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2025-2026学年四川省广安市广安区加德学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数2-3i的虚部为（　　）
A. 3 B. 3i C. -3 D. -3i
2.在△ABC中，a=2，，，则A=（　　）
A. B. 或 C. D.
3.下列关于平面向量的说法正确的是（　　）
A. 若是共线的单位向量，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.若m,n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（　　）
A. 若m∥α，n α，则m∥n B. 若m∥α，n∥α，则m∥n
C. 若m∥α，n⊥α，则m⊥n D. 若m∥α，n⊥α，则m与n相交
5.已知某平面图形OABC的直观图是如图所示的梯形O'A'B'C'且A′B′=2，O′C′=3，O′A′=2，则原图形OABC的面积为（　　）
A. 5
B.
C. 12
D. 10
6.如图，某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m,∠ABC=45°，∠BCA=105°，在C处测得大楼楼顶D的仰角α为60°，则大楼的高度为（　　）m.
A.
B.
C.
D.
7.如图，在棱长为2的正四面体P-ABC中，点D为边AB的中点，则异面直线AP与CD所成角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知i为虚数单位，复数z1=1-2i,z2=2-i,则（　　）
A. z1的共轭复数为-1+2i B. |z1|=|z2|
C. z1+z2为实数 D. z1 z2的虚部为-5
10.已知向量，满足，，则下列结论正确的有（　　）
A.
B. 若，则
C. 在方向上的投影向量为
D. 若，则在的夹角为
11.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△BEF，△CDF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A1，得到三棱锥A1-DEF下列关于该三棱锥的说法正确的有（　　）
A. A1D⊥EF
B. 点A1到平面DEF的距离为
C. 三棱锥A1-DEF的外接球的体积为
D. 点G，H分别是DE，DF上的动点，则△A1GH周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则x= .
13.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长是，则它的体积是 .
14.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若b=csinA，则tanB的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=1+mi（m∈R）.
（1）当m=1时，求；
（2）设z-2，z在复平面xOy内对应的点分别为A，B，若，求m的值.
16.(本小题15分)
如图，已知在平面四边形ABCD中，AB=4，CD=6，AD=BC=2.
（1）设∠BAD=α，∠BCD=β，若α=120°，求β；
（2）是否存在BD，使得BD平分∠ABC，若存在，求BD的长；若不存在，说明理由.
17.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，
（1）证明：BD1∥平面AEC；
（2）证明：AC⊥平面BD1；
（3）求三棱锥B1-ADC的体积.
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c-a=2bcosA，b=3.
（1）求B的大小；
（2）若，求△ABC的面积；
（3）求的最大值.
19.(本小题17分)
如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，BC=DC=4，AB=8，E为AB的中点.将△ADE沿DE翻折，使点A到点P的位置，且PE⊥BE，得到如图2所示的四棱锥P-BCDE，若M为BC的中点，N是棱PB上动点.
（1）当N为PB的中点时.
①求证：EN⊥平面PBC；
②求直线PB与平面EMN所成角的正弦值.
（2）若，求二面角N-EM-B的正弦值的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】-2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】1；
1或-1．
16.【答案】β=60° 不存在，理由如下，
假设存在，由于BD平分∠ABC，可得cos∠ABD=cos∠DBC，
根据余弦定理，可得，解得BD2=76，
因此，
但此时AB+AD＜BD，所以假设不成立，不存在BD符合题意
17.【答案】设AC，BD交于点O，则O是BD中点，
连接OE，因为E为DD1中点，所以OE∥BD1，
又OE 平面AEC，BD1 平面AEC，所以BD1∥平面AEC 易知DD1⊥平面ABCD，
∵AC 平面ABCD，∴DD1⊥AC，
∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵BD 平面BD1，DD1 平面BD1，DD1∩BD=D，
∴AC⊥平面BD1；
18.【答案】解：（1）因为2c-a=2bcosA，又，
所以2sinC-sinA=2sinBcosA，
所以2sin（A+B）-sinA=2sinBcosA，
所以2sinAcosB-sinA=0，
因为A∈（0，π），sinA≠0，
所以cosB=，
则B=．
（2）因为b2=a2+c2-ac，所以c2-c-6=0，
所以c=2或c=-（舍去），
所以△ABC的面积为S=acsinB=．
（3）由a2+c2-ac=9，得（a+c）2=9+3ac，
因为ac≤，所以（a+c）2≤9+（a+c）2，
所以3＜a+c≤6（当且仅当a=c=3时取等号）．
设t=a+c，则t∈（3，6]，所以=，
设f（t）==（t-），
则f（t）在区间（3，6]上单调递增，所以f（t）的最大值为f（6）=，
所以，的最大值为．
19.【答案】①由题设，易知BCDE是边长为4的正方形，且PE⊥DE，PE⊥BE，
由DE∩BE=E，BE，DE 平面BCDE，
∴PE⊥平面BCDE，∵BC 平面BCDE，∴PE⊥BC，
又∵BE⊥BC，PE∩BE=E，PE，BE 平面PBE，
∴BC⊥平面PBE，
∵EN 平面PBE，∴BC⊥EN，
又∵PE=BE，N为PB的中点，∴EN⊥PB，
∵BC∩PB=B，BC，PB 平面PBC，
∴EN⊥平面PBC；②
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