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2025-2026学年上海市静安区风华中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.若θ∈（，π），则的值是（　　）
A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0
2.下列函数中是奇函数的是（　　）
A. y=-|sinx| B. y=sin（-|x|） C. y=sin|x| D. y=xsin|x|
3.在△ABC中，“A=2B”是“a=2bcosB”成立的（　　）条件.
A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要
4.设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的有（　　）个.
①；②；③；④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.复数z=（m-2）+（m+1）i为纯虚数（i为虚数单位），则m= .
6.函数y=sinx+cosx（x∈R）的值域是 .
7.若，则= （用表示）.
8.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为 .
9.在复数范围内分解因式：2x2+x+1= .
10.已知tanθ=2，则的值为 .
11.函数y=1-2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期是π，则ω的值 .
12.若，α是第四象限的角，则cos（α-2π）= .
13.已知点A（5，12），将OA绕坐标原点顺时针旋转至OB，则B的坐标是 ；
14.已知在△ABC中三条边上的高分别为，则该三角形的形状是 .
15.如图所示，点A，B分别在x轴非负半轴和y轴非负半轴上滑动，且AB=2，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC=1，O是坐标原点，则的最大值是 .
16.设||=1，||=2， =0，=λ+μ，且λ+μ=1，则在上的投影的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知=（1，2），=（-3，2）.
（1）k为何值时，k+与-3垂直？
（2）k为何值时，k+与-3平行？
18.(本小题14分)
已知复数z=1-i,复数w满足方程z w-2iw=2+4i,求：
（1）复数w的值；
（2）求（是w的共轭复数）的值.
19.(本小题14分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．
（1）求b的值；
（2）求sin（2A+）的值．
20.(本小题18分)
已知函数.
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求函数f（x）在上的最值；
（3）在△ABC中，，若对任意实数t恒有，求△ABC面积的最大值.
21.(本小题18分)
定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角θ，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对x,y为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数z=a+bi（a,b∈R）在该斜坐标系中对应向量，记Z对应的斜坐标为a,b.
（1）若，的斜坐标为2，3，的斜坐标为1，-2，求的值；
（2）设复数对应斜坐标向量，若，问是否存在锐角θ，若存在，求出θ，若不存在，说明理由；
（3）记，在该斜坐标系中，若，求θ的大小；
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】2
6.【答案】[-]
7.【答案】
8.【答案】2
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】1
12.【答案】
13.【答案】（12，-5）
14.【答案】钝角三角形
15.【答案】3
16.【答案】（-，1]
17.【答案】解：=（1，2），=（-3，2），
则=（k-3，2k+2），=（10，-4），
（1）k+与-3垂直，
则10（k-3）-4（2k+2）=0，解得k=19；
（2）k+与-3平行，
则-4（k-3）-10（2k+2）=0，解得k=-．
18.【答案】w=-1+i 2
19.【答案】解：（1）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵已知a＞b，a=5，c=6，sinB=，∴cosB==．
∴b==．
（2）由正弦定理可得=，∴sinA==．
∵a＜c，∴A＜C，cosA==，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A-1=-，
sin（2A+）=sin2A cos+cos2A sin=-=．
20.【答案】π，单调递增区间为 最小值为-3，最大值为
21.【答案】 不存在，理由是，Z（，1），=+，因为⊥（-），所以 （-）=（+） （-）=+（1-） -
=+（1-）cosθ-1=（-1）（1-cosθ）=0，所以cosθ=1，又因为θ为锐角，所以不存在θ
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