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专题1　集合、不等式
第1练　集合中的新定义问题
(分值：42分)
解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法；归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.若数集A={a1，a2，…，an}(1≤a1A.{1，3，4}为“权集”
B.{1，2，3，6}为“权集”
C.“权集”中元素个数一定是有限个
D.“权集”中一定有1
2.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
3.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A={-1，2}，B={x|ax2=2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为(　　)
A. B.{0，2}
C. D.
4.若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记Δ(X)=M-m.下列命题中正确的是(　　)
A.已知X={-1，1}，Y={0，b}，且Δ(X)=Δ(Y)，则b=2
B.已知X={x|f(x)≥g(x)，x∈[-1，1]}，若Δ(X)=2，则对任意的x∈[-1，1]，都有f(x)≥g(x)
C.已知X=[a，a+2]，Y={y|y=x2，x∈X}，则存在实数a，使得Δ(Y)<1
D.已知X=[a，a+2]，Y=[b，b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得Δ(X∪Y)≤3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x+y∈A，x-y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集.下列叙述中，正确的为(　　)
A.集合A={-2，-1，0，1，2}为封闭集
B.集合A={n|n=2k，k∈Z}为封闭集
C.封闭集一定是无限集
D.若A为封闭集，则一定有0∈A
6.规定：在整数集Z中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为[k]，即[k]={7n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，5，6，则下列结论正确的是(　　)
A.2 026∈[3]
B.-3∈[3]
C.若整数a，b属于同一“家族”，则a-b∈[0]
D.若a-b∈[0]，则整数a，b属于同一“家族”
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.设集合U={1，2，3}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将集合U的全部子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是　　　　　　.
8.已知集合M={1，2，3，4，5}，A M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0，设集合A的累积值为S.
(1)若S=3，则这样的集合A共有　　　　个；
第1练　集合中的新定义问题
(分值：42分)
解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法；归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.若数集A={a1，a2，…，an}(1≤a1A.{1，3，4}为“权集”
B.{1，2，3，6}为“权集”
C.“权集”中元素个数一定是有限个
D.“权集”中一定有1
答案　B
解析　对于A，因为3×4与均不属于数集{1，3，4}，所以A错误；
对于B，因为1×2，1×3，1×6，2×3都属于数集{1，2，3，6}，则其为“权集”，所以B正确；
对于C，举例A={x|x=2n，n∈N*}，由“权集”的定义易知其为“权集”，所以C错误；
对于D，举例{2，3，6}，因为2×3都属于数集{2，3，6}，则其为“权集”，
所以“权集”中不一定有1，所以D错误.
2.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
答案　B
解析　当|A|=1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；
当|A|=2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}；
当|A|=3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}，
综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.
3.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A={-1，2}，B={x|ax2=2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为(　　)
A. B.{0，2}
C. D.
答案　C
解析　当a=0时，B= ，此时B A，即两个集合构成“鲸吞”；
当a>0时，B=
此时两个集合不能构成“鲸吞”，则两个集合构成“蚕食”，所以=2或-=-1，
解得a=或a=2，
当a=时，B={-2，2}，两个集合构成“蚕食”，
当a=2时，B={-1，1}，两个集合构成“蚕食”，
综上可得，a的取值集合为.
