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2025-2026学年四川省广安市广安区加德学校高一（下）期中数学试卷（B卷）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数2-3i的虚部为（　　）
A. 3 B. 3i C. -3 D. -3i
2.下列关于平面向量的说法正确的是（　　）
A. 若是共线的单位向量，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A′B′=2，B′C′=4，则原四边形ABCD中最长边的长度为（　　）
A. 2
B.
C. 4
D. 6
4.在△ABC中，“△ABC是锐角三角形”是“sinA＞cosB”的（　　）
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
5.设m、n是两条不重合直线，α、β是两个不重合平面，则下列命题正确的是（　　）
A. 若m∥α，m∥β，则α∥β B. 若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C. 若α⊥β，m α，n β，则m⊥n D. 若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n
6.如图，在棱长为2的正四面体P-ABC中，点D为边AB的中点，则异面直线AP与CD所成角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.位于广安市渠河畔的白塔是广安市的有名风景点.现采用三角高程测量法测量白塔的高度.如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影A1，B1，C1满足∠A1C1B1=45°，∠A1B1C1=60°，在点C处测得点B的仰角为15°，BB1与CC1的高度差为30m,在点B处测得点A的仰角为45°，则A，B两点到水平面A1B1C1的高度差AA1-BB1约为（　　）（）
A. 69m B. 72m C. 79m D. 82m
8.已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知i为虚数单位，复数z1=1-2i,z2=2-i,则（　　）
A. z1的共轭复数为-1+2i B. |z1|=|z2|
C. z1+z2为实数 D. z1 z2的虚部为-5
10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,，，则（　　）
A. B. △ABC外接圆的面积为π
C. △ABC面积的最大值为 D. △ABC周长的最大值为
11.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△BEF，△CDF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A1，得到三棱锥A1-DEF下列关于该三棱锥的说法正确的有（　　）
A. A1D⊥EF
B. 点A1到平面DEF的距离为
C. 三棱锥A1-DEF的外接球的体积为
D. 点G，H分别是DE，DF上的动点，则△A1GH周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则x= .
13.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长是，则它的体积是 .
14.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若b=csinA，则tanB的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=1+mi（m∈R）.
（1）当m=1时，求；
（2）设z-2，z在复平面xOy内对应的点分别为A，B，若，求m的值.
16.(本小题15分)
如图，已知在平面四边形ABCD中，AB=4，CD=6，AD=BC=2.
（1）设∠BAD=α，∠BCD=β，若α=120°，求β；
（2）是否存在BD，使得BD平分∠ABC，若存在，求BD的长；若不存在，说明理由.
17.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，
（1）证明：BD1∥平面AEC；
（2）证明：AC⊥平面BD1；
（3）求三棱锥B1-ADC的体积.
18.(本小题17分)
△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若.
（1）求角B的大小；
（2）若b=4，点M是AC上的动点，
①若点M满足，BM=1，求△BMC的面积；
②若BM=CM，求BM的取值范围.
19.(本小题17分)
如图①，已知等腰梯形ABCD的外接圆圆心O在底边AB上，AB∥CD，CD=AD=3，P是上半圆上的动点（不包含A，B两点），点Q是线段PA上的动点，将半圆APB所在的平面沿直径AB折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题：
（1）当PC∥平面QBD时，求的值；
（2）若PB⊥AD，PB=3，求PA与平面ABCD所成角的正弦值；
（3）若PB≤3，平面PAB⊥平面ABCD，设QB与平面ABCD所成的角为α，二面角Q-BD-A的平面角为β，求β-α取得最大值时tanα的值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】-2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】1；
1或-1．
16.【答案】β=60° 不存在，理由如下，
假设存在，由于BD平分∠ABC，可得cos∠ABD=cos∠DBC，
根据余弦定理，可得，解得BD2=76，
因此，
但此时AB+AD＜BD，所以假设不成立，不存在BD符合题意
17.【答案】设AC，BD交于点O，则O是BD中点，
连接OE，因为E为DD1中点，所以OE∥BD1，
又OE 平面AEC，BD1 平面AEC，所以BD1∥平面AEC 易知DD1⊥平面ABCD，
∵AC 平面ABCD，∴DD1⊥AC，
∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵BD 平面BD1，DD1 平面BD1，DD1∩BD=D，
∴AC⊥平面BD1；
18.【答案】；
①；②（0，2）．
19.【答案】； PA与平面ABCD所成角的正弦值； β-α取得最大值时tanα=1．
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