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2025-2026学年陕西省西安市周至县第六中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（　　）
A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
2.已知，，则P（AB）=（　　）
A. B. C. D.
3.某学校选派了三位男教师和两位女教师参加某活动，这五位教师被分到三个不同的小组，其中两位女教师分派到同一个小组，则不同的分配方案有（　　）
A. 18种 B. 36种 C. 68种 D. 84种
4.的展开式中x3y3的系数为（　　）
A. 100 B. 60 C. 40 D. 20
5.设随机变量X B（2，p），Y B（4，p），若，则D（Y）=（　　）
A. B. C. D.
6.已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤a）=0.2，且P（a≤X≤a+2）=0.6，则a=（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
7.一名职业篮球运动员在某8场比赛中，三分球命中率分别为0.34，0.27，0.36，0.42，0.23，0.39，0.43，0.38，若这组数据的60%分位数为p,且随机变量ξ～B（20，p），则Eξ=（　　）
A. 7.6 B. 7.4 C. 7.2 D. 7
8.若（2+ax）n（a≠0）的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（　　）
A. （-∞，0）∪[2，3] B. （-∞，0）∪[]
C. [2，3] D. []
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（　　）
A. n=10 B. n=11
C. 奇数项的二项式系数和为211 D. 奇数项的二项式系数和为29
10.下列结论正确的有（　　）
A. 若随机变量X服从两点分布，，则
B. 若随机变量Y的方差D（Y）=3，则D（2Y+5）=12
C. 若随机变量ξ服从二项分布，则
D. 若随机变量η服正态分布N（6，σ2），P（η＜3）=0.1，则P（6＜η＜9）=0.4
11.某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
活动项目 篮球 轮滑 排球 跳绳 围棋
要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项.若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用X表示四人中选择跳绳的人数之和，则（　　）
A. 每位家长选择跳绳的概率为 B. X的可能取值有4个
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，那么正整数k的值是 .
13.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术圣地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中有3个被誉为最值得参观的洞窟.现游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，则至少选中2个最值得参观洞窟的概率是 .
14.抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子朝上面的点数.记事件A=“两个点数不相同”，事件B=“两个点数都没有出现5点”，则P（B|A）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128.
（1）求n；
（2）求展开式中含x项的系数；
（3）求展开式的第六项.
16.(本小题15分)
2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片.现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看.
（1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
（2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？
（3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
17.(本小题15分)
2026年新春，我市质检部门抽查了一家生产剪纸的文创工坊，随机抽取了100幅剪纸作品，检测其工艺质量指标，检测结果的频率分布直方图如图所示.
（1）求a的值，并估计该工坊生产剪纸的质量指标值的中位数（用分数作答）；
（2）新春佳节，市民选购剪纸时更看重工艺品质，若规定质量指标值不低于30为“新春优品剪纸”，用样本估计总体，从该厂生产的大量剪纸中随机抽取4幅，记其中“新春优品剪纸”的幅数为X，且各件产品是否为“优品”相互独立.求X的分布列并计算数学期望与方差.
18.(本小题17分)
某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数ξ的分布列与期望．
19.(本小题17分)
《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从6首古诗中随机抽取3首，答对多者获胜，小明可背诵其中4首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的.
（1）求小明可以背诵2首古诗的概率；
（2）求小明背诵古诗数X的期望与方差；
（3）选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适？
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】AD
12.【答案】3，7
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】n=7 -280 -672 x4
16.【答案】24；
16；
144．
17.【答案】a=0.020，中位数为
X 0 1 2 3 4
P
，
18.【答案】解：（1）事件A“选派的三人中恰有2人会法语的概率为；
（2）ξ的取值为0、1、2、3，
则，，，；
分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
．
19.【答案】 E（X）=2， 选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适
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