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专题2　函　数
第5练　函数的值域
(分值：42分)
求函数的值域(最值)的常用方法
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
(3)数形结合法.
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.
(6)反解法：形如y=(ac≠0)型，或者通过换元转化为此类型的函数，可以转化为x=根据x的范围，列出关于y的不等式解出y的范围，即为值域.
(7)根的判别式法：把函数转化为关于x的二次方程F(x，y)=0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域.形如求函数y=(a1，a2不同时为0)的值域常用此法.
(8)不等式法(基本不等式和柯西不等式).
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.函数y=的值域是(　　)
A.[1，+∞) B.(0，1]
C.(-∞，1] D.(0，+∞)
2.已知函数f(x)=则f(x)在区间[2，4]上的最大值为(　　)
A. B.1 C. D.
3.函数y=1+x+的值域为(　　)
A.(-∞，2] B.(-∞，2)
C.(0，2) D.[2，+∞)
4.已知正实数x，y满足xy=x2+y2-12，则x+y的最大值是(　　)
A.24 B.12 C.4 D.2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知函数y=f(x)的定义域是R，值域为[1，2]，则下列四个函数中值域也为[1，2]的函数是(　　)
A.y=2f(x)-1
B.y=f(2x-1)
C.y=2f(x)-1
D.y=log2f(x+1)+1
6.下列函数中，值域正确的是(　　)
A.当x∈[0，3)时，函数y=x2-2x+3的值域为[2，6)
B.函数y=的值域为R
C.函数y=2x-的值域为
D.函数y=+的值域为[+∞)
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.若min{a，b}=则函数f(x)=min{-x2，-2x-3}的最大值为　　　　.
8.已知正实数a，b满足+≤a3+5a，则3a+2b的最小值是　　　　　.
第5练　函数的值域
(分值：42分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.函数y=的值域是(　　)
A.[1，+∞) B.(0，1]
C.(-∞，1] D.(0，+∞)
答案　B
解析　因为x2+1≥1，所以0<≤1，
因此，函数y=的值域是(0，1].
2.已知函数f(x)=则f(x)在区间[2，4]上的最大值为(　　)
A. B.1 C. D.
答案　D
解析　∵f(x)===2-在[2，4]上单调递增，
∴f(x)max=f(4)=.
3.函数y=1+x+的值域为(　　)
A.(-∞，2] B.(-∞，2)
C.(0，2) D.[2，+∞)
答案　A
解析　由题意y=1+x+=-)2++
令=t，t∈[0，+∞)，
则y=-t2+t+
由一元二次函数的图象和性质可知，y=-t2+t+在[0，1]上单调递增，在[1，+∞)上单调递减，
所以y≤-×12+1+=2，即函数y=1+x+的值域为(-∞，2].
4.已知正实数x，y满足xy=x2+y2-12，则x+y的最大值是(　　)
A.24 B.12 C.4 D.2
答案　C
解析　设x+y=t，则y=t-x，
因为xy=x2+y2-12，
所以x2+(t-x)2-x(t-x)-12=0，
即3x2-3tx+t2-12=0，
所以Δ=9t2-12(t2-12)=-3t2+144≥0，
解得-4≤t≤4
又因为x，y为正实数，
所以0所以x+y的最大值为4.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知函数y=f(x)的定义域是R，值域为[1，2]，则下列四个函数中值域也为[1，2]的函数是(　　)
A.y=2f(x)-1
B.y=f(2x-1)
C.y=2f(x)-1
D.y=log2f(x+1)+1
答案　BCD
解析　对于A，因为1≤f(x)≤2，则y=2f(x)-1∈[1，3]，A不满足条件；
对于B，对于函数y=f(2x-1)，2x-1∈R，则函数y=f(2x-1)的值域为[1，2]，B满足条件；
对于C，因为1≤f(x)≤2，则y=2f(x)-1∈[1，2]，C满足条件；
对于D，因为1≤f(x)≤2，f(x+1)∈[1，2]，则y=log2f(x+1)+1∈[1，2]，D满足条件.
6.下列函数中，值域正确的是(　　)
A.当x∈[0，3)时，函数y=x2-2x+3的值域为[2，6)
B.函数y=的值域为R
C.函数y=2x-的值域为
D.函数y=+的值域为[+∞)
答案　ACD
解析　对于A，(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2，
由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6).
对于B，(分离常数法)y===2+显然≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(-∞，2)∪(2，+∞).
对于C，(换元法)设t=则x=t2+1，且t≥0，∴y=2(t2+1)-t=2+
由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为.
对于D，函数的定义域为[1，+∞)，
∵y=与y=在[1，+∞)上均单调递增，∴y=+在[1，+∞)上为增函数，
∴当x=1时，ymin=即函数的值域为[+∞).
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.若min{a，b}=则函数f(x)=min{-x2，-2x-3}的最大值为　　　　.
答案　-1
解析　当-x2>-2x-3，即-1函数f(x)=min=-2x-3，
有f(x)当-x2≤-2x-3，即x≤-1或x≥3时，
函数f(x)=min=-x2，
其最大值为f(-1)=-1.
综上可知，函数f(x)的最大值为-1.
8.已知正实数a，b满足+≤a3+5a，则3a+2b的最小值是　　　　　.
答案　4-2
解析　设f(x)=x3+5x，x>0，则函数f(x)为增函数，
∵+≤a3+5a，
∴+≤a3+5a，
即f ≤f(a)，
∴a≥
∴3a+2b≥+2b=+2(b+1)-2≥2-2=4-2，
当且仅当a==2(b+1)，即a=b=-1时取等号.第6练　函数的单调性
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知函数f(x)=-x|x|+2x，则下列结论正确的是(　　)
A.单调递增区间是(0，+∞)
B.单调递减区间是(-∞，-1)
C.单调递增区间是(-∞，-1)
D.单调递增区间是(-1，1)
2.已知函数f(x)在[3，+∞)上单调递减，且f(x)的图象关于直线x=3对称，则a=f(0.2)，b=f(2)，c=f(0)的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
3.函数f(x)=在区间(-2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.(-2，+∞) D.(-∞，1)∪(1，+∞)
4.若函数f(x)=+ 在区间[a，b]上的值域为(b>a≥1)，则b-a等于(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
5.已知函数f(x)=若f(3m)>f(9-2m)，则m的取值范围为(　　)
A.m>9 B.m<9
C.m> D.m<
6.已知函数f(x)=ax2+x-3，若对任意的x1，x2∈[1，+∞)，且x1≠x2<3恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，1) B.(-∞，1]
C.(-∞，0) D.(-∞，0]
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)=下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)的单调递减区间为(2，+∞)
C.f(x)的值域为R
D.当x∈(-2，2)时，f(x)有最大值
8.已知函数f(x)=若f(x+a)≥f(x)恒成立，则实数a的取值可以是(　　)
A.2 B.-3 C.- D.-1
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)=在R上单调递减，则实数a的取值范围为　　　　.
10.已知f(x)=g(x)=ax+1，若任意的x1∈[2，4]，存在x2∈[-2，1]，使得g(x2)=f(x1)，则实数a的取值范围为　　　　　　　.
第6练　函数的单调性
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知函数f(x)=-x|x|+2x，则下列结论正确的是(　　)
A.单调递增区间是(0，+∞)
B.单调递减区间是(-∞，-1)
C.单调递增区间是(-∞，-1)
D.单调递增区间是(-1，1)
答案　D
解析　因为函数f(x)=-x|x|+2x=
作出函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，单调递增区间是(-1，1)，单调递减区间是(-∞，-1)和(1，+∞).
2.已知函数f(x)在[3，+∞)上单调递减，且f(x)的图象关于直线x=3对称，则a=f(0.2)，b=f(2)，c=f(0)的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
答案　D
解析　因为函数f(x)在[3，+∞)上单调递减，且f(x)的图象关于直线x=3对称，所以函数f(x)在(-∞，3)上单调递增，因为0<0.2<2<3，所以f(0)3.函数f(x)=在区间(-2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.(-2，+∞) D.(-∞，1)∪(1，+∞)
答案　B
解析　当a=0时，f(x)=在区间(-2，+∞)上单调递减，舍去；
当a≠0时，f(x)===a+
因为y=在区间(-2，+∞)上单调递减，函数f(x)=在区间(-2，+∞)上单调递增，所以1-2a<0，即a>.
4.若函数f(x)=+ 在区间[a，b]上的值域为(b>a≥1)，则b-a等于(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
答案　A
解析　函数f(x)=+在其定义域上为增函数，故f(a)=+= a=1或a=5，同理b=1或b=5，
∵b>a≥1，
∴a=1，b=5，故b-a=4.
5.已知函数f(x)=若f(3m)>f(9-2m)，则m的取值范围为(　　)
A.m>9 B.m<9
C.m> D.m<
答案　C
解析　作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可知，f(x)在R上为增函数，
由f(3m)>f(9-2m)可得3m>9-2m，解得m>.
6.已知函数f(x)=ax2+x-3，若对任意的x1，x2∈[1，+∞)，且x1≠x2<3恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，1) B.(-∞，1]
C.(-∞，0) D.(-∞，0]
答案　D
解析　方法一　不妨设1≤x13(x1-x2)恒成立，即f(x1)-3x1>f(x2)-3x2恒成立.
令g(x)=f(x)-3x=ax2-2x-3，
则g(x1)>g(x2)恒成立，所以函数g(x)在[1，+∞)上单调递减.
当a=0时，g(x)=-2x-3在[1，+∞)上单调递减，符合题意；
当a≠0时，要使g(x)=ax2-2x-3在[1，+∞)上单调递减，
则解得a<0.
综上所述，实数a的取值范围是(-∞，0].
方法二　因为<3，
所以<3，
即<3，
即a(x1+x2)<2，
又因为x1，x2∈[1，+∞)，且x1≠x2，
则x1+x2>2，
令x1+x2=t，即t∈(2，+∞)，
即at<2，即a<
令函数h(t)=t∈(2，+∞)，
由h(t)的图象(图略)可知，h(t)∈(0，1)，
因为a所以a≤0，即a的取值范围为(-∞，0].
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)=下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)的单调递减区间为(2，+∞)
C.f(x)的值域为R
D.当x∈(-2，2)时，f(x)有最大值
答案　AD
解析　对于A，函数f(x)=的定义域为{x|x≠±2}，关于原点对称，
且f(-x)===f(x)，所以f(x)为偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，故A正确；
对于B，当x∈(-∞，-2)∪(-2，0)时，f(x)==-
当x∈[0，2)∪(2，+∞)时，f(x)==
所以f(x)的单调递减区间为[0，2)和(2，+∞)，故B错误；
对于C，由函数解析式可得f(x)≠0，故C错误；
对于D，当x∈(-2，0)时，f(x)=-为增函数，f(x)当x∈[0，2)时，f(x)=为减函数，f(x)≤f(0)=-
所以当x∈(-2，2)时，f(x)的最大值为f(0)=-故D正确.
8.已知函数f(x)=若f(x+a)≥f(x)恒成立，则实数a的取值可以是(　　)
A.2 B.-3 C.- D.-1
答案　BC
解析　函数图象如图所示，
当a≥0时，x+a≥x，当x>2时，函数f(x)单调递减，有f(x+a)≤f(x)，显然f(x+a)≥f(x)不恒成立；当a<0时，f(0)=f(2)=1，f(1)=f(2.5)=0，f(x+a)的图象可看作是由f(x)的图象向右平移-a个单位长度得到的，要使f(x+a)≥f(x)恒成立，即f(x+a)的图象一直在f(x)图象的非下方，通过平移可发现，只需-a≥2 a≤-2，显然选项B，C符合.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)=在R上单调递减，则实数a的取值范围为　　　　.
