x2+4x-7=2(x+1)2-9，
∴抛物线y=2x2+4x-7的顶点坐标为(-1，-9).
(-1，-9)
二、
二次函数y=ax2+bx+c的性质
知识梳理
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，可以得到二次函数y=ax2+bx+c的性质，如表.
a的符号 a>0 a<0
增减性 当x<-时，y随x的增大而 ； 当x>-时，y随x的增大而_____ 当x<-时，y随x的增大而 ；
当x>-时，y随x的增大而_____
最值 当x=-时，y有最 值， y最小值= 当x=-时，y有最 值，
y最大值=
减小
增大
增大
减小
小
大
例2　(2026·眉山东坡区期末)点P1(-1，y1)，P2，P3(6，y3)均在二次函数y=mx2-2mx+1(m>0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是
A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1
C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2
解析　根据已知条件可知，抛物线开口向上，对称轴为直线x=-=1，
∵1-(-1)=2，-1=，6-1=5，5>2>，
∴y3>y1>y2.
√
反思感悟
根据二次函数y=ax2+bx+c的性质比较函数值的大小的方法：①确定二次函数图象的开口方向与对称轴，由此得到函数值随x增大的变化情况；②比较x值的大小；③确定函数值的大小关系.
跟踪训练2　已知抛物线y=x2-2x-1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为
A.-2 B.-1
C.0 D.2
√
解析　∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2，
∴对称轴为直线x=1，
∵a=1>0，
∴抛物线的开口向上，
∴当0≤x<1时，y随x的增大而减小，
∴当x=0时，y=-1，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x=3时，y=9-6-1=2，
∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2.
课堂小结
1.抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是
A.(2，1) B.(2，5)
C.(-2，1) D.(-2，-5)
随堂演练
解析　∵y=x2-4x+5=(x-2)2+1，
∴抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是(2，1).
√
2.已知抛物线y=ax2+bx+c，y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误的是
随堂演练
x -1 0 1 2 3
y 1 3 4 3 m
A.m=1 B.当x<1时，y随x的增大而减小
C.顶点坐标为(1，4) D.开口向下
√
随堂演练
解析　由表可知，抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，4)，
∵x=1时，y=4最大，
∴抛物线开口向下，当x<1时，y随x的增大而增大，当x=3与x=-1时，y值相等，
∵x=-1时，y=1，
∴x=3时，y=m=1.
3.抛物线y=x2+bx+3的对称轴是直线x=2，则b的值等于
A.6 B.-6
C.4 D.-4
随堂演练
解析　∵y=x2+bx+3，∴a=1，
∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=2，
∴b=-4.
√
4.二次函数y=x2+6x+8的最小值是　　　　.
随堂演练
-1
解析　∵y=x2+6x+8=(x+3)2-1，
∴二次函数y=x2+6x+8的最小值是-1.
5.点P(-2，y1)和点Q(3，y2)分别为抛物线y=x2-4x+m上的两点，则y1______
y2.(填“>”“<”或“=”)
随堂演练
>
解析　因为抛物线的解析式为y=x2-4x+m，所以抛物线的对称轴为直线x=2，且开口向上.又因为2-(-2)=4，3-2=1，且4>1，所以y1>y2.
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