4.若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记Δ(X)=M-m.下列命题中正确的是(　　)
A.已知X={-1，1}，Y={0，b}，且Δ(X)=Δ(Y)，则b=2
B.已知X={x|f(x)≥g(x)，x∈[-1，1]}，若Δ(X)=2，则对任意的x∈[-1，1]，都有f(x)≥g(x)
C.已知X=[a，a+2]，Y={y|y=x2，x∈X}，则存在实数a，使得Δ(Y)<1
D.已知X=[a，a+2]，Y=[b，b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得Δ(X∪Y)≤3
答案　D
解析　A选项，由X={-1，1}，Y={0，b}，可得Δ(X)=2，Δ(Y)=|b|，
因为Δ(X)=Δ(Y)，所以|b|=2，b=±2，故A错误；
B选项，由Δ(X)=2知，-1∈X且1∈X，
则f(1)≥g(1)且f(-1)≥g(-1)，
但是f(0)≥g(0)不一定成立，例如f(x)=x2-1，g(x)=0，故B错误；
C选项，由X=[a，a+2]，Y={y|y=x2，x∈X}，
当a+2≤0，即a≤-2时，Δ(Y)=a2-(a+2)2=-4a-4≥4；
当-2当-11；
当a≥0时，可得Δ(Y)=(a+2)2-a2=4a+4≥4，
所以不存在实数a，使得Δ(Y)<1，故C错误；
D选项，由X=[a，a+2]，Y=[b，b+3]，取b=a，
可得Δ(X∪Y)=3，对任意实数a，总存在实数b使之成立，故D正确.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x+y∈A，x-y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集.下列叙述中，正确的为(　　)
A.集合A={-2，-1，0，1，2}为封闭集
B.集合A={n|n=2k，k∈Z}为封闭集
C.封闭集一定是无限集
D.若A为封闭集，则一定有0∈A
答案　BD
解析　对于A，在集合A={-2，-1，0，1，2}中，
-2-2=-4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误；
对于B，集合A={n|n=2k，k∈Z}，设x，y∈A，则x=2k1，y=2k2，k1，k2∈Z，∴x+y=2(k1+k2)∈A，x-y=2(k1-k2)∈A，xy=4k1k2∈A，∴集合A={n|n=2k，k∈Z}为封闭集，故B正确；
对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；
对于D，若A为封闭集，则取x=y，得x-y=0∈A，故D正确.
6.规定：在整数集Z中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为[k]，即[k]={7n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，5，6，则下列结论正确的是(　　)
A.2 026∈[3]
B.-3∈[3]
C.若整数a，b属于同一“家族”，则a-b∈[0]
D.若a-b∈[0]，则整数a，b属于同一“家族”
答案　ACD
解析　对于A，因为2 026=289×7+3，所以2 026∈[3]，故A正确；
对于B，因为-3=7×(-1)+4，所以-3∈[4]，故B错误；
对于C，若整数a与b属于同一“家族”，设a，b∈[k]，k=0，1，2，3，4，5，6，则a=7n1+k(n1∈Z)，b=7n2+k(n2∈Z)，则a-b=7(n1-n2)∈[0](n1，n2∈Z)，故C正确；
对于D，若a-b∈[0]，设a-b=7n，n∈Z，
则a=7n+b，n∈Z，不妨令b=7m+k，m∈Z，
k=0，1，2，3，4，5，6，则a=7m+7n+k=7(m+n)+k，m∈Z，n∈Z，m+n∈Z，所以整数a与b属于同一“家族”，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.设集合U={1，2，3}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将集合U的全部子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是　　　　　　.
答案　{1，3}
解析　集合U={1，2，3}，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，
结果为 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，
所以将集合U的全部子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是{1，3}.
8.已知集合M={1，2，3，4，5}，A M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0，设集合A的累积值为S.
(1)若S=3，则这样的集合A共有　　　　个；
(2)若S为偶数，则这样的集合A共有　　　　个.
答案　(1)2　(2)25
解析　(1)根据题意，M={1，2，3，4，5}，A M，结合“累积值”规定可知，
当S=3时，集合A可以为{3}或{1，3}，共2个.
(2)由题意知M={1，2，3，4，5}，A M，则集合A共有25=32(个).
当S为奇数时，共有S=1，3，5，15四种情况，
当S=1时，A={1}；
当S=3时，A={3}或{1，3}；
当S=5时，A={5}或{1，5}；
当S=15时，A={3，5}或{1，3，5}，
故当S为偶数时，集合A共有32-7=25(个).第2练　基本不等式
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知0A. B. C. D.
2.若x>则函数f(x)=x+的最小值为(　　)
A.2 B.2+1
C.4 D.
3.已知x<3，则的最小值为(　　)
A.-1 B.7 C.-3 D.2
4.已知a>0，b>0，且ab+2a+b-3=0，则a+b的最小值为(　　)
A. B.
C.2-3 D.2-3
5.已知x>0，y>0，且+=1，若2x+yA.(-∞，-1)∪(9，+∞)
B.(-∞，-1]∪[9，+∞)
C.(-9，-1)
D.[-9，-1]
6.已知a，b∈R，若的最大值为m，且关于x的不等式x2-ax+b<0的解集为(1，2m)，则a+b等于(　　)
A.3 B.43 C.7 D.11
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.a2+b2≥8 B.≥
C.≥2 D.+≤1
8.(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2+y2-xy=1，则(　　)
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.函数y=(x>-1)的最小值为　　　　.