答案　[1，+∞)
解析　显然y=-ln(x+1)在x∈[0，+∞)上单调递减，要使f(x)=在R上单调递减，
只需满足解得a≥1.
所以实数a的取值范围为[1，+∞).
10.已知f(x)=g(x)=ax+1，若任意的x1∈[2，4]，存在x2∈[-2，1]，使得g(x2)=f(x1)，则实数a的取值范围为　　　　　　　.
答案　∪
解析　当x∈[2，4]时，f(x)=
可知f(x)在[2，3]上单调递减，在(3，4]上单调递增，
所以f(x)在[2，3]上的值域为[3，4]，在(3，4]上的值域为
所以f(x)在[2，4]上的值域为
当a>0时，g(x)为增函数，g(x)=ax+1在[-2，1]上的值域为[-2a+1，a+1]，
所以解得a≥
当a<0时，g(x)为减函数，g(x)=ax+1在[-2，1]上的值域为[a+1，-2a+1]，所以解得a≤-
当a=0时，g(x)为常数函数，值域为{1}，不符合题意；
综上，a的取值范围是∪.第7练　函数的奇偶性
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x-1，则当x<0时，f(x)等于(　　)
A.2-x-x-1 B.2-x+x+1
C.-2-x-x-1 D.-2-x+x+1
2.设函数f(x)=x5+2x3+3x+1在区间[-2 025，2 025]上的最大值是M，最小值为m，则M+m等于(　　)
A.0 B.2 C.1 D.3
3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，+∞)上单调递减，f(-3)=0，则不等式f(x-1)>0的解集为(　　)
A.(-3，3)
B.(-∞，-2)∪(1，4)
C.(-∞，-4)∪(-1，2)
D.(-∞，-3)∪(0，3)
4.若f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=2x，则f(0)+g(1)等于(　　)
A.1 B.2 C. D.
5.已知函数f(x)=lg(|x|-1)+2x+2-x，则使不等式f(x+1)A.(-∞，-1)∪(1，+∞)
B.(-2，-1)
C.(-∞，-3)∪(1，+∞)
D.(-∞，-2)∪(1，+∞)
6.已知函数f(x)=是定义在R上的偶函数，则m-n等于(　　)
A.2 B.0 C.-2 D.-4
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列函数中，为奇函数的是(　　)
A.y=2x-2-x
B.y=ln(x+1)+ln(x-1)
C.y=
D.y=ln
8.已知函数f(x)的定义域为R，f(1)=4，且对任意实数m，n，有f(m+n)=f(m)+f(n)-2，当x>0时，f(x)>2.则下列结论正确的是(　　)
A.f(-1)=0
B.f(x)是R上的增函数
C.f(x)为偶函数
D.f(x)-2为奇函数
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2023·全国甲卷)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数，则a=　　　　.
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2时，有>0恒成立，f(2 026)=2 026，则不等式f(x)-x>0的解集为　　　　.
第7练　函数的奇偶性
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x-1，则当x<0时，f(x)等于(　　)
A.2-x-x-1 B.2-x+x+1
C.-2-x-x-1 D.-2-x+x+1
答案　D
解析　当x<0时，-x>0，f(-x)=2-x-x-1，
因为f(x)是奇函数，
所以f(x)=-f(-x)=-2-x+x+1.
2.设函数f(x)=x5+2x3+3x+1在区间[-2 025，2 025]上的最大值是M，最小值为m，则M+m等于(　　)
A.0 B.2 C.1 D.3
答案　B
解析　由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)=f(x)-1=x5+2x3+3x，则函数g(x)为奇函数，
∴g(x)在区间[-2 025，2 025]上的最大值与最小值之和为0，
即M-1+m-1=0，
∴M+m=2.
3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，+∞)上单调递减，f(-3)=0，则不等式f(x-1)>0的解集为(　　)
A.(-3，3)
B.(-∞，-2)∪(1，4)
C.(-∞，-4)∪(-1，2)
D.(-∞，-3)∪(0，3)
答案　B
解析　根据题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，+∞)上单调递减，
则f(x)在(-∞，0)上单调递减，
又由f(-3)=0，则f(3)=0，则函数f(x)的草图如图所示，
若f(x-1)>0，则有x-1<-3或0即不等式f(x-1)>0的解集为(-∞，-2)∪(1，4).
4.若f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=2x，则f(0)+g(1)等于(　　)
A.1 B.2 C. D.
答案　D
解析　f(x)+g(x)=2x， ①
则f(-x)+g(-x)=2-x，
又f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，∴-f(x)+g(x)=2-x， ②
①②两式相加除以2得g(x)=
相减除以2得f(x)=
∴f(0)=0，g(1)==
∴f(0)+g(1)=.
5.已知函数f(x)=lg(|x|-1)+2x+2-x，则使不等式f(x+1)A.(-∞，-1)∪(1，+∞)
B.(-2，-1)
C.(-∞，-3)∪(1，+∞)
D.(-∞，-2)∪(1，+∞)
答案　D
解析　由|x|-1>0得f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)，
f(-x)=lg(|x|-1)+2-x+2x=f(x)，故f(x)为偶函数，
而y=lg(|x|-1)，y=2x+在(1，+∞)上单调递增，
故f(x)在(1，+∞)上单调递增，
则f(x+1)解得x>1或x<-2.
6.已知函数f(x)=是定义在R上的偶函数，则m-n等于(　　)
A.2 B.0 C.-2 D.-4
答案　D
解析　当x>0时，-x<0，因为f(x)是偶函数，
所以有f(x)=f(-x) 21+x-21-x=m·2-x+n·2x 22x(2-n)=m+2，
要想x>0上式恒成立，
只需 m-n=-4，
当x<0时，-x>0，因为f(x)是偶函数，
所以有f(x)=f(-x) 21-x-21+x=m·2x+n·2-x 2-2x(2-n)=m+2，
要想x<0上式恒成立，
只需 m-n=-4，
综上所述，m-n=-4.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列函数中，为奇函数的是(　　)
A.y=2x-2-x
B.y=ln(x+1)+ln(x-1)
C.y=
D.y=ln
答案　ACD
解析　对于A，设f(x)=2x-2-x，定义域为R，f(-x)=-f(x)，为奇函数；
对于B，y=ln(x+1)+ln(x-1)，定义域为(1，+∞)，所以为非奇非偶函数；
对于C，作出函数的图象，如图实线部分所示，
根据图象可知，为奇函数；
对于D，设f(x)=ln定义域为R，f(x)+f(-x)=ln 1=0，
即f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.
8.已知函数f(x)的定义域为R，f(1)=4，且对任意实数m，n，有f(m+n)=f(m)+f(n)-2，当x>0时，f(x)>2.则下列结论正确的是(　　)
A.f(-1)=0
B.f(x)是R上的增函数
C.f(x)为偶函数
D.f(x)-2为奇函数
答案　ABD
解析　函数f(x)的定义域为R，对任意实数m，n满足f(m+n)=f(m)+f(n)-2，
令m=n=0，得f(0)=2f(0)-2，有f(0)=2，又f(1)=4，
令m=1，n=-1，得f(0)=f(1-1)=f(1)+f(-1)-2，解得f(-1)=0，故A正确；
当x>0时，f(x)>2，
设x10，f(x2-x1)>2，由x2=x2-x1+x1，
得f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)-2，
即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-2>0，
所以f(x1)若f(x)为偶函数，则f(1)=f(-1)，与f(1)=4，f(-1)=0矛盾，故C错误；
令n=-m，则f(0)-2=f(m-m)-2，即0=f(m)-2+f(-m)-2，
所以函数f(x)-2为奇函数，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2023·全国甲卷)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数，则a=　　　　.
答案　2
解析　∵f(x)=(x-1)2+ax+sin
=(x-1)2+ax+cos x=x2+(a-2)x+1+cos x，
且函数为偶函数，
∴a-2=0，解得a=2.
经验证，当a=2时满足题意.
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2时，有>0恒成立，f(2 026)=2 026，则不等式f(x)-x>0的解集为　　　　.
答案　(-2 026，0)∪(2 026，+∞)
解析　由>0，x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，
可得>0，
设函数g(x)=x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，
则g(x)在(0，+∞)上单调递增，
又因为f(x)为定义在R上的奇函数，即f(-x)=-f(x)，
则g(-x)===g(x)，
所以g(x)为偶函数，g(x)在(-∞，0)上单调递减，
而不等式f(x)-x>0
又因为f(2 026)=2 026，
所以g(2 026)=g(-2 026)=1，
所以不等式的解集为(-2 026，0)∪(2 026，+∞).第8练　函数的周期性与对称性
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-当x∈(2，4)时，f(x)=1+log3x，则f(99)等于(　　)
A.1 B.2 C.- D.-2
2.已知函数f(x)=ax2+2a是定义在[a，a+2]上的偶函数，又g(x)=f(x+2)，则gg(-2)，g(-3)的大小关系为(　　)
A.g(-2)>g(-3)>g
B.g(-3)>g>g(-2)
C.g(-2)>g>g(-3)
D.g>g(-3)>g(-2)
3.设函数f(x)=ax3-x-3+a，若函数f(x-1)的图象关于点(1，0)中心对称，则实数a等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.已知函数f(x-1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，当x∈[-1，1]时，f(x)=x-1，则f(2 025)等于(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.2
5.设定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=1对称，f(x+2)为奇函数，若f(1)+f(2)=2，则f(k)等于(　　)
A.0 B.2 C.4 D.2 025
6.已知函数f(x)在[-2，+∞)上单调递增，y=f(x-2)的图象关于y轴对称，若关于m的不等式f(m-1)-f(2m+1)<0成立，则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞，-2)∪(0，+∞)
B.(-2，0)
C.
D.(-∞，-2)∪
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且当x∈(2，3)时，f(x)=|2x-5|，则下列结论正确的有(　　)
A.函数f(x)的周期为2
B.函数f(x)在区间(-1，0)上单调递增
C.f(1)=0
D.f(2 025.5)=0
8.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.现已知函数f(x)=ax++a，则下列说法正确的是(　　)
A.函数y=f(x+1)-2a为奇函数
B.当a>0时，f(x)在(1，+∞)上单调递增
C.若方程f(x)=0有实根，则a∈(-∞，0)∪[1，+∞)
D.已知定义域为R的函数g(x)的图象关于点(1，1)中心对称，若a=且f(x)与g(x)的图象共有2 026个交点，记为Ai(xi，yi)(i=1，2，…，2 026)，则(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x2 026+y2 026)的值为4 052
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)的定义域为R，f(1-x)=f(x)，且f(x)在上单调递减，则关于x的不等式f(x+1)>f(2-3x)的解集为　　　　　　　.
10.已知函数f(x)是定义域为R且周期为4的奇函数，当x∈[0，2]时，f(x)=-x2+2x，g(x)=f(x)+f(x+1)，则g(x)的最大值为　　　　.
第8练　函数的周期性与对称性
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-当x∈(2，4)时，f(x)=1+log3x，则f(99)等于(　　)
A.1 B.2 C.- D.-2
答案　B
解析　因为f(x+2)=-
所以f(x+4)=-
=-=f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(99)=f(3+96)=f(3)=1+log33=2.
2.已知函数f(x)=ax2+2a是定义在[a，a+2]上的偶函数，又g(x)=f(x+2)，则gg(-2)，g(-3)的大小关系为(　　)
A.g(-2)>g(-3)>g
B.g(-3)>g>g(-2)
C.g(-2)>g>g(-3)
D.g>g(-3)>g(-2)
答案　C
解析　因为函数f(x)=ax2+2a是定义在[a，a+2]上的偶函数，所以a+a+2=0，
解得a=-1，
所以f(x)=-x2-2，x∈[-1，1]，
则g(x)=f(x+2)=-(x+2)2-2，x∈[-3，-1]，
所以g(x)图象的对称轴为直线x=-2，且g(x)在[-3，-2]上单调递增，在[-2，-1]上单调递减.
