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2025-2026学年湖北省黄冈市罗田县第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若z=i,则z =（　　）
A. -2 B. - C. D. 2
2.设，，，则a,b,c的大小关系是（　　）
A. c＜a＜b B. a＜b＜c C. b＜a＜c D. a＜c＜b
3.已知向量，且的夹角为锐角，则m的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
4.古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus,公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，….如图，则cos∠BAD=（　　）
A.
B.
C.
D.
5.已知点A（1，3），B（2，4），C（0，5），点P在△ABC所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
6.将f（x）的图象上所有点向右平移1个单位长度后，得到函数g（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，的图象，函数g（x）的图象如图所示，则（　　）
A.
B. f（x）的图象的对称轴方程为
C. 不等式f（x）＞0的解集为
D. f（x）在（-2，-1）上单调递增
7.△ABC中，，AB=2，A=45°，P是△ABC外接圆上一点，，则λ+μ的最大值是（　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f（x）=tan（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的相邻两个对称中心的距离为，且f（1）=-，则函数y=f（x）的图象与函数y=（-5＜x＜9且x≠2）的图象所有交点横坐标之和为（　　）
A. 16 B. 4 C. 8 D. 12
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（　　）
A. i+i2+i3+i4=0 B. 复数-2-i的虚部为-i
C. 若复数z为纯虚数，则|z|2=z2 D. |z1 z2|=|z1||z2|
10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,下列命题中正确的是（　　）
A. 若A＞B，则sinA＞sinB
B. 若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB
C. 若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定为钝角三角形
D. 若b=2，A=30°的三角形有两解，则a的取值范围为（1，2）
11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且 =.则下列说法正确的是（　　）
A. 若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△ABC的重心
B. 若SA：SB：SC=1：2：3，则
C. 若，则
D. 若M为△ABC的内心，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角θ的终边上有一点（-5a,12a），其中a≠0，则sinθcosθ+cos2θ-sin2θ+1的值为 .
13.给出如下命题：
①若点P（m,2m）（m≠0）为角α终边上一点，则sinα=；
②若cosα＞0，则α一定是第一象限角或第四象限角；
③tan，sin2-cos2的值都大于0；
④终边不同的角的同名三角函数的值不相等.
其中正确命题的序号是 .
14.在△ABC中，，，∠BAC为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且PQ=2，若的最小值为3，则cos∠BAC= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若已知向量，，设函数.
（1）若且x∈（0，π），求角x的大小；
（2）已知α，β均为锐角，，，求sin（α+β）的值.
16.(本小题15分)
已知a＞0，函数是奇函数，g（x）=4x-2x+3.
（1）求实数a的值；
（2）若， x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2）+k,求实数k的取值范围.
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c且.
（1）求角B；
（2）若a+c=2，求边AC上的角平分线BD长；
（3）求边AC上的中线BE的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上.已知AB=40米，米，记∠BHE=θ.
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度L；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.
19.(本小题17分)
如图，设Ox,Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，分别为Ox,Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α-仿射坐标系，在α-仿射坐标系中，若，则记.
（1）在α-仿射坐标系中
①若，求；
②若，且与的夹角为，求cosα；
（2）如上图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，分别为BD，BC中点，求的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】③
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（x）+f（-x）=0，
可得，即，
即，解得a=3或-3（舍），
当a=3时，，可得，解得，
所以函数f（x）的定义域为，经检验，a=3符合题意．
（2）由函数，
则函数f（x）在上单调递增，
所以函数f（x）在上的最小值f（x）min=f（0）=0；
由函数g（x）=4x-2x+3=（2x-4）2-16，且当x∈[1，4]时，2x∈[2，16]，
则g（x）在[1，4]上的最小值g（x）min=g（2）=-16．
由， x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2）+k,则f（x）min≥g（x）min+k,
即0≥-16+k,解得k≤16，即k的取值范围是（-∞，16]．
17.【答案】
18.【答案】， （米） 或，污水净化效果最好，此时管道的长度为米
19.【答案】解：:(1)因为=(m,n),=m+n,
==+2mn+=+2mn+,
所以||=，
由=(-1,3),=(-3,1),得||==，
||==，
=(-+3)(-3+)=3+3-10=6-10，
因为与的夹角为,则===,得=;
(2)方法一:依题意设B(m,0),C(0,n),(m>0,n>0)
BOC=,BC=1,==(0,n)
因为F为BC中点，所以 =+=+
E为BD中点,所以=OD+OB=+,
所以=(+)(+)=++(mn+mn)
因为==1,=11=.
=++(mn+mn)=++mn
在OBC中依据余弦定理得+-mn=1, 所以mn=+-1, 代入上式,
=+-=(+)-,
设+-1=mn+(t>0),则(1-t)+(1-)1,
令=得-12t-5=0,得=,=-(舍),所以+1,+
=(+)--=,
方法二:方法一:依题意设B(m,0),C(0,n),(m>0,n>0),
BOC=,BC=1,==(0,n)
因为F为BC中点=+=+，
E为BD中点,所以=+=+，
所以=(+)(+)=++(mn+mn)，
因为==1,=11=.
=++(mn+mn)=++mn,
在OBC中依据余弦定理得+-mn=1,所以mn=+-1,代入上式,
=+-=(+)-,
在OBC中,由正弦定理==,
设BCO=,m=,n=(+)
+=+(+)=+
=[5(1-2)+8(1+2+2)]
=(13-2+42)=[13+(2-)],=
=(+)- -=.
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