10.已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m+n=1，则+的最小值为　　　.
第2练　基本不等式
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知0A. B. C. D.
答案　C
解析　∵0∴1-2x>0 ，
∴x(1-2x)=×2x(1-2x)≤×=
当且仅当2x=1-2x ，即x=时等号成立，
因此，函数y=x(1-2x)的最大值为.
2.若x>则函数f(x)=x+的最小值为(　　)
A.2 B.2+1
C.4 D.
答案　D
解析　因为x>所以2x-1>0，
所以f(x)=x+=(2x-1)++≥2+=当且仅当(2x-1)=即x=时等号成立，
所以函数f(x)=x+的最小值为.
3.已知x<3，则的最小值为(　　)
A.-1 B.7 C.-3 D.2
答案　A
解析　因为x<3，所以3-x>0，
设t=3-x，则t>0，
==
=≥=-1，
当且仅当t=即t=2，x=1时取等号.
所以的最小值为-1.
4.已知a>0，b>0，且ab+2a+b-3=0，则a+b的最小值为(　　)
A. B.
C.2-3 D.2-3
答案　C
解析　由ab+2a+b-3=0，得a=
则a+b=+b=+b-1=+(b+2)-3≥2-3=2-3，
当且仅当a=-1，b=-2时取等号.
所以a+b的最小值为2-3.
5.已知x>0，y>0，且+=1，若2x+yA.(-∞，-1)∪(9，+∞)
B.(-∞，-1]∪[9，+∞)
C.(-9，-1)
D.[-9，-1]
答案　A
解析　因为x>0，y>0，且+=1，
所以2x+y=(2x+y)=5++≥
5+2=9，
当且仅当=且+=1，即x=y=3时取等号，此时2x+y取得最小值9，
若2x+y9或m<-1，
即实数m的取值范围为(-∞，-1)∪(9，+∞).
6.已知a，b∈R，若的最大值为m，且关于x的不等式x2-ax+b<0的解集为(1，2m)，则a+b等于(　　)
A.3 B.43 C.7 D.11
答案　D
解析　根据不等式xy≤可得·≤=(a2+b2)，
当且仅当4a2+b2=a2+4b2，即a2=b2时等号成立，
所以≤所以m=
所以关于x的不等式x2-ax+b<0的解集为(1，5).
根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可知，
1和5是关于x的方程x2-ax+b=0的两个根，
所以有所以a+b=11.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.a2+b2≥8 B.≥
C.≥2 D.+≤1
答案　AB
解析　由题意可得，16=(a+b)2=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=4ab，当且仅当a=b=2时，等号成立，所以ab≤4，则2ab≤8，所以a2+b2=16-2ab≥16-8=8，故A正确；
因为4=a+b≥2当且仅当a=b=2时，等号成立，所以≤2，ab≤4，因为a>0，b>0，所以ab>0，所以≥故B正确；
由选项B可知≤2，故C错误；
因为+=
=≥×(2+2)=1，当且仅当a=b=2时，等号成立，故D错误.
8.(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2+y2-xy=1，则(　　)
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
答案　BC
解析　因为ab≤≤(a，b∈R)，
由x2+y2-xy=1可变形为
(x+y)2-1=3xy≤3
解得-2≤x+y≤2，
当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，
当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；
由x2+y2-xy=1可变形为
(x2+y2)-1=xy≤
解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确；
因为x2+y2-xy=1可变形为
+y2=1，
设x-=cos θy=sin θ，
所以x=cos θ+sin θ，y=sin θ，
因此x2+y2=cos2θ+sin2θ+sin θcos θ=1+sin 2θ-cos 2θ+
=+sin∈
所以当x=y=-时满足x2+y2=
所以x2+y2≥1不成立，所以D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.函数y=(x>-1)的最小值为　　　　.
答案　9
解析　因为x>-1，则x+1>0，
所以y=
=
=(x+1)++5
≥2+5=9，
当且仅当x+1=即x=1时等号成立，
所以函数的最小值为9.
10.已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m+n=1，则+的最小值为　　　.