又g(-3)=g(-1)，-2<-<-1，
所以g(-2)>g>g(-1)，
即g(-2)>g>g(-3).
3.设函数f(x)=ax3-x-3+a，若函数f(x-1)的图象关于点(1，0)中心对称，则实数a等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案　B
解析　因为函数f(x-1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，即f(x)为奇函数，故f(-x)+f(x)=a(-x)3-(-x)-3+a+ax3-x-3+a=2a=0，所以a=0.
4.已知函数f(x-1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，当x∈[-1，1]时，f(x)=x-1，则f(2 025)等于(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.2
答案　C
解析　根据题意，函数f(x-1)是偶函数，
则函数f(x)的对称轴为x=-1，则f(x)=f(-2-x).
又由函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，
则有f(x)=-f(2-x)，
所以f(-2-x)=-f(2-x)，则f(x+4)=-f(x)，f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，
则函数f(x)是周期为8的周期函数，
所以f(2 025)=f(253×8+1)=f(1)=0.
5.设定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=1对称，f(x+2)为奇函数，若f(1)+f(2)=2，则f(k)等于(　　)
A.0 B.2 C.4 D.2 025
答案　B
解析　定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=1对称，则f(2-x)=f(x)，
由f(x+2)为奇函数，
得f(-x+2)=-f(x+2)，
于是f(x+2)=-f(x)，
f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
因此函数f(x)是以4为周期的周期函数，
由f(x+2)=-f(x)，
得f(1)+f(3)=f(2)+f(4)=0，
由f(-x+2)=-f(x+2)，得f(2)=0，
而f(1)+f(2)=2，则f(1)=2，
所以f(k)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=2.
6.已知函数f(x)在[-2，+∞)上单调递增，y=f(x-2)的图象关于y轴对称，若关于m的不等式f(m-1)-f(2m+1)<0成立，则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞，-2)∪(0，+∞)
B.(-2，0)
C.
D.(-∞，-2)∪
答案　D
解析　因为y=f(x-2)的图象关于y轴对称，则y=f(x)的图象关于直线x=-2对称，
又函数f(x)在[-2，+∞)上单调递增，所以f(x)在(-∞，-2]上单调递减，
由f(m-1)-f(2m+1)<0，
可得f(m-1)由函数的单调性以及对称性可得|(m-1)-(-2)|<|2m+1-(-2)|，
即|m+1|<|2m+3|，化简可得3m2+10m+8>0，解得m>-或m<-2，
则实数m的取值范围是
(-∞，-2)∪.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且当x∈(2，3)时，f(x)=|2x-5|，则下列结论正确的有(　　)
A.函数f(x)的周期为2
B.函数f(x)在区间(-1，0)上单调递增
C.f(1)=0
D.f(2 025.5)=0
答案　ACD
解析　因为函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，
故函数f(x)是周期函数，周期为2，故A选项正确；
由奇函数性质得，函数f(x)在区间(-1，0)与(0，1)上的单调性相同，由函数的周期性得函数f(x)在(0，1)上的单调性与在(2，3)上的单调性相同，因为当x∈(2，3)时，f(x)=|2x-5|=易知f(x)在(2，3)上不单调，故B选项错误；
由函数f(x)在R上是奇函数，则f(1)=-f(0)=0，故C选项正确；
由函数的周期性得，f(2 025.5)=f(1.5)=-f(0.5)=-f(0.5+2)=-f(2.5)=0，故D选项正确.
8.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.现已知函数f(x)=ax++a，则下列说法正确的是(　　)
A.函数y=f(x+1)-2a为奇函数
B.当a>0时，f(x)在(1，+∞)上单调递增
C.若方程f(x)=0有实根，则a∈(-∞，0)∪[1，+∞)
D.已知定义域为R的函数g(x)的图象关于点(1，1)中心对称，若a=且f(x)与g(x)的图象共有2 026个交点，记为Ai(xi，yi)(i=1，2，…，2 026)，则(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x2 026+y2 026)的值为4 052
答案　ACD
解析　对于A，因为f(x+1)-2a=a(x+1)++a-2a=ax+所以y=ax+是奇函数，故A正确；
对于B，因为f =a+2，f(2)=3a+1，所以f -f(2)=1-当0对于C，令f(x)=ax++a=0，显然x≠-1，所以a=因为1-x2∈(-∞，0)∪(0，1]，所以∈(-∞，0)∪[1，+∞)，故C正确；
对于D，由A可知，当a=时，f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，且g(x)的图象关于点(1，1)中心对称，所以这2 026个交点关于点(1，1)对称，故(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x2 026+y2 026)=(x1+x2+…+x2 026)+(y1+y2+…+y2 026)=2 026+2 026=4 052，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)的定义域为R，f(1-x)=f(x)，且f(x)在上单调递减，则关于x的不等式f(x+1)>f(2-3x)的解集为　　　　　　　.
答案　∪(1，+∞)
解析　因为f(1-x)=f(x)，
f =f =f
所以函数f(x)的图象关于直线x=对称，
又f(x)在上单调递减，
所以f(x)在上单调递增，作出f(x)的大致图象，如图，
结合草图可知，要使f(x+1)>f(2-3x)，则(x+1)到的距离小于(2-3x)到的距离，故不等式f(x+1)>f(2-3x)，
等价于<两边同时平方后整理得4x2-5x+1>0，解得x>1或x<.
10.已知函数f(x)是定义域为R且周期为4的奇函数，当x∈[0，2]时，f(x)=-x2+2x，g(x)=f(x)+f(x+1)，则g(x)的最大值为　　　　.
答案　
解析　因为y=f(x)是周期为4的函数，故y=f(x+1)也是周期为4的函数，
当x∈[0，2]时，f(x)=-x2+2x，
所以当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，故f(-x)=-f(x)=-(-x)2-2x，
所以当x∈[-2，0]时，f(x)=x2+2x，
当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，f(x-4)=f(x)=(x-4)2+2(x-4)，
所以当x∈[2，4]时，f(x)=x2-6x+8，
则当x∈[-2，-1)时，x+1∈[-1，0)，g(x)=f(x)+f(x+1)=x2+2x+(x+1)2+2(x+1)=2x2+6x+3，
当x∈[-1，0)时，x+1∈[0，1)，g(x)=f(x)+f(x+1)=x2+2x+[-(x+1)2+2(x+1)]=2x+1，
当x∈[0，1)时，x+1∈[1，2)，g(x)=f(x)+f(x+1)=-x2+2x-(x+1)2+2(x+1)=-2x2+2x+1，
当x∈[1，2]时，x+1∈[2，3]，g(x)=f(x)+f(x+1)=-x2+2x+(x+1)2-6(x+1)+8=-2x+3，
所以g(x)=
易知，g(x)也是周期为4的周期函数，在x=处有最大值，
故g(x)max=g=.第9练　函数的新定义问题
(分值：43分)
1.新定义问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
2.新定义问题的方法和技巧
(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解得较为透彻；
(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会新信息的本质特征与规律；
(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用课本中的概念.
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.对正整数n，函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名，故称欧拉函数.例如φ(8)=4，则φ等于(　　)
A.52 B.53 C.54 D.55
2.对于函数y=f(x)，若存在x0，使得f(x0)=-f(-x0)，则称点(x0，f(x0))与点(-x0，f(-x0))是函数f(x)的一对“隐对称点”，若函数f(x)=的图象存在“隐对称点”，则实数k的取值范围是(　　)
A.(-∞，2] B.[2，6]
C.[6，+∞) D.(-∞，2]∪[6，+∞)
3.一般地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb](k>0)，则称[a，b]为f(x)的“k倍跟随区间”；特别地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”.下列结论不正确的是(　　)
A.函数f(x)=x存在“跟随区间”
B.若[0，b]为f(x)=x2的“跟随区间”，则b=1
C.函数f(x)=1+存在“跟随区间”
D.二次函数f(x)=-x2+x存在“2倍跟随区间”
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
4.如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数是“[0，1]交汇函数”的是(　　)
A.y= B.y=
C.y=1-x2 D.y=
5.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数.如[1.2]=1，[2]=2，[-1.2]=-2.设f(x)=x-[x]，则下列结论正确的有(　　)
A.f(-1.1)=0.9
B.函数f(x)的图象关于原点对称
C.f(x+1)=f(x)+1
D.函数f(x)的值域为[0，1)
6.已知a，b∈R，定义运算“ ”：a b=设函数f(x)=2x+1 (2-4x)，x∈R，若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的值可以是(　　)
A.-1 B. C. D.1
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.我们用||x||表示实数x到离它最近的整数的距离，例如||-1||=0==则||x||的最大值是　　　　；对于函数f(x)=若满足f(x)=f(2x)，则f(x)有　　　　种可能的值.
8.设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意的x∈D，都有x+k∈D，且f(x+k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=|x-a|-2a，若f(x)为R上的“2 026型增函数”，则实数a的取值范围是　　　　　.
第9练　函数的新定义问题
(分值：43分)
1.新定义问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
2.新定义问题的方法和技巧
(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解得较为透彻；
(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会新信息的本质特征与规律；
(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用课本中的概念.
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.对正整数n，函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名，故称欧拉函数.例如φ(8)=4，则φ等于(　　)
A.52 B.53 C.54 D.55
答案　C
解析　因为log354+lo2
=log354-log32=log327=3，
所以φ=φ(81).
因为除了3的倍数外，其他数都与81互质，
所以φ(81)=81-=54.
2.对于函数y=f(x)，若存在x0，使得f(x0)=-f(-x0)，则称点(x0，f(x0))与点(-x0，f(-x0))是函数f(x)的一对“隐对称点”，若函数f(x)=的图象存在“隐对称点”，则实数k的取值范围是(　　)
A.(-∞，2] B.[2，6]
C.[6，+∞) D.(-∞，2]∪[6，+∞)
答案　A
解析　设g(x)为奇函数，且当x>0时，g(x)=kx+1，
则当x<0时，g(x)=kx-1，
则原问题转化为关于x的方程x2+4x=kx-1在(-∞，0)上有解，求k的取值范围问题.
由关于x的方程x2-(k-4)x+1=0在(-∞，0)上有解得
k≤2.
3.一般地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb](k>0)，则称[a，b]为f(x)的“k倍跟随区间”；特别地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”.下列结论不正确的是(　　)
A.函数f(x)=x存在“跟随区间”
B.若[0，b]为f(x)=x2的“跟随区间”，则b=1
C.函数f(x)=1+存在“跟随区间”
D.二次函数f(x)=-x2+x存在“2倍跟随区间”
答案　C
解析　对于A，因为f(x)=x在R上单调递增，所以对于x∈[a，b]，其值域为[a，b]，
由“跟随区间”的定义可知，函数f(x)=x存在无数个“跟随区间”，故A正确；
对于B，若[0，b]为f(x)=x2的“跟随区间”，且f(x)=x2的对称轴为直线x=0，
所以b2=b，解得b=1或b=0(舍)，故B正确；
对于C，假设f(x)=1+存在“跟随区间”[a，b]，
因为f(x)=1+在区间(-∞，0)，(0，+∞)上均单调递减，
则有则即a=b，又a故f(x)=1+不存在“跟随区间”，故C错误；
对于D，若函数f(x)=-x2+x存在“2倍跟随区间”，
设定义域为[a，b]，值域为[2a，2b]，
当a则a，b是方程-x2+x=2x的两个不相等的实数根，解得x=0或x=-2 ，
故存在定义域为[-2，0] 使得值域为[-4，0]，D正确.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
4.如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数是“[0，1]交汇函数”的是(　　)
A.y= B.y=
C.y=1-x2 D.y=
答案　BD
解析　由“[a，b]交汇函数”定义可知，“[0，1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0，1].
y=的定义域A=[0，+∞)，值域B=[0，+∞)，则A∩B=[0，+∞)，A错误；
y=的定义域A=(-∞，1]，值域B=[0，+∞)，则A∩B=[0，1]，B正确；
y=1-x2的定义域A=R，值域B=(-∞，1]，则A∩B=(-∞，1]，C错误；
y=的定义域A=[-1，1]，值域B=[0，1]，则A∩B=[0，1]，D正确.
