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(共26张PPT)
第1课时　二次函数y=ax2+k
的图象和性质
第二十六章　　26.2.2　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
2026-2027学年人教版数学九年级上册
学习目标
1.能利用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象，能确定抛物线y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标等.(重点)
2.能利用二次函数y=ax2+k的图象理解二次函数y=ax2+k的性质.(难点)
3.在利用二次函数y=ax2+k的图象和性质解决问题的过程中，体会数形结合的思想方法.
函数 y=ax2(a≠0) 图象 a>0 a<0

开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，0) 对称轴 y轴 课堂引入
课堂引入
函数增 减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大 当x<0时，y随x的增大而增大；
当x>0时，y随x的增大而减小
最值 当x=0时，y最小=0 当x=0时，y最大=0
a与抛 物线开 口关系 (1)二次项系数a的符号决定抛物线的开口方向： ①当a>0时，抛物线开口向上；②当a<0时，抛物线开口向下. (2)|a|的大小决定开口的大小： ①|a|越大，抛物线的开口越小；②|a|越小，抛物线的开口越大 一、
利用描点法画二次函数y=ax2+k的图象
问题　请利用描点法画二次函数y=ax2+k的图象.
提示　①列表：先取原点(0，0)，然后以原点为中心，以相同长度为间隔对称地向原点两侧选取x值，并计算出相应的函数值，列表.
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点.
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点，得到二次函数y=ax2+k的图象.
知识梳理
二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象特征：
a的符号 a>0 a<0 图象 k>0 k<0 k>0 k<0

开口方向 向____ 向___ 顶点坐标 _______ 对称轴 _____ 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大 上
下
(0，k)
y轴
例1　(课本P36“探究”改编)已知二次函数y1=-x2，y2=-x2+2，y3=-x2-2.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出上述函数的图象；
解　列表，
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y1 -6.25 -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 -6.25
y2 -4.25 -2 -0.25 1 1.75 2 1.75 1 -0.25 -2 -4.25
y3 -8.25 -6 -4.25 -3 -2.25 -2 -2.25 -3 -4.25 -6 -8.25
描点、连线，画出的函数图象如图所示.
(2)根据(1)中画出的函数图象，指出各图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解　各图象的开口方向、对称轴、顶点坐标如表.
y1 y2 y3
开口方向 向下 向下 向下
对称轴 y轴 y轴 y轴
顶点坐标 (0，0) (0，2) (0，-2)
反思感悟
抛物线y=ax2+k与y=ax2的关系
跟踪训练1　嘉嘉绘制抛物线y=2x2+1时，将“2”看成了“3”，和原图象相比，发生改变的是
A.开口方向 B.对称轴
C.开口大小 D.顶点
√
解析　抛物线y=2x2+1和y=3x2+1的开口都向上，A项不符合题意；
抛物线y=2x2+1和y=3x2+1的对称轴都是直线x=0，B项不符合题意；
抛物线y=2x2+1和y=3x2+1中的3>2，则抛物线y=2x2+1的开口大于抛物线y=3x2+1的开口，C项符合题意；
抛物线y=2x2+1和y=3x2+1的顶点坐标都是(0，1)，D项不符合题意.
二、
二次函数y=ax2+k的性质
知识梳理
类比于探究二次函数y=ax2的性质的方法，根据二次函数y=ax2+k的图象，可以得到二次函数y=ax2+k的性质：
a的符号 a>0 a<0
增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小
最值 当x=0时，y有最小值，y最小值=k 当x=0时，y有最大值，y最大值=k
例2　下列关于二次函数y=-x2+3的图象的说法错误的是
A.对称轴是直线x=0
B.图象有最高点
C.顶点坐标是(0，3)
D.在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
解析　二次函数y=-x2+3的开口向下，图象有最高点，对称轴是直线x=0，顶点坐标为(0，3)，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，故选项D中说法错误.
√
反思感悟
在探究函数的性质时，要注意运用数形结合的思想方法，即当函数图象由左向右逐渐升高时，则函数值随x的增大而增大；当函数图象由左向右逐渐降低时，则函数值随x的增大而减小.由于函数图象具有简单直观的特点，所以根据函数图象的高低变化，即可得到函数值的增减情况.
跟踪训练2　对于抛物线y=3x2-1，下列说法不正确的是
A.开口向上
B.当x=0时，函数有最小值-1
C.当x<0时，y随x的增大而增大
D.与抛物线y=-3x2+1关于x轴对称
√
解析　由于3>0，则抛物线的开口方向向上，且顶点坐标是(0，-1)，当x=0时，函数有最小值-1，故A，B正确；
由于对称轴是y轴，抛物线的开口方向向上，则当x<0时，y随x的增大而减小，故C错误；
抛物线y=3x2-1与抛物线y=-3x2+1关于x轴对称，故D正确.
课堂小结
1.下列关于二次函数y=2x2+3的说法正确的是
A.图象的开口方向向下
B.图象的顶点坐标是(2，3)
C.当x<-1时，y随x的增大而增大
D.当x=0时，y有最小值3
随堂演练
√
2.下列各组抛物线中能够通过互相平移重合的是
A.y=2x2与y=3x2
B.y=2x2与y=x2+2
C.y=2x2+3与y=3x2+2
D.y=2x2与y=2x2-1
随堂演练
√
3.y=ax2+c与y=-3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0，2)，则该抛物线的函数解析式是　　　　　　　　.
随堂演练
y=3x2+2
4.已知y关于x的函数y=m+3为二次函数，若其函数图象有最低点，则函数的解析式为　　　　　.
随堂演练
y=4x2+3
解析　由题意得m2-3m-2=2且m≠0，解得m1=-1，m2=4.由函数图象有最低点，得m>0，综上可得，m=4，此时函数解析式为y=4x2+3.
5.已知点(2，y1)，(-3，y2)均在抛物线y=-x2+m上，则y1，y2的大小关系为
　　　　　.
随堂演练
y1>y2
解析　∵二次函数的解析式为y=-x2+m，
∴抛物线的对称轴为直线x=0，图象开口向下，
∵点(2，y1)，(-3，y2)均在抛物线y=-x2+m上，点(-3，y2)离直线x=0远，点(2，y1)离直线x=0近，
∴y1>y2.
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