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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若向量=（1，1），=（-1，1），=（4，2），则=（　　）
A. 3+ B. 3- C. -+3 D. +3
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3.如图，在正四面体P-ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是（　　）
A. BC∥平面PDF B. DF⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面PAE D. 平面PDE⊥平面ABC
4.已知向量与向量的方向相反，，点B坐标为（3，-4），则点A坐标为（　　）
A. （9，-12） B. （-3，4） C. （6，-8） D. （-8，6）
5.设α、β、γ为平面，a、b为直线，给出下列条件：
①a α、b β，a//β，b//α；
②α//γ，β//γ；
③α⊥γ，β⊥γ；
④a⊥α，b⊥β，a//b．
其中能使α//β成立的条件是（　　）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
6.正四棱锥P-ABCD中，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则侧棱与底面所成角大小为（　　）
A. B. C. D. 以上都不对
7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=1，则点B到平面D1AC的距离等于（　　）
A. B. C. 1 D.
8.半径为4的圆上有三点A，B，C，线段AB长为4，则的取值范围是（　　）
A. [0，24] B. [-16，8] C. [-8，16] D. [-8，24]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是（　　）
A. 若存在实数λ，使得=λ，则与共线
B. 若与共线，则存在实数λ，使得=λ
C. 若与不共线，则对平面α内的任一向量，均存在实数λ，μ，使得=λ+μ
D. 若对平面α内的任一向量，均存在实数λ，μ，使得=λ+μ，则与不共线
10.设θ是两个非零向量和的夹角，若对任意实数t,的最小值为1，则下面说法错误的是（　　）
A. 若θ确定，则唯一确定 B. 若θ确定，则唯一确定
C. 若确定，则θ唯一确定 D. 若确定，则θ唯一确定
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，H为AD中点，D1H与A1D交于M，BH与AC交于N，则下面结论正确的是（　　）
A. MN∥平面DCC1D1 B. BD1⊥B1C
C. MN⊥平面A1C1D D. 三棱锥D1-ABH外接球表面积为14π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量满足，，若，则= .
13.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是 .
14.在棱长为3正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段BC1（包括端点）上运动，有下列判断：①平面PB1D⊥平面ACD1；②A1P∥平面ACD1；③异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是；④顶点D到直线A1P距离的取值范围是其中，正确的是 .（把所有正确判断的序号都填上）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量，，x∈R.
（1）若，求；
（2）若与的夹角为锐角，求x的取值范围.
16.(本小题15分)
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，在底面ABCD中，，E在棱PD上且PE=2ED.
（1）求证：BC∥平面PAD；
（2）线段AD上是否存在点N，使得平面CEN∥平面PAB？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由.
17.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,已知.
（1）求A；
（2）AD是△ABC的角平分线，且，求4b+c的最小值.
18.(本小题17分)
已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧面BB1C1C是矩形，O为正方形A1B1C1D1的中心，E在线段AB上.
（1）证明：平面BCO⊥平面ABB1A1；
（2）若四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积是8，且直线AO∥平面B1C1E，
①求AE；
②求直线CE与平面ABO所成角的正弦值.
19.(本小题17分)
已知正方形ABCD的边长为6，点E为边CD的中点，将△ADE沿着AE折起，使D点到D′的位置，此时D′点在平面ABCD内的射影在AC上，M是线段BD上一点.
（1）求D′点到平面ABCD的距离；
（2）求证：MD′⊥D′C；
（3）当二面角D′-AM-C的余弦值为时，求BM.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】①②④
15.【答案】解：（1）∵，
∴，解得：x=-1或x=3，
当x=-1时，，
∴；
当x=3时，，
∴；
综上所述：或10
（2）若共线，则-x=x（2x+3），解得：x=0或x=-2，
当x=0时，，，此时同向；
当x=-2时，，，此时反向；
∴若与的夹角为锐角，
则，解得：-1＜x＜3且x≠0，
故x的取值范围为（-1，0）∪（0，3）．
16.【答案】证明见解答；
存在，．
17.【答案】
18.【答案】连接BO，CO，
因为ABCD是正方形，所以BC⊥AB，
因为侧面BB1C1C是矩形，所以BC⊥BB1，
又AB，BB1 平面ABB1A1，AB∩BB1=B，
所以BC⊥平面ABB1A1，
而BC 平面BCO，
所以平面BCO⊥平面ABB1A1 ①1；②
19.【答案】2 设对角线AC，BD的交点为G，连接D′G，则AC⊥BD，G（3，3），
由（1）知O（4，4），C（6，6），
所以，，，
因为D′O⊥平面ABCD，AC，BD 平面ABCD，
所以D′O⊥BD，D′O⊥AC，
又D′O∩AC=O，D′O，AC 平面D′AC，
所以BD⊥平面D′AC，
而D′C 平面D′AC，所以BD⊥D′C，
在Rt△D′OC中，，D′O=2，所以，
在Rt△D′OG中，，D′O=2，所以，
在△D′GC中，，即D′G⊥D′C，
又D′G∩BD=G，D′G，BD 平面D′DB，
所以D′C⊥平面D′DB，
因为M是线段BD上一点，所以MD′ 平面D′DB，所以MD′⊥D′C 或
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