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2025-2026学年黑龙江省龙东十校联盟高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数6+2i3在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，且，则m=（　　）
A. -2 B. C. D. 2
3.已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（　　）
A. B. 6 C. D. 3
4.已知m,n是两条不同的直线，α表示平面，且m⊥α，则“n∥α”是“m⊥n”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.如图，α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和点D，E，F，且，则的值为（　　）
A.
B. 2
C.
D.
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且，△ABC的面积为，则a的值为（　　）
A. 1 B. C. 2 D.
7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=BC=2DC=2，E为AC上一点，且满足AE=BE，则=（　　）
A. 1
B.
C.
D. 2
8.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为的正方形，侧棱，E，F分别是AB，BC的中点，则过点D1，E，F的平面截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量不共线，，若M，N，P三点共线，则λ的可能的取值为（　　）
A. B. -1 C. 1 D.
10.已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（　　）
A. 若z1-z2＞0，则z1＞z2 B.
C. 若z1z2=z1z3且z1≠0，则z2=z3 D. |z1-z2|≤|z1|+|z2|
11.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ACC1A1是边长为2的正方形，点D为棱BB1的中点，AD⊥平面BCC1B1，则下列说法正确的是（　　）
A. 直线AD与直线A1C是异面直线
B. CB=CB1
C. 三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积可能为10
D. 三棱柱ABC-A1B1C1的体积的最大值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=m2-4m-5+（m2-5m）i（m∈R）是纯虚数，则m= .
13.在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，PA⊥AC，PB⊥BC，PC=4，则点P到平面ABC的距离为 .
14.已知平面向量满足，非零向量满足，向量满足，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且a=7，b=5，锐角C满足.
（1）求c的值；
（2）若D是线段AB的中点，求CD的值.
16.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，A1B1，D1C1的中点.
（1）求证：平面AEF∥平面GBD；
（2）记A1C∩平面GBD=P，A1C1∩平面GBD=Q，CC1∩平面GBD=R，求证：P，Q，R三点共线.
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角A的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）若，求b的值.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是棱AD，PB的中点.
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求证：AF∥平面PEC；
（3）若四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上，且球O的表面积为9π，记平面PAB∩平面PEC=l,求直线l与BD所成角的余弦值.
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且bcosC+ccosB=9.
（1）求a的值；
（2）已知D，E满足.
（i）若，求AD的值；
（ii）若∠BAD=∠CAE，求△ABC面积的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】-1
13.【答案】2
14.【答案】.
15.【答案】8
16.【答案】连接FG，又点F，G分别为棱A1B1，D1C1的中点，∴AD=FG，AD∥FG，
∴四边形ADGF是平行四边形，∴AF∥DG，
又DG 平面GBD，AF 平面GBD，∴AF∥平面GBD，
连接B1D1，又点E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，∴EF∥B1D1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1，BB1=DD1，
∴四边形DBB1D1是平行四边形，
∴DB∥B1D1，∴EF∥BD，
又DB 平面GBD，EF 平面GBD，∴E F∥平面GBD，
又EF∩AF=F，EF 平面AEF，AF 平面AEF，∴平面AEF∥平面GBD．
∵ A1C∩平面GBD=P，∴P∈平面GBD，P∈A1C，
又A1C 平面A1CC1，∴P∈平面A1CC1，
∵A1C1∩平面GBD=Q，∴Q∈平面GBD，Q∈A1C1．
又A1C1 平面A1CC1，∴Q∈平面A1CC1．
∴平面GBD∩平面A1CC1=PQ，
∵CC1∩平面GBD=R，∴R∈平面GBD，R∈CC1．
又CC1 平面A1CC1，∴R∈平面A1CC1．
∴R∈PQ，即P，Q，R三点共线
17.【答案】
18.【答案】证明：根据题意可得AC⊥BD，
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，又PC 平面PAC，
所以BD⊥PC 证明：取PC的中点G，连接GE，GF，如图所示：
又F是棱PB的中点，所以GF∥，
又底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱AD的中点，所以AE∥BC，
，所以AE∥GF，AE=GF，
所以四边形AEGF是平行四边形，
所以AF∥EG，又AF 平面PEC，EG 平面PEC，
所以AF∥平面PEC
19.【答案】a=9 （i）；（ii）27
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