答案　
解析　方法一　因为m≥0，n≥0，m+n=1，
所以m+2>0，n+1>0，
不妨设a=m+2>0，b=n+1>0，
则m=a-2，n=b-1，a+b=m+n+3=4，
则+=+
=+=a+b-6++
=+-2=(a+b)-2
=-2≥-2=
当且仅当a=2b，即m+2=2n+2，m=2n=时取等号，故+的最小值为.
方法二　+=+=m-2++n-1+
=+-2=·(m+2+n+1)×-2=-2
≥×(5+2)-2=
当且仅当m+2=2(n+1)，且m+n=1，
即m=n=时，等号成立，故+的最小值为.第3练　柯西不等式与权方和不等式
(分值：41分)
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1)·≥|ac+bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).
(2)·≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).
(3)(a+b)(c+d)≥(a，b，c，d≥0，当且仅当ad=bc时，等号成立).
3.二维形式的柯西不等式的向量形式
|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立).
4.一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，
当且仅当bi=0(i=1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1，2，…，n)时，等号成立.
二、权方和不等式
1.二维形式：已知x，y，a，b∈R+，则有+≥(当且仅当x∶y=∶时，等号成立).
2.一般形式：设ai，bi∈R+(i=1，2，…，n)，实数m>0，则≥当且仅当==…=时等号成立，称之为权方和不等式，m为该不等式的权，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.若++…+=1++…+=4，则a1b1+a2b2+…+anbn的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y满足+≥当且仅当=时等号成立.则函数f(x)=+的最小值为(　　)
A.16 B.25 C.36 D.49
3.已知a，b，c>0，且a+b+c=1，则++的最大值为(　　)
A. B.4 C. D.5
4.若sin x+cos y+sin(x+y)=2，则sin x的最小值是(　　)
A.0 B.2-
C.3- D.
5.已知正实数x，y满足x+y=1，则+的最小值为(　　)
A.10 B.15 C.24 D.27
二、多项选择题(共6分)
6.已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　)
A.a2+b2≥ B.2a-b>
C.log2a+log2b≥-2 D.+≤
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.若p，q，m，r，s，t为非零实数，p2+q2+m2=4，r2+s2+t2=9，pr+qs+mt=6，则=　　　　.
8.对任意x>1，y>+≥1恒成立，则实数a的最大值为　　　　.
第3练　柯西不等式与权方和不等式
(分值：41分)
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.若++…+=1++…+=4，则a1b1+a2b2+…+anbn的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(++…+)·(++…+)=4，
∴a1b1+a2b2+…+anbn≤2，当且仅当ai=bi(i=1，2，…，n)时，等号成立.
2.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y满足+≥当且仅当=时等号成立.则函数f(x)=+的最小值为(　　)
A.16 B.25 C.36 D.49
答案　D
解析　因为正数a，b，x，y满足+≥当且仅当=时等号成立，
又00，于是得f(x)=+≥=49，
当且仅当=即x=时，等号成立，
所以函数f(x)=+的最小值为49.
3.已知a，b，c>0，且a+b+c=1，则++的最大值为(　　)
A. B.4 C. D.5
答案　C
解析　由柯西不等式得(++)2=(1·+1·+1·)2≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=3[4(a+b+c)+3]=21，当且仅当a=b=c=时，取等号，故++的最大值为.
4.若sin x+cos y+sin(x+y)=2，则sin x的最小值是(　　)
A.0 B.2-
C.3- D.
答案　C
解析　由已知得sin x+cos y+sin xcos y+cos xsin y=2，
整理得2-sin x=(sin x+1)cos y+cos xsin y，
由柯西不等式得(sin x+1)cos y+cos xsin y
≤·
=
当且仅当(sin x+1)sin y=cos ycos x时取等号，
所以(2-sin x)2≤2+2sin x，
即sin2x-6sin x+2≤0，又-1≤sin x≤1，
解得3-≤sin x≤1，
所以sin x的最小值为3-.
5.已知正实数x，y满足x+y=1，则+的最小值为(　　)
A.10 B.15 C.24 D.27
答案　D
解析　设x=cos2α，y=sin2α，α∈
由权方和不等式，可知+=+≥=27，
当且仅当=即x=y=时取等号，所以+的最小值为27.
