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2025-2026学年湖南省永州市宁远县第一中学崇德学校等校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.不小于2的所有整数构成的集合可表示为（　　）
A. {x∈Q|x＞2} B. {x∈N|x＞2} C. {x∈Q|x≥2} D. {x∈N|x≥2}
2.若f（x）为奇函数，当x＞1时，f（x）=log4x,则f（-8）=（　　）
A. B. C. D.
3.将复数（1+i）（5-10i）的实部与虚部进行交换，得到的复数为（　　）
A. -5+15i B. 5-15i C. -5-5i D. -5+10i
4.的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（　　）
A. -30 B. -29 C. 1 D. 31
5.设双曲线的左焦点为F1（-c,0），过F1作C的一条渐近线的垂线，交y轴于点M，若，则C的离心率为（　　）
A. 2 B. C. D.
6.从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，则这4个数恰好可以构成等差数列或等比数列的概率为（　　）
A. B. C. D.
7.已知随机变量X服从两点分布，随机变量Y的分布列为
Y 1 2 3
P 0.2 0.6 0.2
若P（X=0）=0.5，且X与Y相互独立，则D（X+Y）=（　　）
A. 0.25 B. 0.4 C. 0.65 D. 0.9
8.函数f（x）=e2x-（2x+1）ex+x2+x的最小值为（　　）
A. B. ln2 C. 1 D. 0
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知数列{an}，{bn}分别是等差、等比数列，则必有（　　）
A. a5+a7=a12 B. a6+a7+a20=3a11
C. b1b2b19=b2b3b17 D. b1+b2，b3+b4，b5+b6成等比数列
10.若 x∈（0，4]，3x2-a2＜x3+10a,则a的取值可以为（　　）
A. -10 B. C. -4 D. 1
11.在正四棱锥P-ABCD中，是PB的中点，M为底面的中心，点T在四棱锥P-ABCD的外接球（球O）的球面上，点N在四棱锥P-ABCD的内切球的球面上，则（　　）
A. 球O的表面积为48π
B. 平面HAD将该四棱锥P-ABCD分成两部分，体积较小的部分也是一个四棱锥
C. NT的最大值为
D. 为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数，则= .
13.振风塔享有“万里长江第一塔”的美誉.某中学社会实践小组为测量振风塔的高度，开展了一次实地测量的活动.他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得CD=21米，∠BCD=15°31′，∠BDC=150°，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则振风塔的高度AB约为 米.（结果精确到整数，参考数据：取）
14.如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有 种.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数.
（1）求的值；
（2）求f（x）的定义域；
（3）若f（x）在区间[0，m]上有零点，求m的最小值.
16.(本小题15分)
某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为0.6，选择乙餐厅的概率为0.4，甲餐厅的准时送达率为0.95，乙餐厅的准时送达率为0.9.已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立.
（1）求该用户每次外卖点餐准时送达的概率.
（2）平台推出“准时保”，每单需支付0.5元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付.该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过0.3元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，且AB=BC=3，AA1=2.
（1）证明：EF∥平面AB1C1.
（2）在答题卡上，作出平面B1DF与AC的交点，并说明你的理由.
（3）求平面B1DF与平面ABB1A1夹角的正切值.
18.(本小题17分)
已知椭圆经过点，且E的长轴长与短轴长之比为.
（1）求E的方程.
（2）已知点P（1，1），过点P且斜率为k1的直线l1与E交于A，B两点，过点P且斜率为k2（k2≠k1）的直线l2与E交于C，D两点，M，N分别为AB，CD的中点，且k1+k2=1.
（i）若P与M重合，求k1k2.
（ii）判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
19.(本小题17分)
在正项数列{an}中，记，若{bn}为非零常数列，则称{an}存在等比型递推结构，数列{bn}为{an}的结构常数数列.
（1）试问数列是否存在等比型递推结构？请说明理由.
（2）已知正项数列{an}存在等比型递推结构，且a1=1，a2=2，a4=64.
（i）求{an}的通项公式；
（ii）设，记{pn}的前n项和为Tn，证明：对任意n∈N*，2（e2n-1）＜e2n（e2-1）（1-2n+2n Tn）恒成立.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】10
13.【答案】73
14.【答案】13020．
15.【答案】-1
16.【答案】0.93 他愿意购买“准时保”．
理由如下：
设他购买“准时保”的净收益为Y元，则Y的所有可能取值为-0.5，2.5，
P（Y=-0.5）=0.93，P（Y=2.5）=1-0.93=0.07，
则E（Y）=0.93×（-0.5）+0.07×2.5=-0.29．
因为E（Y）=-0.29＞-0.3，即亏损期望不超过0.3元，所以他愿意购买“准时保”
17.【答案】证明：因为，
即得，所以EF∥BC，
又因为BC∥B1C1，所以EF∥B1C1，
因为EF 平面AB1C1，且B1C1 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1 如图：
理由：延长B1D交BC延长线于点G，连接FG交AC于点H，
因为G∈B1D，且B1D 平面B1DF，所以G∈平面B1DF，
又因为F∈平面B1DF，所以FG 平面B1DF，
所以H为平面B1DF与AC的交点
18.【答案】 （i）；（ⅱ）直线MN过定点
19.【答案】数列存在等比型递推结构，设，
根据等比型递推的定义，可得数列存在等比型递推结构 （i）；（ii）证明：，
所以
=，
则，
要证2（e2n-1）＜e2n（e2-1）（1-2n+2n Tn），只需证，
设，则h′（x）=ex-x-1，
设g（x）=ex-x-1，则g′（x）=ex-1，
当x＞0时，g′（x）=ex-1＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（0）=e0-0-1=0，
所以h′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以，所以在（0，+∞）上恒成立，
令x=2n（n∈N*），得，
即，所以，
即，
对任意n∈N*，2（e2n-1）＜e2n（e2-1）（1-2n+2n Tn）恒成立
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