5.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数.如[1.2]=1，[2]=2，[-1.2]=-2.设f(x)=x-[x]，则下列结论正确的有(　　)
A.f(-1.1)=0.9
B.函数f(x)的图象关于原点对称
C.f(x+1)=f(x)+1
D.函数f(x)的值域为[0，1)
答案　AD
解析　对于A，因为f(x)=x-[x]，
所以f(-1.1)=-1.1-[-1.1]=-1.1-(-2)=0.9，故A选项正确；
对于B，因为f(0.5)=0.5-[0.5]=0.5-0=0.5，f(-0.5)=-0.5-[-0.5]=-0.5-(-1)=0.5，
所以f(0.5)+f(-0.5)=1≠0，即函数f(x)的图象不关于原点对称，故B选项错误；
对于C，因为 x∈R， k∈Z，使得k≤x所以f(x+1)=x+1-[x+1]=x+1-(k+1)=x-k，f(x)=x-[x]=x-k，故C选项错误；
对于D，由C选项分析可知 x∈R，总有f(x+1)=f(x)，即f(x)是周期为1的周期函数，
不妨设0≤x<1，则此时有0≤f(x)=x-[x]=x-0=x<1，因此函数f(x)的值域为[0，1)，故D选项正确.
6.已知a，b∈R，定义运算“ ”：a b=设函数f(x)=2x+1 (2-4x)，x∈R，若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的值可以是(　　)
A.-1 B. C. D.1
答案　BC
解析　因为a b=
由2x+1-2+4x=(2x)2+2·2x-2≤1，
可得(2x)2+2·2x-3≤0，
即(2x+3)(2x-1)≤0，
因为2x+3>0，所以2x-1≤0，解得x≤0，
所以当x≤0时，f(x)=2x+1，
当x>0时，f(x)=2-4x.
即f(x)=
因为函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点，即函数y=f(x)与直线y=c的图象恰有两个公共点，
在同一平面直角坐标系中，作出函数y=f(x)，直线y=c的图象，如图所示，
由图象知，0三、填空题(每小题5分，共10分)
7.我们用||x||表示实数x到离它最近的整数的距离，例如||-1||=0==则||x||的最大值是　　　　；对于函数f(x)=若满足f(x)=f(2x)，则f(x)有　　　　种可能的值.
答案　　12
解析　由定义可知||x||≤故||x||的最大值为.
设x2=n+α，n∈N，α∈[0，1)，则f(x)=||x2||=||α||，f=||12(n+α)||=||12α||，
所以f(x)=f(2x) ||α||=||12α||，也就是α和12α的小数部分要么相同，要么和为1.
当α和12α的小数部分相同时，则12α-α=k，可得α=k∈N且k≤10，
所以f(x)==k1∈{0，1，2，…，5}，有6种可能的值；
当α和12α的小数部分和为1时，则12α+α=l，可得α=l∈N*且l≤12，
所以f(x)==l1∈{1，2，…，6}，有6种可能的值.
综上所述，f(x)有12种可能的值.
8.设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意的x∈D，都有x+k∈D，且f(x+k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=|x-a|-2a，若f(x)为R上的“2 026型增函数”，则实数a的取值范围是　　　　　.
答案　
解析　由已知f(x)是定义在R上的奇函数，
当x>0时，f(x)=|x-a|-2a，
当x<0时，f(x)=-f(-x)=-|-x-a|+2a=-|x+a|+2a，
则f(x)=
由f(x)为R上的“2 026型增函数”，
则f(x+2 026)>f(x)，
当x>0时，即|2 026+x-a|-2a>|x-a|-2a，即|x-(a-2 026)|>|x-a|，
根据绝对值的几何意义可知a+a-2 026<0，解得a<1 013；
当x=0时，|2 026-a|-2a>0，可知当a≤0时恒成立，当a>0时，可得0当x<0时，
①当x+2 026<0，即x<-2 026时，f(x+2 026)>f(x)，即-|x+2 026+a|+2a>-|x+a|+2a，化简可得|x+2 026+a|<|x+a|，
即-2 026-a-a>2×(-2 026)，即a<1 013；
②当x+2 026=0，即x=-2 026时，0>-|-2 026+a|+2a，可知当a≤0时恒成立，当a>0时，可得0③当x+2 026>0，即0>x>-2 026时，f(x+2 026)>f(x)，即|x+2 026-a|-2a>-|x+a|+2a，即|x+2 026-a|+|x+a|>4a，
可知当a≤0时恒成立，
当a>0时，|x+2 026-a|+|x+a|≥|2 026-2a|，即|2 026-2a|>4a，解得0综上所述，若f(x)为R上的“2 026型增函数”，
则a的取值范围为.第10练　二次函数与幂函数
(分值：45分)
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.“a≤3”是“函数f(x)=在区间[2，+∞)上单调递增”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知函数f(x)=x2-2x+a(a>0)，实数m满足f(m)<0，则下列关系一定成立的是(　　)
A.f(m+1)>0 B.f(m+2)>0
C.f(m-1)<0 D.f(m-2)<0
3.已知函数f(x)是定义在[a，b]内的连续函数，若对任意x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，都有f >恒成立，则称f(x)在[a，b]内是“上凸函数”.则在①f(x)=x-2，②f(x)=x3，③f(x)=这三个函数中，当1≤x1A.0 B.1 C.2 D.3
二、多项选择题(共6分)
4.关于x的方程(x2-2x)2-2(2x-x2)+k=0，下列命题正确的有(　　)
A.存在实数k，使得方程无实数根
B.存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实数根
C.存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实数根
D.存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实数根
三、填空题(每小题5分，共10分)
5.若(a+1<(2-a则实数a的取值范围为　　　　.
6.幂函数y=xm(m≠0)，当m取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA，则αβ=　　　　.
四、解答题(共14分)
7.(14分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式；(4分)
(2)若f(x)在区间[2a，2a+1]上不单调，求实数a的取值范围；(3分)
(3)当x∈时，f(x)>4mx+1恒成立，求实数m的取值范围.(7分)
第10练　二次函数与幂函数
(分值：45分)
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.“a≤3”是“函数f(x)=在区间[2，+∞)上单调递增”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由函数f(x)=在区间[2，+∞)上单调递增，得
解得a≤
所以“a≤3”是“函数f(x)=在区间[2，+∞)上单调递增”的必要不充分条件.
2.已知函数f(x)=x2-2x+a(a>0)，实数m满足f(m)<0，则下列关系一定成立的是(　　)
A.f(m+1)>0 B.f(m+2)>0
C.f(m-1)<0 D.f(m-2)<0
答案　B
解析　函数f(x)=x2-2x+a在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.
f(m)=m2-2m+a<0，
故m2-2m<-a<0，解得0m+2∈(2，4)，f(m+2)>f(2)=a>0，B正确；
m-2∈(-2，0)，f(m-2)>f(0)=a>0，D错误；
取a=m=f(m)=-<0，满足条件，
f(m+1)=f =-<0，A错误；
f(m-1)=f =>0，C错误.
3.已知函数f(x)是定义在[a，b]内的连续函数，若对任意x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，都有f >恒成立，则称f(x)在[a，b]内是“上凸函数”.则在①f(x)=x-2，②f(x)=x3，③f(x)=这三个函数中，当1≤x1A.0 B.1 C.2 D.3
答案　B
解析　对于f(x)=x-2，f(x)=x3，
当1≤x1可得>f
故①②不是“上凸函数”；
对于f(x)=任取1≤x1则f =
=
要证f >
只需证>
即证x1+x2-2>0，
又当1≤x12-2=0成立，
则当1≤x1恒成立，
故f(x)=在[1，2]内是“上凸函数”.
二、多项选择题(共6分)
4.关于x的方程(x2-2x)2-2(2x-x2)+k=0，下列命题正确的有(　　)
A.存在实数k，使得方程无实数根
B.存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实数根
C.存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实数根
D.存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实数根
答案　AB
解析　设t=x2-2x，方程化为关于t的二次方程t2+2t+k=0(*).当k>1时，方程(*)无实数根，故原方程无实数根.
当k=1时，可得t=-1，则x2-2x=-1，原方程有2个相等的实数根x=1.
当k<1时，方程(*)有2个实数根t1，t2(t1-1.
因为t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，所以x2-2x=t1无实数根，x2-2x=t2有2个不相等的实数根.
综上，A，B项正确，C，D项错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
5.若(a+1<(2-a则实数a的取值范围为　　　　.
答案　
解析　因为y=是定义在[0，+∞)上的增函数，又(a+1<(2-a
所以解得-1≤a<.
6.幂函数y=xm(m≠0)，当m取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA，则αβ=　　　　.
答案　1
解析　因为A(1，0)，B(0，1)，BM=MN=NA，
所以MN
不妨设y=xα，y=xβ分别过M
N
则==
则===
所以αβ=1.
四、解答题(共14分)
7.(14分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式；(4分)
(2)若f(x)在区间[2a，2a+1]上不单调，求实数a的取值范围；(3分)
(3)当x∈时，f(x)>4mx+1恒成立，求实数m的取值范围.(7分)
解　(1)根据题意，二次函数f(x)满足f(0)=f(2)=3，可得函数f(x)的对称轴为x=1，
又函数f(x)的最小值为1，可设f(x)=a(x-1)2+1(a>0)，
又因为f(0)=3，可得f(0)=a+1=3，解得a=2，
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.
(2)由函数f(x)=2(x-1)2+1，其对称轴为x=1，
要使得函数f(x)在区间[2a，2a+1]上不单调，
则满足2a<1<2a+1，解得0故实数a的取值范围为.
(3)由函数f(x)=2x2-4x+3，
若在上，f(x)>4mx+1恒成立，
则2x2-4x+3>4mx+1在上恒成立，
即x2-2(1+m)x+1>0在上恒成立，
设g(x)=x2-2(m+1)x+1，则g(x)的图象开口向上，对称轴为x=m+1，
又g(x)>0在上恒成立，即当x∈时，g(x)min>0，
当m+1≤-即m≤-时，g(x)在上单调递增，
则g(x)min=g=-2(m+1)×+1>0，解得m>-则-当-g(x)min=g(m+1)=(m+1)2-2(m+1)2+1>0，解得-2当m+1≥2，即m≥1时，g(x)在上单调递减，
g(x)min=g(2)=22-2(m+1)×2+1>0，解得m<(舍去)，
综上，实数m的取值范围为.第11练　指数与指数函数
(分值：45分)
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象如图所示，则函数g(x)=ax+b的图象大致是(　　)
2.已知函数f(x)=-2 026x，a=9，b=c=则(　　)
A.f(a)B.f(c)C.f(b)D.f(a)3.已知函数f(x)=3x+1-4x-5，则不等式f(x)<0的解集是(　　)
A.(-2，-1) B.(-1，1)
C.(-1，2) D.(1，+∞)
二、多项选择题(共6分)
4.设f(x)=|3x-1|，cf(a)>f(b)，则下列关系式中一定不成立的是(　　)
A.3c<3b B.3c>3b
C.3c+3a>2 D.3c+3a<2
三、填空题(共10分)
5.(1)+(0.008×÷-=　　　　；
(2)已知-=2则=　　　　　　　.