二、多项选择题(共6分)
6.已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　)
A.a2+b2≥ B.2a-b>
C.log2a+log2b≥-2 D.+≤
答案　ABD
解析　由柯西不等式(a2+b2)(1+1)≥(a+b)2，得a2+b2≥当且仅当a=b=时，等号成立，故A正确；利用分析法：要证2a-b>只需证明a-b>-1即可，即a>b-1.由于a>0，b>0，且a+b=1，所以a>0，-10，b>0，且a+b=1，利用柯西不等式(a+b)(1+1)≥(+)2，所以+≤
当且仅当a=b=时，等号成立，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.若p，q，m，r，s，t为非零实数，p2+q2+m2=4，r2+s2+t2=9，pr+qs+mt=6，则=　　　　.
答案　
解析　由柯西不等式得
(p2+q2+m2)(r2+s2+t2)≥(pr+qs+mt)2，
当且仅当==时，等号成立，
令=k(k∈R)，则=k，
将p=kr，q=ks，m=kt代入pr+qs+mt=6，
解得k=所以=.
8.对任意x>1，y>+≥1恒成立，则实数a的最大值为　　　　.
答案　2
解析　因为+≥1恒成立，
所以a2≤+对任意x>1，y>恒成立，所以a2≤
由题意x-1>0，2y-1>0，
+≥
设x+2y-2=t(t>0)，
则+≥
==t++4≥8，
当且仅当即时，两个等号同时成立.
所以a2≤8，-2≤a≤2故实数a的最大值为2.第4练　一元二次不等式
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.不等式≥0的解集为(　　)
A.
B.
C.∪[1，+∞)
D.∪(1，+∞)
2.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　)
A.a≤2 B.-2≤a≤2
C.-23.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价的方式来增加利润.已知这种商品每件的售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售单价应定为(　　)
A.12元 B.16元
C.12元到16元之间 D.10元到14元之间
4.当0A.∪(3，+∞)
B.(-∞，3)∪
C.
D.
5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若对于任意的x∈[1，3]，f(x)<-m+4恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A.m< B.0≤m<
C.m<0或06.已知关于x的不等式ax2+bx+4>0的解集为(-∞，m)∪其中m≤-2，则+的最小值为(　　)
A.-4 B.4 C.5 D.8
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4}，则下列说法正确的是(　　)
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4}
C.不等式cx2-bx+a<0的解集为
D.a+b+c>0
8.已知关于x的方程mx2-mx+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1A.m<0或m>4
B.若x1<0，则关于x的不等式mx2-mx+1>0的解集为{x|x1C.若x1>0，则+-(x1-x2)2的最小值为3
D.若x1<0，当x=时，函数y=mx2-mx+1取得最大值
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.设矩形ABCD(AB>BC)的周长为12+6把它沿对角线AC对折后，设AB交DC于点P，此时点B记作B'，如图所示，设AD=x，DP=y，则△ADP面积的最大值为　　　　.
10.若关于x的不等式x2-(2a+1)x+2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是　　　　　　　　　.
第4练　一元二次不等式
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.不等式≥0的解集为(　　)
A.
B.
C.∪[1，+∞)
D.∪(1，+∞)
答案　D
解析　由≥0，得解得x≤-或x>1.
2.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　)
A.a≤2 B.-2≤a≤2
C.-2答案　C
解析　当a=2时，原不等式化为-4<0，显然恒成立；当a≠2时，不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立，
则有a-2<0且Δ<0，
即解得-2综上可得，-23.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价的方式来增加利润.已知这种商品每件的售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售单价应定为(　　)
A.12元 B.16元
C.12元到16元之间 D.10元到14元之间
答案　C
解析　设销售单价应定为x元，利润为y元，
则y=(x-8)[100-10(x-10)]，
依题意有(x-8)[100-10(x-10)]>320，
即x2-28x+192<0，解得12所以销售单价应定为12元到16元之间.
4.当0A.∪(3，+∞)
B.(-∞，3)∪
C.
D.
答案　C
解析　当00，
不等式(x-3)[(1-a)x+(a-3)]<0可化为(x-3)<0，
因为-3==
且00，即>3，
解原不等式，得3所以原不等式的解集为.
