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2025-2026学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.点（4，-1，3）关于平面yOz的对称点为（　　）
A. （4，1，3） B. （-4，-1，3） C. （4，1，-3） D. （4，-1，-3）
2.已知f（x）=+2xf′（1），则f′（1）等于（　　）
A. 0 B. -1 C. 2 D. 1
3.若把英语单词“math”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（　　）
A. 24种 B. 23种 C. 12种 D. 11种
4.（x+y+z）4的展开式共（　　）
A. 10项 B. 15项 C. 20项 D. 21项
5.下列关于空间向量的命题中正确的是（　　）
A. 已知两个向量，，则与的夹角为锐角
B. 已知过点A（1，2，3）的平面α的法向量为，则点P（2，-1，3）到平面α的距离为
C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
D. 已知，，则在上的投影向量坐标为
6.已知函数，若不等式f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
7.“江畔何人初见月，江月何年初照人.”是扬州诗人张若虚笔下的千古名句.现有收录了《春江花月夜》的6本不同诗集，语文老师要将他们全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（　　）种分配方案.
A. 90 B. 120 C. 360 D. 540
8.取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均相等的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的半径与棱长的比值的平方为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，则（　　）
A. 直线DD1的一个方向向量为（0，0，1）
B. 直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）
C. 平面ABB1A1的一个法向量为（0，1，0）
D. 平面B1CD的一个法向量为（1，1，1）
10.下列有关排列数、组合数的等式中，n∈N*，m∈N，m≤n,正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
11.已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，满足且f（1）=0，则以下结论正确的是（　　）
A.
B. 过原点且与f（x）相切的直线方程为
C. 不等式的解集是（1，+∞）
D. 若k＜f（x）恰有两个整数解，则k的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知=21，那么n= ．
13.已知函数与g（x）=2lnx+m在区间上的图象有两个公共点，则实数m的取值范围为 .
14.已知在一正方体ABCD-OPQR中，其顶点A位于一个平面之内，且其余顶点位于该平面同一侧，已知点O，点C，点B到该平面的距离的平方分别为9，4，1，则该正方体ABCD-OPQR的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设，且.
（1）求n与a0的值；
（2）求a2+a4+a6+a8+a10的值.
16.(本小题15分)
如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC=2，AC=2，F是EB的中点.
（1）证明：DF∥平面ABC；
（2）若四棱锥B-ACDE的体积为3，求平面DEF与平面ABC夹角的余弦值的最大值.
17.(本小题15分)
中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”，“武术”，“书法”，“剪纸”，“京剧”，“刺绣”六门体验课程.
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程排在第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数；
（2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
（3）计划安排A，B，C，D，E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数.
18.(本小题17分)
已知函数.
（1）求函数f（x）的极小值；
（2）讨论函数g（x）的单调性；
（3）若存在实数a,使得f′（x） g（x）≥bx2在x∈[0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围.
19.(本小题17分)
在空间直角坐标系Oxyz中，这点P（x0，y0，z0）且以为方向向量的直线方程可表示为，过点P（x0，y0，z0）且以为法向量的平面方程可表示为ax+by+cz=ax0+by0+cz0.
（1）已知直线l1的方程为，直线l2的方程为.请分别写出直线l1和直线l2的一个方向向量.
（2）若直线与都在平面α内，求平面α的方程；
（3）若集合M={（x,y,z）||x|+|y|+|z|=2}中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ABC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】6
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由，得n=2+8=10，
令x=0，得a0=1；
（2）由（1）可知，
令x=1，得a0+a1+a2+…+a10=0，①
令x=-1，得a0-a1+a2-…+a10=1024，②
①+②，得2（a0+a2+a+a6+a8+a10）=1024，
所以a0+a2+a4+a6+a8+a10=512，
所以a2+a4+a6+a8+a10=511．
16.【答案】解：（1）证明：取AB的中点M，连接CM，FM，
∵F，M分别是EB和AB的中点，
∴FM=，且FM∥AE，
∵EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，
∴DC=，且DC∥AE，
∴FM=DC且FM∥DC，
∴四边形FMCD为平行四边形，
∴DF∥CM，
又∵DF 平面ABC，CM 平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（2）设B到平面ACDE的距离为d,
则，
故d=3．
由于DC⊥平面ABC，建立如图空间直角坐标系C-xyz,
∵EA=2DC=2，AC=2，
∴C（0，0，0），D（0，0，1），A（0，2，0），E（0，2，2），
设B（3，t,0），则，
，，
设平面DEF的法向量为，
则由，得，
取x=t+2，得y=-3，z=6，
因此平面DEF的一个法向量．
由于DC⊥平面ABC，
因此是平面ABC的一个法向量．
设平面DEF与平面ABC的夹角为θ，
则，
∴平面DEF与平面ABC夹角的余弦值的最大值为．
17.【答案】96；
360；
1140．
18.【答案】1 当a=0时，g（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当a＞0时，g（x）在[1-a，1]上单调递增，在（-∞，1-a）和（1，+∞）上单调递减，
当a＜0时，g（x）在[1，1-a]上单调递增，在（-∞，1）和（1-a，+∞）上单调递减 （-∞，1]
19.【答案】解：（1）根据题意：因为直线l1的方程为，
即，
所以直线l1的一个方向向量；
直线l2的方程为，
即，
所以直线l2的一个方向向量．
（2）因为直线l1过点P（1，0，1），且其一个方向向量为，
直线l2过点P（1，0，1），且其一个方向向量为，
则P（1，0，1）为平面α内一点，
设平面α的法向量为，
则，则，，
令x1=2，则y1=-1，z1=3，
可得，
所以平面α的方程为2x-y+3z=2×1+（-1）×0+3×1，即2x-y+3z=5．
（3）因为集合M={（x,y,z）||x|+|y|+|z|=2}，
多面体Ω与坐标轴交于各点M（2，0，0），N（0，2，0），R（-2，0，0），S（0，-2，0），E（0，0，2），F（0，0，-2），如图所示，
可知四边形MNRS为正方形，
边长，
所以正方形MNRS的面积为，
又
所以正四棱锥E-MNRS的高为，
则，
所以多面体Ω的体积为．
因为集合M={（x,y,z）||x|+|y|+|z|=2}中所有的点构成了多面体Ω的各个面，
点M（2，0，0），N（0，2，0），E（0，0，2）均满足方程x+y+z=2，
所以平面MNE的方程为x+y+z=2，且该平面的一个法向量为，
同理平面ENR的方程为-x+y+z=2，该平面的一个法向量为，
平面MNF的方程为x+y-z=2，该平面的一个法向量为，
所以，，
因为任意相邻两平面的夹角的余弦值都为，
所以多面体Ω相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为，
综上，Ω的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为．
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