6.某同学向老师请教一道题：当x∈(1，+∞)时，函数y=x-4ex-aln x的图象恒在直线y=x+1的上方(不含该直线)，求实数a的取值范围.老师告诉该同学：“ex≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且方程x-4ln x=0在(1，+∞)上有解”，根据老师的提示可得实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题(共14分)
7.(14分)若函数f(x)=是定义在R上的奇函数.
(1)求实数a，b的值；(3分)
(2)判断函数f(x)的单调性，并证明；(4分)
(3)若对任意的实数x∈[-2，3]，不等式f(k·4x)+f(1-2x+1)≥0恒成立，求实数k的取值范围.(7分)
第11练　指数与指数函数
(分值：45分)
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象如图所示，则函数g(x)=ax+b的图象大致是(　　)
答案　C
解析　f(x)=(x-a)(x-b)的图象与x轴的交点的横坐标为方程(x-a)(x-b)=0的两个根，由(x-a)(x-b)=0可得两根为a，b，
又a>b，所以a>1，-1由a>1可知，y=ax为增函数，
又由-1分析选项可得C符合这两点.
2.已知函数f(x)=-2 026x，a=9，b=c=则(　　)
A.f(a)B.f(c)C.f(b)D.f(a)答案　B
解析　因为a=9=-log332=-2，b==(-3)3=-27，c=∈(1，2)，
所以b因为f(x)=-2 026x是R上的减函数，所以f(c)3.已知函数f(x)=3x+1-4x-5，则不等式f(x)<0的解集是(　　)
A.(-2，-1) B.(-1，1)
C.(-1，2) D.(1，+∞)
答案　B
解析　因为函数f(x)=3x+1-4x-5，
所以不等式f(x)<0即为3x+1<4x+5，
在平面直角坐标系中作出y=3x+1，y=4x+5的图象，如图所示，
由图象知，y=3x+1，y=4x+5都经过点A(1，9)，B(-1，1)，
当-1所以不等式f(x)<0的解集是(-1，1).
二、多项选择题(共6分)
4.设f(x)=|3x-1|，cf(a)>f(b)，则下列关系式中一定不成立的是(　　)
A.3c<3b B.3c>3b
C.3c+3a>2 D.3c+3a<2
答案　BC
解析　因为f(x)=|3x-1|=则f(x)的图象如图所示，
因为c若0f(a)>f(b)矛盾，
同理，c所以只有c<0所以3c<3b，3c<1，3a>1，故B一定不成立，A一定成立；
又f(c)-f(a)>0，即1-3c-(3a-1)>0，所以3c+3a<2，故D一定成立，C一定不成立.
三、填空题(共10分)
5.(1)+(0.008×÷-=　　　　；
(2)已知-=2则=　　　　　　　.
答案　(1)　 (2)
解析　(1)原式=+××-1
=+××-1
=+×-1=+1=.
(2)∵-=2∴=12，∴a+a-1=14，
∵=+4=16且
+=+>0，
∴+=4，
∴==.
6.某同学向老师请教一道题：当x∈(1，+∞)时，函数y=x-4ex-aln x的图象恒在直线y=x+1的上方(不含该直线)，求实数a的取值范围.老师告诉该同学：“ex≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且方程x-4ln x=0在(1，+∞)上有解”，根据老师的提示可得实数a的取值范围是　　　　.
答案　(-∞，-4)
解析　因为x>1，所以ln x>0，
由x-4ex-aln x>x+1，可得a<=
由题意ex≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且方程x-4ln x=0在(1，+∞)上有解，
所以≥=-4，
当且仅当x-4ln x=0时等号成立，所以a<-4，
因此实数a的取值范围是(-∞，-4).
四、解答题(共14分)
7.(14分)若函数f(x)=是定义在R上的奇函数.
(1)求实数a，b的值；(3分)
(2)判断函数f(x)的单调性，并证明；(4分)
(3)若对任意的实数x∈[-2，3]，不等式f(k·4x)+f(1-2x+1)≥0恒成立，求实数k的取值范围.(7分)
解　(1)根据题意，可得f(0)=0，
即=0，所以a=1，
又因为f(-x)=-f(x)，
所以=-
整理得=
所以b·2x+1=2x+b，即b=1.
(2)f(x)在R上为增函数，证明如下：由(1)知f(x)==1-
设x1，x2∈R，且x1f(x1)-f(x2)=1--1+
=
因为x10+1>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在R上为增函数.
(3)因为对任意的x∈f+f≥0恒成立，
所以f≥-f对任意的x∈恒成立，
因为f(x)为R上的奇函数，所以f≥f
又f(x)为R上的增函数，所以上式转化为k·4x≥2x+1-1对任意的x∈恒成立，
即k≥=-+2×
令t=则t∈
又y=-t2+2t=-+1≤1，当且仅当t=1时，等号成立，
则k≥1.
所以实数k的取值范围为.第12练　对数与对数函数
(分值：45分)
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字.这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d(d=1，2，…，9)的概率为lg.以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A.2.9 B.3.2 C.3.8 D.3.9
2.设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，则f(x)(　　)
A.是偶函数，且在上单调递增
B.是奇函数，且在上单调递减
C.是偶函数，且在上单调递增
D.是奇函数，且在上单调递减
3.已知函数f(x)=若x1，x2，x3，x4是方程f(x)=t的四个互不相等的实数根，则x1+x2+x3+x4的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(共6分)
4.已知2a=5b=10，则下列关系正确的是(　　)
A.ea-b>1
B.a+bC.a+4b<9
D.+>8
三、填空题(每小题5分，共10分)
5.函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为　　　　.
6.已知函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在(2，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围为　　　　　　.
四、解答题(共14分)
7.(14分)已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0)，设g(x)=f(4x).
(1)当a=1时，解不等式f(x)<-1；(5分)
(2)对任意的x∈(0，2)，函数y=f(x)的图象总在函数y=g(x)的图象的下方，求a的取值范围.(9分)
第12练　对数与对数函数
(分值：45分)
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字.这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d(d=1，2，…，9)的概率为lg.以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A.2.9 B.3.2 C.3.8 D.3.9
答案　C
解析　依题意，一个数的首位数字是1的概率为lg 2，一个数的首位数字是5的概率为lg=lg
故概率之比为=
=
=
≈≈3.8.
2.设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，则f(x)(　　)
A.是偶函数，且在上单调递增
B.是奇函数，且在上单调递减
C.是偶函数，且在上单调递增
D.是奇函数，且在上单调递减
答案　D
解析　由f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，
得f(x)的定义域为关于坐标原点对称，
又f(-x)=ln|1-2x|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x)，
∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C；
当x∈时，
f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x)，
∵y=ln(2x+1)在上单调递增，y=ln(1-2x)在上单调递减，
∴f(x)在上单调递增，故排除B；
当x∈时，f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln=ln
∵u=1+在上单调递减，f(u)=ln u在(0，+∞)上单调递增，
根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减，故D正确.
3.已知函数f(x)=若x1，x2，x3，x4是方程f(x)=t的四个互不相等的实数根，则x1+x2+x3+x4的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　f(x)的图象如图所示，设x1结合图象可得x1<-1而|log2(-x1)|==t，故x2=-2-t，x1=-2t，
故x1+x2+x3+x4=6-0设s=2t∈(1，4]，而y=s+在(1，4]上单调递增，所以2故≤x1+x2+x3+x4<4.
二、多项选择题(共6分)
4.已知2a=5b=10，则下列关系正确的是(　　)
A.ea-b>1
B.a+bC.a+4b<9
D.+>8
答案　AD
解析　因为2a=5b=10，
所以a=log210=b=log510=
对于A，a-b=-=>0，所以ea-b>e0=1，故A正确；
对于B，a+b-ab=+-·===0，
所以a+b=ab，故B不正确；
对于C，因为a>0，b>0+=lg 2+lg 5=1，
所以a+4b=(a+4b)=++5≥2+5=9，
而a≠2b，故上述不等式等号不成立，则a+4b>9，故C不正确；
对于D+=(lg 2+1)2+(lg 5+2)2=(lg 2+1)2+(1-lg 2+2)2
=2(lg 2)2-4lg 2+10=2(lg 2-1)2+8>8，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
5.函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为　　　　.
答案　-
解析　依题意得f(x)=log2x·(2+2log2x)=(log2x)2+log2x=-≥-
当且仅当log2x=-即x=时等号成立，
所以函数f(x)的最小值为-.
6.已知函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在(2，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围为　　　　　　.
答案　[-4，4]
解析　令g(x)=x2-ax+3a，
∵f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在(2，+∞)上单调递减，
∴g(x)在(2，+∞)上单调递增，且恒大于0，
∴≤2且g(2)≥0，
∴-4≤a≤4.
四、解答题(共14分)
7.(14分)已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0)，设g(x)=f(4x).
(1)当a=1时，解不等式f(x)<-1；(5分)
(2)对任意的x∈(0，2)，函数y=f(x)的图象总在函数y=g(x)的图象的下方，求a的取值范围.(9分)
解　(1)由f(x)<-1，a=1，得log2(x+1)<-1=log2
则0(2)g(x)=f(4x)=log2(4x+a)(a>0)，
因为对任意的x∈(0，2)，函数y=f(x)的图象总在函数y=g(x)图象的下方，
则f(x)即log2(x+a)0)在(0，2)上恒成立，2log2(x+a)log2(x+a)2整理得x2+2(a-2)x+a2-a<0在(0，2)上恒成立，
设m(x)=x2+2(a-2)x+a2-a，x∈(0，2)，
则只需要即可，
可得0≤a≤1，
又因为a>0，
所以0(分值：50分)
单项选择题(每小题5分，共50分)
1.已知a=ln 0.99，b=e0.1，c=0.99e(其中e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.cC.a2.已知a=log52，b=log83，c=则下列判断正确的是(　　)
A.cC.a3.设a=b=c=则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>b>a D.b>c>a
4.已知点在幂函数f(x)=xα的图象上，设a=f(log23)，b=f(log32)，c=f()，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.b>a>c B.a>b>c
C.b>c>a D.a>c>b
5.若3x=4y=10，z=logxy，则(　　)
A.x>y>z B.y>x>z
C.z>x>y D.x>z>y
6.已知a>b>1，0A.acC.alogbc7.已知函数f(x)=2x+3x，g(x)=2x+log3x，h(x)=2x+x3的零点分别为a，b，c，则(　　)
A.aC.b8.已知a=b=lg 4，c=log32，则(　　)
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>b
9.已知a=2100，b=365，c=930，则a，b，c的大小关系是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a
10.已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
第13练　指、对、幂的大小比较
(分值：50分)
单项选择题(每小题5分，共50分)
1.已知a=ln 0.99，b=e0.1，c=0.99e(其中e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.cC.a答案　D
解析　因为0.99<1，所以a=ln 0.99<0，
因为e>1，所以b=e0.1>1，
因为0.99<1，所以0所以a<02.已知a=log52，b=log83，c=则下列判断正确的是(　　)
A.cC.a答案　C
解析　a=log523.设a=b=c=则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>b>a D.b>c>a
答案　C
解析　因为函数y=为增函数，
所以<即a又因为函数y=为增函数，
所以<即bb>a.
4.已知点在幂函数f(x)=xα的图象上，设a=f(log23)，b=f(log32)，c=f()，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.b>a>c B.a>b>c
C.b>c>a D.a>c>b
答案　A
解析　由题意可得=2α，
所以α=-2，所以f(x)=x-2，
易知当x>0时，f(x)=x-2单调递减，
又12，
即0所以f(log32)>f(log23)>f()，即b>a>c.
5.若3x=4y=10，z=logxy，则(　　)
A.x>y>z B.y>x>z
C.z>x>y D.x>z>y
答案　A
解析　因为3x=4y=10，
则x=log310>log39=2，1=log44y>1，
从而z=logxyy>z.
