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2025-2026学年陕西省宝鸡中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于（　　）
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
2.函数f（x）=3x+ln2的导数为（　　）
A. 3xln3 B. C. D. 3x
3.书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有（　　）
A. 9种 B. 45种 C. 54种 D. 20种
4.函数的极值为（　　）
A. B. C. 2ln3 D. 3
5.如图，函数y=f（x）的图象在点P（1，y0）处的切线是l,则f（1）+f′（1）=（　　）
A. 1
B. 2
C. 0
D. -1
6.函数f（x）=cosx+（x+1）sinx+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（　　）
A. -， B. -， C. -，+2 D. -，+2
7.已知点P是直线y=2x-4上的动点，点Q是曲线y=x+ex上的动点，则|PQ|的最小值为（）
A. 5 B. C. D.
8.五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有4种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色）五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（　　）
A. 30 B. 120 C. 150 D. 240
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.数列{an}的前n项和为Sn，已知，则下列说法正确的是（　　）
A. {an}是递增数列 B. a10=-12
C. 当n＞4时，an＜0 D. 当n=5时，Sn取得最大值
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，an+1=3an+2，且a3=26，则（　　）
A. a1=3
B. {an+1}是等比数列
C. 是等差数列
D. 存在r,s,t且r＜s＜t,使得ar，as，at成等差数列
11.若函数有两个极值点x1，x2，（x1＜x2）则下列说法正确的是（　　）
A. a＞e B. f（x1）＜1 C. D. x1+x2＞2e
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.若，则f′（4）= .
13.已知等比数列{an}满足：a4+a6=10，a2 a8=2，则= .
14.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则数列{an}的通项公式为an= .
15.设f（x）是定义在R上的可导函数，f（2）=3，对任意实数x,有f′（x）＜1，则f（x）＞x+1的解集为 .
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知曲线C：y=f（x）=x3+x.
（1）求曲线C在点（1，2）处切线的方程；
（2）设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围.
17.(本小题12分)
已知函数f（x）=ax3+bx在x=1处取得极大值2.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，4]上的最值.
18.(本小题12分)
已知函数．
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)＝ln x+a(1-x)．
（1）讨论f(x)的单调性；
（ 2）当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f（x）=ax-e2-x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x∈（0，+∞）时，若f（x）≤xlnx+x2恒成立，求实数a的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】5
14.【答案】
15.【答案】（-∞，2）
16.【答案】4x-y-2=0
17.【答案】解：（1）由f（x）=ax3+bx,得f′（x）=3ax2+b.
因为f（x）在x=1上取得极大值2，
所以，解得．
当时，f（x）=-x3+3x,
则f′（x）=-3x2+3=-3（x+1）（x-1），
当x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当-1＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
故在函数f（x）在x=1处取得极大值．
所以f（x）=-x3+3x.
（2）由（1）可知，f′（x）=-3x2+3=-3（x-1）（x+1），
当x∈[-3，-1），f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，4]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以函数f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2，在x=1处取得极大值f（1）=2；
又因为f（-3）=18，f（4）=-52，
所以f（x）在[-3，4]上的最大值为18，最小值为-52．
18.【答案】解：（1）若a=0，则f（x）=，
f′（x）==-，
x∈（0，1）时，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（2）f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立 a≥的最大值，
由（1）可知：x=1时，函数y=取得最大值1，
∴a≥1，
∴a的取值范围是[1，+∞）．
19.【答案】解：（1）∵a1，3a2，9a3成等差数列，∴6a2=a1+9a3，
∵{an}是首项为1的等比数列，设其公比为q，
则6q=1+9q2，∴q=，
∴an=a1qn-1=，
∴bn==n ．
（2）证明：由（1）知an=，bn=n ，
∴=，
，①
∴，②
①-②得，，
∴，
∴Tn-=-＜0，
∴Tn＜．
20.【答案】 解：（1）f′（x）=-a（x＞0）,
若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若a＞0，则当x∈时，f′（x）＞0，
当x∈时，f′（x）＜0，
所以f（x）在上单调递增，在单调递减．
（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）无最大值，
当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，
最大值为=ln+a
=-lna+a-1，
因此＞2a-2等价于lna+a-1＜0，
令g（a）=lna+a-1，则g（a）在（0，+∞）上单调递增，g（1）=0，
于是，当0＜a＜1时，g（a）＜0；当a＞1时，g（a）＞0，
因此，a的取值范围是（0，1）．
21.【答案】解：（1）函数f（x）=ax-e2-x的定义域为R，且f′（x）=a+e2-x，
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在R上单调递增；
当a＜0时，f′（x）=a+e2-x，
令f′（x）＞0，解得x＜2-ln（-a），令f′（x）＜0，解得x＞2-ln（-a），
所以f（x）在（-∞，2-ln（-a））上单调递增，在（2-ln（-a），+∞）上单调递减；
综上可得：当a≥0时f（x）在R上单调递增；
当a＜0时f（x）在（-∞，2-ln（-a））上单调递增，在（2-ln（-a），+∞）上单调递减．
（2）由f（x）≤xlnx+x2，得ax-e2-x≤xlnx+x2，显然x＞0，从而恒成立，
令，x∈（0，+∞），
则=．
令h（x）=x-e2-x，x∈（0，+∞），因为h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（0）=-e2＜0，h（2）=1＞0，
所以 x0∈（0，2），，
所以当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
所以．
因为，所以，
所以，
所以a≤3，即a的最大值为3．
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