5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若对于任意的x∈[1，3]，f(x)<-m+4恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A.m< B.0≤m<
C.m<0或0答案　A
解析　若对于任意的x∈[1，3]，f(x)<-m+4恒成立，即可知mx2-mx+m-5<0在x∈[1，3]上恒成立，
方法一　令g(x)=mx2-mx+m-5，对称轴为x=.当m=0时，-5<0恒成立；
当m<0时，有g(x)开口向下且在[1，3]上单调递减，∴在[1，3]上，g(x)max=g(1)=m-5<0，得m<5，故有m<0；
当m>0时，有g(x)开口向上且在[1，3]上单调递增，∴在[1，3]上，g(x)max=g(3)=7m-5<0，∴0综上，实数m的取值范围为m<.
方法二　即m<在x∈[1，3]上恒成立，令g(x)=则m又g(x)在[1，3]上单调递减，则m6.已知关于x的不等式ax2+bx+4>0的解集为(-∞，m)∪其中m≤-2，则+的最小值为(　　)
A.-4 B.4 C.5 D.8
答案　C
解析　由ax2+bx+4>0的解集为(-∞，m)∪则a>0，且m是关于x的方程ax2+bx+4=0的两个根，由根与系数的关系知
解得a=1，b=(-m)+≥4，当且仅当m=-2时等号成立，
故+=b+设f(b)=b+(b≥4)，
函数f(b)在b∈[4，+∞)上单调递增，
所以f(b)min=f(4)=4+=5，
所以+的最小值为5.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4}，则下列说法正确的是(　　)
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4}
C.不等式cx2-bx+a<0的解集为
D.a+b+c>0
答案　AC
解析　因为关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为(-∞，-3]∪[4，+∞)，
所以二次函数y=ax2+bx+c的开口方向向上，即a>0，故A正确；
且方程ax2+bx+c=0的两根为-3，4，由根与系数的关系得解得
则bx+c>0 -ax-12a>0，由于a>0，所以x<-12，
所以不等式bx+c>0的解集为{x|x<-12}，故B不正确；
因为
所以cx2-bx+a<0，即-12ax2+ax+a<0，
所以12x2-x-1>0，解得x<-或x>
所以不等式cx2-bx+a<0的解集为故C正确；
a+b+c=a-a-12a=-12a<0，故D不正确.
8.已知关于x的方程mx2-mx+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1A.m<0或m>4
B.若x1<0，则关于x的不等式mx2-mx+1>0的解集为{x|x1C.若x1>0，则+-(x1-x2)2的最小值为3
D.若x1<0，当x=时，函数y=mx2-mx+1取得最大值
答案　ABD
解析　易知m≠0且Δ=m2-4m>0，所以m<0或m>4，故A正确；
因为x1+x2=1，x1x2=x1<0，所以x2>0，m<0，所以关于x的不等式mx2-mx+1>0的解集为{x|x1因为x1>0，所以x2>0，m>0，故m>4，
所以+-(x1-x2)2=-(x1+x2)2+4x1x2=-1+4x1x2=m+-1≥3，
当且仅当m=2时，等号成立，又因为m>4，所以等号不成立，故C错误；
当x1<0时，m<0，二次函数y=mx2-mx+1的图象开口向下，且对称轴为直线x=所以当x=时，函数y=mx2-mx+1取得最大值，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.设矩形ABCD(AB>BC)的周长为12+6把它沿对角线AC对折后，设AB交DC于点P，此时点B记作B'，如图所示，设AD=x，DP=y，则△ADP面积的最大值为　　　　.
答案　
解析　由题意知△ADP≌△CB'P，而AD=x，DP=y，所以PC=PA=而矩形ABCD(AB>BC)的周长为12+6
则AD+DP+PC=x+y+=6+3≥2+=当且仅当x=y时等号成立，
又>0，可得0<≤3，
则010.若关于x的不等式x2-(2a+1)x+2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是　　　　　　　　　.
答案　
解析　令x2-(2a+1)x+2a=0，解得x=1或x=2a.当2a>1，即a>时，
不等式x2-(2a+1)x+2a<0的解集为{x|1当2a=1，即a=时，不等式x2-(2a+1)x+2a<0无解，所以a=不符合题意；
当2a<1，即a<时，不等式x2-(2a+1)x+2a<0的解集为{x|2a则-2≤2a<-1，解得-1≤a<-.
综上，a的取值范围是
.

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