6.已知a>b>1，0A.acC.alogbc答案　C
解析　取特殊值，令a=4，b=2，c=
则ac=bc=∴ac>bc，故A错误；
abc=4×=bac=2×=
∴abc>bac，故B错误；
logac=log4=-1，logbc=log2=-2，
alogbc=-8，blogac=-2，
∴alogbclogbc，故C正确，D错误.
7.已知函数f(x)=2x+3x，g(x)=2x+log3x，h(x)=2x+x3的零点分别为a，b，c，则(　　)
A.aC.b答案　A
解析　由题意，f(x)，g(x)，h(x)的零点分别为y=3x，y=log3x，y=x3的图象与y=-2x图象交点的横坐标，即a，b，c，它们的大致图象如图所示，由图象知a8.已知a=b=lg 4，c=log32，则(　　)
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>b
答案　D
解析　∵a=>=1，
0=lg 10=log31则0又∵===2lg 3=lg 9∴bc>b.
9.已知a=2100，b=365，c=930，则a，b，c的大小关系是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a
答案　B
解析　因为a=2100，
所以lg a=lg 2100=100lg 2≈30.1，因为b=365，
所以lg b=lg 365=65lg 3≈31.011 5，
因为c=930=360，
所以lg c=lg 360=60lg 3≈28.626，
所以lg b>lg a>lg c，所以b>a>c.
10.已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
答案　D
解析　令f(x)=(18-x)ln x，x≥8，
则f'(x)=-ln x+-1，
f'(x)=-ln x+-1在[8，+∞)上单调递减，且f'(8)=-ln 8+-1=-ln 8<-ln e2=-2<0，所以f'(x)=-ln x+-1<0在[8，+∞)上恒成立，
故f(x)=(18-x)ln x在[8，+∞)上单调递减，
所以f(8)>f(9)>f(10)，
即10ln 8>9ln 9>8ln 10，
即ln 810>ln 99>ln 108，
所以810>99>108，即a>b>c.第14练　函数的图象
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
2.函数f(x)=cos πx的部分图象大致为(　　)
3.若某函数在区间[-π，π]上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能是(　　)
A.y=(x+2)sin 2x
B.y=
C.y=
D.y=
4.在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥OC，AB=1，OC=BC=2，直线l：x=t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为S，则函数S=f(t)的图象大致为(　　)
5.函数f(x)=的图象如图所示，则(　　)
A.a>0，b=0，c<0
B.a<0，b=0，c<0
C.a<0，b<0，c=0
D.a>0，b=0，c>0
6.关于函数f(x)=|ln|2-x||，下列说法错误的是(　　)
A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增
B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称
C.若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=2
D.函数f(x)有且仅有两个零点
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.设函数f(x)的定义域是R，满足2f(x+1)=f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)=x(x-1).若对任意x∈[m，+∞)，都有f(x)≥-则m的取值可以是(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
8.符号[x]表示不超过x的最大整数，如[-3.5]=-4，[2.1]=2，定义函数f(x)=x-[x]，则下列结论正确的是(　　)
A.fB.函数f(x)是增函数
C.方程f(x)-=0有无数个实数根
D.f(x)的最大值为1，最小值为0
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)=log2(x+1)-|x|，则不等式f(x)>0的解集是　　　　.
10.已知函数f(x)=x-1，g(x)=记max{a，b}=若y=m与y=max{f(x)，g(x)}(x≠0)的图象恰有两个不同的交点，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　.
第14练　函数的图象
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
答案　C
解析　由题意知，将f(x)的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数关于点(0，0)对称，即所得函数为奇函数，
故f(x+1)-1为奇函数.
2.函数f(x)=cos πx的部分图象大致为(　　)
答案　A
解析　函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
f(-x)=cos=-cos πx=-f(x)，所以f(x)是奇函数，所以排除B，C；
又f =cos<0，f =0，f(1)=0，所以排除D，故选A.
3.若某函数在区间[-π，π]上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能是(　　)
A.y=(x+2)sin 2x
B.y=
C.y=
D.y=
答案　B
解析　A选项，设f(x)=(x+2)sin 2x，
则当x∈时，2x∈(π，2π)，
则f(x)<0，不符合图象，排除A；
C选项，设f(x)=
当x∈(0，π)时，f(x)=
且21所以0<(x+2)sin x<π+2.
所以f(x)=<(x+2)sin x<π+2<6，不符合图象，排除C；
D选项，设f(x)=
令f(x)=0，解得x=0或x=-2，不符合图象，排除D.
4.在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥OC，AB=1，OC=BC=2，直线l：x=t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为S，则函数S=f(t)的图象大致为(　　)
答案　C
解析　由题意可知，当0≤t≤1时，f(t)=·t·2t=t2；
当1结合不同段上的函数的性质，可知选项C符合.
5.函数f(x)=的图象如图所示，则(　　)
A.a>0，b=0，c<0
B.a<0，b=0，c<0
C.a<0，b<0，c=0
D.a>0，b=0，c>0
答案　A
解析　由图象可得函数图象关于y轴对称，即函数f(x)为偶函数，所以f(-x)==f(x)，得b=0，故C错误；
f(x)=由图象可知f(0)=<0 c<0，故D错误；
因为定义域不连续，所以ax2+c=0有两个不相等的实数根，可得Δ=-4ac>0，则a>0，故A正确，B错误.
6.关于函数f(x)=|ln|2-x||，下列说法错误的是(　　)
A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增
B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称
C.若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=2
D.函数f(x)有且仅有两个零点
答案　C
解析　由函数y=ln x，x轴下方图象翻折到上方可得函数y=|ln x|的图象，
将y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y=|ln|x||=|ln|-x||的图象，
将函数图象向右平移2个单位长度，可得函数y=|ln|-(x-2)||=|ln|2-x||的图象，
则函数f(x)=|ln|2-x||的图象如图所示.
由图可得函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，故A正确；
函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，故B正确；
若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，若x1，x2关于直线x=2对称，则x1+x2=4，故C错误；
函数f(x)有且仅有两个零点，故D正确.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.设函数f(x)的定义域是R，满足2f(x+1)=f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)=x(x-1).若对任意x∈[m，+∞)，都有f(x)≥-则m的取值可以是(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案　BCD
解析　因为函数f(x)的定义域是R，满足2f(x+1)=f(x)，
且当x∈(0，1]时，f(x)=x(x-1)=-∈
故当x∈(-1，0]时，0则f(x)=2f(x+1)∈；
当x∈(-2，-1]时，-1则f(x)=2f(x+1)∈[-1，0]，
且当x∈(-2，-1]时，0则f(x)=2f(x+1)=4f(x+2)=4(x+2)(x+1)，
令f(x)=4(x+1)(x+2)=-解得x=-或x=-如图所示.
因为对任意x∈[m，+∞)，都有f(x)≥-
由图可知，m≥-
因此实数m的取值范围是.
故选项B，C，D符合题意.
8.符号[x]表示不超过x的最大整数，如[-3.5]=-4，[2.1]=2，定义函数f(x)=x-[x]，则下列结论正确的是(　　)
A.fB.函数f(x)是增函数
C.方程f(x)-=0有无数个实数根
D.f(x)的最大值为1，最小值为0
答案　AC
解析　作出f(x)=x-[x]
=的部分图象如图，
对于A，由题意可知f =f 对于B，由图可知f(x)不是增函数，所以B错误；
对于C，函数f(x)是以1为周期的函数，所以方程f(x)-=0有无数个实数根，所以C正确；
对于D，由图可知f(x)=x-[x]∈[0，1)，
函数f(x)无最大值，最小值为0，所以D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)=log2(x+1)-|x|，则不等式f(x)>0的解集是　　　　.
答案　(0，1)
解析　不等式f(x)>0，即log2(x+1)>|x|，
分别画出函数y=log2(x+1)和y=|x|的图象，如图所示，
由图象可知y=log2(x+1)和y=|x|有两个交点，分别是(0，0)和(1，1)，
所以log2(x+1)>|x|的解集是(0，1)，
即不等式f(x)>0的解集是(0，1).
10.已知函数f(x)=x-1，g(x)=记max{a，b}=若y=m与y=max{f(x)，g(x)}(x≠0)的图象恰有两个不同的交点，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　.
答案　{m|-21}
解析　由x-1-≥0，即≥0，
则或
解得-1≤x<0或x≥2，由x-1-<0，解得x<-1或0令h(x)=max{f(x)，g(x)}(x≠0)，则h(x)=
在同一坐标系内作出直线y=m与函数y=h(x)的图象，如图，
观察图象知，当-21时，直线y=m与函数y=h(x)的图象有2个交点，所以实数m的取值范围是{m|-21}.第15练　函数零点问题
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
2.函数y=(x-2)(x-4)-1有两个零点x1，x2，且x1A.x1<2且2B.x1>2且x2>4
C.x1<2且x2>4
D.24
3.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y=[x]也被称为“高斯函数”，例如[2.1]=2，[3]=3，[-1.5]=-2，设x0为函数f(x)=log3x-的零点，则[x0]等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
4.已知奇函数f(x)的定义域为[-2，2]，且f(x)在[0，2]上的图象如图所示，则函数g(x)=[f(x)-x][f(x)+x+1]的零点个数为(　　)
A.7 B.6 C.5 D.4
5.函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.C.-6.若f(x)为R上的偶函数，且f(x)=f(4-x)，当x∈[0，2]时，f(x)=2x-1，则函数g(x)=3|sin πx|-f(x)在区间[-1，5]上的所有零点的和是(　　)
A.20 B.18 C.16 D.14
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)=ex-x+a，其中x∈R，a为某确定常数，运用二分法研究函数f(x)的零点时，若第一次经计算f(0)<0且f(1)>0，则(　　)
A.可以确定f(x)的一个零点x0，满足x0∈(0，1)
B.第二次应计算f 若f >0，第三次应计算f
C.第二次应计算f若f <0，第三次应计算f
D.第二次应计算f 若f >0，第三次应计算f
8.已知x1是函数f(x)=x+1-ln(x+2)的零点，x2是函数g(x)=x2-2ax+4a+4的零点，且满足≤1，则实数a的取值可能是(　　)
A.-1 B.-2 C.2-2 D.4-4
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)=则函数y=f(x)的零点是　　　　.
10.已知f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有5个不同的零点，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.
第15练　函数零点问题
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案　B
解析　因为区间的长度等于每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
所以经过n(n∈N*)次操作后，区间长度变为
令<0.01，解得n≥6，且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为6.
2.函数y=(x-2)(x-4)-1有两个零点x1，x2，且x1A.x1<2且2B.x1>2且x2>4
C.x1<2且x2>4
D.24
答案　C
解析　令y1=(x-2)(x-4)，则y=y1-1，
∴函数y=(x-2)(x-4)-1的零点就是函数y1=(x-2)(x-4)与函数y=1图象交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中作出函数y1=(x-2)(x-4)的图象与y=1的图象，如图，
通过数形结合可得x1<2且x2>4.
3.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y=[x]也被称为“高斯函数”，例如[2.1]=2，[3]=3，[-1.5]=-2，设x0为函数f(x)=log3x-的零点，则[x0]等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　A
解析　因为y=log3x与y=-在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)=log3x-在(0，+∞)上单调递增，
又f(3)=log33-=1-=>0，f(2)=log32-=log32-1<0，
所以f(x)在(2，3)上存在唯一的零点x0，
即x0∈(2，3)，所以[x0]=2.
4.已知奇函数f(x)的定义域为[-2，2]，且f(x)在[0，2]上的图象如图所示，则函数g(x)=[f(x)-x][f(x)+x+1]的零点个数为(　　)
A.7 B.6 C.5 D.4
答案　B
解析　令g(x)=[f(x)-x][f(x)+x+1]=0，得f(x)=x或f(x)=-x-1.
如图，画出f(x)在[-2，2]上的图象与直线y=x，直线y=-x-1.
由图可知，f(x)的图象与直线y=x有5个公共点，
f(x)的图象与直线y=-x-1仅有1个公共点，则g(x)的零点个数为5+1=6.
5.函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.C.-答案　D
解析　当a=0时，f(x)=3，不符合题意；
当a>0时，由于函数y=2alog2x，y=a·4x+3在上均单调递增，
此时函数f(x)在上单调递增；
当a<0时，由于函数y=2alog2x，y=a·4x+3在上均单调递减，
此时函数f(x)在上单调递减.
因为函数f(x)在区间上有零点，
所以f f(1)<0，
即3(4a+3)<0，解得a<-.
综上，a的取值范围是a<-.
6.若f(x)为R上的偶函数，且f(x)=f(4-x)，当x∈[0，2]时，f(x)=2x-1，则函数g(x)=3|sin πx|-f(x)在区间[-1，5]上的所有零点的和是(　　)
A.20 B.18 C.16 D.14
答案　A
解析　因为f(x)为R上的偶函数，
且f(x)=f(4-x)，
即f(-x)=f(4-x)，f(x+4)=f(x)，
所以4是函数f(x)的一个周期，
由f(x)=f(4-x)，可得f(2+x)=f(2-x)，
所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，
令g(x)=3|sin πx|-f(x)=0，
则f(x)=3|sin πx|，
且y=3|sin πx|的图象也关于直线x=2对称，
作出y=f(x)与y=3|sin πx|的图象，
由此可得两函数在[-1，5]上一共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线x=2对称，
所以g(x)在区间[-1，5]上的所有零点的和是20.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)=ex-x+a，其中x∈R，a为某确定常数，运用二分法研究函数f(x)的零点时，若第一次经计算f(0)<0且f(1)>0，则(　　)
A.可以确定f(x)的一个零点x0，满足x0∈(0，1)
B.第二次应计算f 若f >0，第三次应计算f
C.第二次应计算f若f <0，第三次应计算f
D.第二次应计算f 若f >0，第三次应计算f
答案　AB
解析　对于A，由题意第一次经计算f(0)<0且f(1)>0，即f(0)f(1)<0，因此由函数零点存在定理可知存在x0∈(0，1)满足f(x0)=0，故A正确；
对于B，第二次应计算f 若f >0，又f(0)<0，所以f(0)f <0，满足函数零点存在定理，所以第三次应计算f 故B正确；
对于C，第二次应计算f 若f <0，又f(1)>0，所以f f(1)<0，满足函数零点存在定理，所以第三次应计算f 故C错误；
对于D，第二次应计算f 而不是计算f 故D错误.
8.已知x1是函数f(x)=x+1-ln(x+2)的零点，x2是函数g(x)=x2-2ax+4a+4的零点，且满足≤1，则实数a的取值可能是(　　)
A.-1 B.-2 C.2-2 D.4-4
答案　AC
解析　由f(x)=x+1-ln(x+2)，x>-2，
∴f'(x)=1-=
当-2当x>-1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，又f(-1)=0，
则函数f(x)存在唯一零点，即x1=-1，
∵≤1，∴-2≤x2≤0，即g(x)在[-2，0]上有零点，
①若Δ=4a2-4(4a+4)=0，即a=2±2
此时g(x)的零点为a，显然a=2-2符合题意；
②若Δ=4a2-4(4a+4)>0，即a<2-2或a>2+2
(ⅰ)若g(x)在[-2，0]上只有一个零点，
则g(-2)g(0)≤0，∴a=-1；
(ⅱ)若g(x)在[-2，0]上有两个零点，
则
解得-1≤a<2-2
综上所述，实数a的取值范围为[-1，2-2].
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)=则函数y=f(x)的零点是　　　　.
答案　-1和4
解析　依题意或
得函数f(x)的零点是x=-1和x=4.
10.已知f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有5个不同的零点，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.
答案　∪
解析　令t=f(x)，画出f(x)的图象，如图，
要使函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有5个不同的零点，
即函数h(t)=t2-at-1有两个零点t1，t2，其中-12，
当-1当-12时，又因为h(0)=-1，
所以解得a>.
综上所述，实数a的取值范围为∪.第16练　嵌套函数
(分值：52分)
我们把形如y=f(f(x))或y=f(g(x))的一类函数称为嵌套函数，把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题.嵌套函数问题有两类基本形式：
(1)“f(f(x))”型
这一类型是同一个函数f(x)自身嵌套问题，求解这一类型的策略：首先将“内层函数”换元，即设f(x)=t，然后根据题设条件解出相应t的值或范围，最后利用函数f(x)或利用函数y=f(x)与y=t的图象关系解得问题.
(2)“f(g(x))”型
这一类型是两个函数f(x)，g(x)的互嵌问题，求解这一类型的策略：首先将“内层函数”换元，即设g(x)=t，然后通过中间变量既是“内层函数”的函数值，又是y=f(t)的自变量，或利用y=f(t)与t=g(x)两个函数的性质，或作出并利用y=f(t)与t=g(x)两个函数的图象来解决问题.
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.若函数f(x)在[0，+∞)上单调递增且f(f(x)-x)=2，则f(2 025)等于(　　)
A.1 B.2 C.2 025 D.2 026
2.已知函数f(x)=若f(f(t))+3≥0，则实数t的取值范围是(　　)
A.[3，+∞) B.(-∞，-2]
C.(-∞，3] D.[-2，+∞)
3.已知f(x)=则满足2f(f(m))+1=2f(m)+1的实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞，-1] B.(-∞，-1]∪(0，e2]
C.(-∞，1] D.(-∞，-1)∪(0，1]
4.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-2的零点个数为(　　)
A.3 B.4 C.2 D.1
5.已知函数f(x)=若函数y=f(x)与y=f(f(x))有相同的值域，则实数a的取值范围是 (　　)
A.a≤0 B.a≤1
C.a≤2e D.a≤3e
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
6.若f(x)和g(x)是定义在实数集R上的函数，且方程x-f(g(x))=0有实数解，则g(f(x))可能是(　　)
A.ex-1 B.cos x
C.|x|+1 D.
7.已知函数f(x)=若关于x的方程4[f(x)]2-4a·f(x)+2a+3=0有5个不同的实根，则实数a的取值可以为(　　)
A.- B.- C.- D.-
三、填空题(每小题5分，共15分)
8.已知a∈R，函数f(x)=若f(f())=3，则a=　　　　.
9.已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-2f(x)+有　　　　个零点.
10.已知函数f(x)=g(x)=x2-ax+4，若y=g(f(x))有6个零点，则a的取值范围为　　　　　　.
第16练　嵌套函数
(分值：52分)
我们把形如y=f(f(x))或y=f(g(x))的一类函数称为嵌套函数，把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题.嵌套函数问题有两类基本形式：
(1)“f(f(x))”型
这一类型是同一个函数f(x)自身嵌套问题，求解这一类型的策略：首先将“内层函数”换元，即设f(x)=t，然后根据题设条件解出相应t的值或范围，最后利用函数f(x)或利用函数y=f(x)与y=t的图象关系解得问题.
(2)“f(g(x))”型
这一类型是两个函数f(x)，g(x)的互嵌问题，求解这一类型的策略：首先将“内层函数”换元，即设g(x)=t，然后通过中间变量既是“内层函数”的函数值，又是y=f(t)的自变量，或利用y=f(t)与t=g(x)两个函数的性质，或作出并利用y=f(t)与t=g(x)两个函数的图象来解决问题.
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.若函数f(x)在[0，+∞)上单调递增且f(f(x)-x)=2，则f(2 025)等于(　　)
A.1 B.2 C.2 025 D.2 026
答案　D
解析　∵f(x)在[0，+∞)上单调递增且f(f(x)-x)=2，
∴令f(x)-x=t，
∴f(x)=x+t，
∴f(t)=2，
又f(x)=x+t，
∴f(t)=t+t=2t=2，
∴t=1，
∴f(x)=x+1，经验证，符合题意.
∴f(2 025)=2 025+1=2 026.
2.已知函数f(x)=若f(f(t))+3≥0，则实数t的取值范围是(　　)
A.[3，+∞) B.(-∞，-2]
C.(-∞，3] D.[-2，+∞)
答案　D
解析　作出函数f(x)=的图象如图，
由图可知，当f(x)=-3时，仅有一解x=3；
当f(x)=3时，仅有一解x=-2.
令f(t)=a，则f(f(t))+3≥0，即f(a)≥-3，
∴a≤3，即f(t)≤3，则t≥-2.
∴实数t的取值范围是[-2，+∞).
3.已知f(x)=则满足2f(f(m))+1=2f(m)+1的实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞，-1] B.(-∞，-1]∪(0，e2]
C.(-∞，1] D.(-∞，-1)∪(0，1]
答案　B
解析　令t=f(m)，则2f(t)+1=2t+1，
所以f(t)=2t-
当t>0时，f(t)=ln t-2=2t-无解；
当t≤0时，f(t)=2t-恒成立，
所以f(m)=t≤0.
当m>0时，ln m-2≤0，解得0当m≤0时，2m-≤0，
解得m≤-1.
综上所述，实数m的取值范围是(-∞，-1]∪(0，e2].
4.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-2的零点个数为(　　)
A.3 B.4 C.2 D.1
答案　A
解析　令μ=f(x)，g(x)=0，则f(μ)-2=0，当μ>1时，f(μ)=ln(μ-1)，则ln(μ-1)-2=0，μ=e2+1；当μ≤1时，f(μ)=-μ+1，则-μ+1-2=0，即μ=-1.作出函数f(x)的图象如图所示，由图象易知，直线y=-1与函数f(x)的图象只有1个交点，直线y=e2+1与函数f(x)的图象有2个交点，因此函数g(x)有3个零点.
5.已知函数f(x)=若函数y=f(x)与y=f(f(x))有相同的值域，则实数a的取值范围是 (　　)
A.a≤0 B.a≤1
C.a≤2e D.a≤3e
答案　C
解析　根据题意，
函数f(x)=
当x≤1时，f(x)=a-2ex-1为减函数；
当x>1时，f(x)=xln x-2x+a，则f'(x)=ln x-1，
当x∈(1，e)时，f'(x)<0；当x∈(e，+∞)时，f'(x)>0，
可知f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增，又函数f(x)是连续的，
所以f(x)在(-∞，e)上单调递减，在[e，+∞)上单调递增，
所以f(x)的值域为[a-e，+∞)，
若函数y=f(x)与y=f(f(x))有相同的值域，即需满足a-e≤e即可，则a≤2e.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
6.若f(x)和g(x)是定义在实数集R上的函数，且方程x-f(g(x))=0有实数解，则g(f(x))可能是(　　)
A.ex-1 B.cos x
C.|x|+1 D.
答案　ABD
解析　设s为x-f(g(x))=0的实数解，即f(g(s))=s，令g(s)=t，则f(t)=s，所以g(f(t))=g(s)=t，即t为g(f(x))=x的实数解，g(f(x))=x有实数解，故结合各选项的函数，判断其图象与直线y=x是否有交点即可，如图所示.由图可知，当g(f(x))=|x|+1时，无交点，即g(f(x))=x无实数解.
7.已知函数f(x)=若关于x的方程4[f(x)]2-4a·f(x)+2a+3=0有5个不同的实根，则实数a的取值可以为(　　)
A.- B.- C.- D.-
答案　BCD
解析　令f(x)=m，记g(m)=4m2-4am+2a+3的两个零点为m1，m2，
则由f(x)的图象可知，方程4[f(x)]2-4a·f(x)+2a+3=0有5个不同的实根 y=m1，y=m2与f(x)的图象共有5个交点 -2当-2则
解得-当m1=0，-1则a=-即g(m)=4m2+6m有两根0和-不符合题意，
综上所述，a的取值范围为.
三、填空题(每小题5分，共15分)
8.已知a∈R，函数f(x)=若f(f())=3，则a=　　　　.
答案　2
解析　因为>2，所以f()=6-4=2，所以f(f())=f(2)=1+a=3，解得a=2.
9.已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-2f(x)+有　　　　个零点.
答案　4
解析　令t=f(x)，t∈(-1，+∞)，
则F(x)=f(t)-2t+由F(x)=0可得，
f(t)=2t-作y=f(t)与y=2t-的图象，如图，
由图象知两函数图象有两个交点，分别设横坐标为t1，t2，
则t1=0，t2∈(2，3)，
由f(x)=t1=0可知x=2或x=3，有两个根，
由f(x)=t2∈(2，3)，显然有两个根，
综上，F(x)=f(f(x))-2f(x)+=0有4个根，即F(x)有4个零点.
10.已知函数f(x)=g(x)=x2-ax+4，若y=g(f(x))有6个零点，则a的取值范围为　　　　　　.
答案　∪(4，5]
解析　作出函数f(x)=的图象如图所示，
根据图象可得，当k=0或6≤k≤8时，f(x)=k有2个解；
当0当1≤k<6时，f(x)=k有3个解；
当k>8时，f(x)=k有1个解.
因为方程x2-ax+4=0最多有2个解，
因此要使y=g(f(x))有6个零点，则方程x2-ax+4=0有2个解，设为k1，k2.
则存在下列几种情况：
①f(x)=k1有2个解，f(x)=k2有4个解，即k1=0或6≤k1≤8，0则此时应满足
解得≤a≤；
②f(x)=k1有3个解，f(x)=k2有3个解，设k1则应满足
解得4综上所述≤a≤或4即a的取值范围为∪(4，5].阶段滚动练(一)
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知集合A=集合B={x|log3x<1}，则A∩B等于(　　)
A.(0，2) B.[-2，3)
C.[0，2) D.[-2，0)
2.函数f(x)=(|x2-5|-5)ln(4-x2)的图象大致为(　　)
3.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则(　　)
A.f(-log23)>f >f
B.f(-log23)>f>f
C.f >f(-log23)>f
D.f >f >f(-log23)
4.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)365=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是(1-1%)365=0.99365.一年后“进步”的是“退步”的=≈1 481倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过　　　天后“进步”的是“退步”的10 000倍(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A.20 B.21 C.22 D.23
5.已知x>0，y∈R，且x2+xy-x+5y=30，则+的最大值为(　　)
A. B. C.2 D.3
6.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2)=2，且对于任意x1>x2>0，有x2f(x1)-x1f(x2)>2x2-2x1，若函数g(x)=则下列说法正确的是(　　)
A.g(x)在(0，+∞)上单调递减
B.g(x)为偶函数
C.g(4)D.f(x)在(2，+∞)上单调递增
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，例如A={a，b，c}，则card(A)=3.已知U是全集，A，B是U的两个非空真子集，card(U)=24.则下列说法正确的是(　　)
A.若card(A)=18，则card( UA)=6
B.若card(B)=18，card(A∩B)=8，则card(( UA)∩B)=10
C.若card(A)=12，card(B)=16，card(A∪B)=20，则card(( UA)∩( UB))=8
D.若=则=
8.设函数f(x)的定义域为R，f(x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈(-1，1]时，f(x)=-x2+1，则下列结论正确的是(　　)
A.f =-
B.f(x+7)为奇函数
C.f(x)在(6，8)上单调递减
D.方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)的定义域为(-4，28)，则函数g(x)=的定义域为　　　　　.
10.若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0，则满足<0的x的取值范围是　　　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知函数f(x)=x2-2ax-3a2，a∈R.
(1)若a=0，且2g(3-x)-g(x)=f(x)，求出g(x)的解析式；(5分)
(2)解关于x的不等式f(x)<0.(8分)
12.(15分)已知某列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时，列车为满载状态，载客量为720人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(12-t)的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人.记列车载客量为p(t).
(1)求p(t)的解析式；(6分)
(2)若该线路每分钟的净收益(单位：元)为Q(t)=-60，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值.(9分)
阶段滚动练(一)
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知集合A=集合B={x|log3x<1}，则A∩B等于(　　)
A.(0，2) B.[-2，3)
C.[0，2) D.[-2，0)
答案　A
解析　A=={x|-2≤x<2}，B={x|log3x<1}={x|0因此A∩B={x|02.函数f(x)=(|x2-5|-5)ln(4-x2)的图象大致为(　　)
答案　A
解析　由4-x2>0，得-2则f(x)的定义域为(-2，2)，
又f(-x)=[|(-x)2-5|-5]ln[4-(-x)2]=[|x2-5|-5]ln(4-x2)=f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D；又f(1)=-ln 3<0，故排除B.
3.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则(　　)
A.f(-log23)>f >f
B.f(-log23)>f>f
C.f >f(-log23)>f
D.f >f >f(-log23)
答案　A
解析　由对数函数的性质得log23>log22=1，
由幂函数y=在(0，+∞)上单调递增，和指数函数y=在R上单调递减，
且>>0可知，1=>>>>0，又∵log23>1，
∴log23>>>0，
又∵f(x)在(0，+∞)上单调递增，
∴ f(log23)>f >f
又∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(-log23)=f(log23)，
∴f(-log23)>f >f .
4.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)365=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是(1-1%)365=0.99365.一年后“进步”的是“退步”的=≈1 481倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过　　　天后“进步”的是“退步”的10 000倍(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A.20 B.21 C.22 D.23
答案　D
解析　设经过x天后“进步“的是“退步”的10 000倍，
则10 000×(1-0.2)x=(1+0.2)x，
即=10 000，即=10 000，
所以x=lo10 000==
=≈≈23.
5.已知x>0，y∈R，且x2+xy-x+5y=30，则+的最大值为(　　)
A. B. C.2 D.3
答案　C
解析　由x2+xy-x+5y=30，
可得x2-x-30+xy+5y=0，
即(x+5)(x+y-6)=0.
由x>0可知x+y-6=0，y=6-x，
所以+=+=+·.
由x>0，2-x≥0，可得0由柯西不等式得(+·)2≤[12+()2]·[()2+()2]=24，
所以+·≤2
当且仅当=即x=时取等号，
所以+的最大值为2.
6.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2)=2，且对于任意x1>x2>0，有x2f(x1)-x1f(x2)>2x2-2x1，若函数g(x)=则下列说法正确的是(　　)
A.g(x)在(0，+∞)上单调递减
B.g(x)为偶函数
C.g(4)D.f(x)在(2，+∞)上单调递增
答案　D
解析　对于任意x1>x2>0，x2f(x1)-x1f(x2)>2x2-2x1，所以>即g(x1)>g(x2)，所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，故选项A错误；
因为g(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，所以g(-x)==-=-g(x)，所以g(x)为奇函数，由g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以-g(-3)=g(3)>g(2)=0，g(4)>g(2)=0，g(-3)对于任意x1>x2>2，f(x1)-f(x2)=[x1g(x1)+2]-[x2g(x2)+2]=x1g(x1)-x2g(x2)>x1g(x2)-x2g(x2)=(x1-x2)g(x2)，
因为x1>x2>2，f(2)=2，所以x1-x2>0，g(x2)>g(2)=0，
所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(2，+∞)上单调递增，故选项D正确.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，例如A={a，b，c}，则card(A)=3.已知U是全集，A，B是U的两个非空真子集，card(U)=24.则下列说法正确的是(　　)
A.若card(A)=18，则card( UA)=6
B.若card(B)=18，card(A∩B)=8，则card(( UA)∩B)=10
C.若card(A)=12，card(B)=16，card(A∪B)=20，则card(( UA)∩( UB))=8
D.若=则=
答案　ABD
解析　A选项，card(U)=24，card(A)=18，所以card( UA)=24-18=6，所以A选项正确；
B选项，因为card(B)=18，card(A∩B)=8，
则card(( UA)∩B)=18-8=10，所以B选项正确；
C选项，若card(A∪B)=20，则card(( UA)∩( UB))=card( U(A∪B))=24-20=4，所以C选项错误；
D选项，若=
则=1-=1-
==所以D选项正确.
8.设函数f(x)的定义域为R，f(x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈(-1，1]时，f(x)=-x2+1，则下列结论正确的是(　　)
A.f =-
B.f(x+7)为奇函数
C.f(x)在(6，8)上单调递减
D.方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解
答案　ABD
解析　f(x+1)为偶函数，
故f(x+1)=f(-x+1)，令x=
得f =f =f
f(x-1)为奇函数，
故f(x-1)=-f(-x-1)，令x=-
得f =-f =-f
其中f =-+1=
所以f =f =-f =-A正确；
因为f(x-1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(-1，0)对称，又f(x+1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)的周期为4×2=8，故f(x+7)=f(x-1)，所以f(-x+7)=f(-x-1)=-f(x-1)=-f(x-1+8)=-f(x+7)，从而f(x+7)为奇函数，B正确；
因为f(x)=-x2+1在(-1，0)上单调递增，又f(x)关于(-1，0)对称，所以f(x)在(-2，0)上单调递增，且f(x)周期为8，故f(x)在(6，8)上单调递增，C错误；
根据题目条件画出f(x)与y=-lg x的函数图象，如图所示.
其中y=-lg x在(0，+∞)上单调递减且-lg 12<-1，所以两函数图象有6个交点，故方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)的定义域为(-4，28)，则函数g(x)=的定义域为　　　　　.
答案　(3，6)
解析　由题意得解得310.若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0，则满足<0的x的取值范围是　　　　　　.
答案　(-1，0)∪(1，2)
解析　由f(x)是奇函数在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0可知，
当x∈(-1，0)∪(1，+∞)时，f(x)>0，
当x∈(-∞，-1)∪(0，1)时，f(x)<0，
又<0，
则或
解得-1所以满足<0的x的取值范围是(-1，0)∪(1，2).
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知函数f(x)=x2-2ax-3a2，a∈R.
(1)若a=0，且2g(3-x)-g(x)=f(x)，求出g(x)的解析式；(5分)
(2)解关于x的不等式f(x)<0.(8分)
解　(1)当a=0时，f(x)=x2，则2g(3-x)-g(x)=x2，2g(x)-g(3-x)=(3-x)2，
联立解得g(x)=x2-4x+6，所以g(x)的解析式为g(x)=x2-4x+6.
(2)不等式f(x)<0 x2-2ax-3a2<0 (x+a)(x-3a)<0，
当a<0时，-a>3a，解得3a当a=0时，不等式无解；
当a>0时，-a<3a，解得-a综上所述，当a<0时，原不等式的解集为(3a，-a)；
当a=0时，原不等式的解集为 ；
当a>0时，原不等式的解集为(-a，3a).
12.(15分)已知某列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时，列车为满载状态，载客量为720人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(12-t)的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人.记列车载客量为p(t).
(1)求p(t)的解析式；(6分)
(2)若该线路每分钟的净收益(单位：元)为Q(t)=-60，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值.(9分)
解　(1)由题意，当10≤t≤20时，p(t)=720；
当2≤t<10时，设p(t)=720-k(12-t)2，
所以p(3)=720-k(12-3)2=396，
解得k=4，
所以p(t)=
=
(2)由题意，当2≤t<10时，
Q(t)=-60
=-+132≤-2+132=84，
当且仅当8t=即t=3时，等号成立，即Q(t)max=84；
当10≤t≤20时，
Q(t)=-60=-60，
所以当t=10时，Q(t)max=48.
又因为84>48，
所以当发车时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为84元.

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