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2025-2026学年河北省唐山市遵化市高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若复数z=3-5i,则复数z的虚部为（　　）
A. 5i B. -5 C. 5 D. -5i
2.已知向量=（1，2），=（x,3）.若⊥（-），则x=（　　）
A. -6 B. -1 C. D. 6
3.若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（　　）
A. B. C. D.
4.对于两条不同直线m,n和两个不同平面α，β，以下结论中正确的是（　　）
A. 若m∥α，n⊥α，则m⊥n B. 若α∥β，m∥α，则m∥β
C. 若α⊥β，m∥α，则m⊥β D. 若m⊥n,n⊥α，则m∥α
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知sinA=2sinB，C=60°，E为BC中点，F在线段AB上，且，AE和CF相交于点P，则∠EPF的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
6.已知sin2β=3sin2（α+γ），则=（　　）
A. -2 B. C. D.
7.若复数z=（5-12i）（cosθ+isinθ）（θ∈R）（其中i是虚数单位），则||=（　　）
A. 5 B. 12 C. 13 D. 17
8.在三棱锥P-ABC中，AB=AC=，∠BAC=120°，PB=PC=，PA=，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A. 40π B. 20π C. 80π D. 60π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（　　）
A. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
B. 若直线a不平行于平面α且a α，则平面α内不存在与a平行的直线
C. 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行
D. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
10.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且满足a（cosB-cosC）=（b+c）cosA.下列说法正确的有（　　）
A. A=2B
B. 的取值范围为
C. cosB取值范围为
D. 若∠BAC的平分线交BC于D，AD=1，，则
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若∠A=60°，D为BC的中点，则下列结论正确的是（　　）
A. sinB+sinC≥1 B. 当a=4，b=3时，△ABC仅有一解
C. 当a2=bc时，△ABC为等边三角形 D. 当a=2时，AD的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则|z|= .
13.已知正方形ABCD的边长为2，点E为CD中点，则= .
14.已知圆锥SO的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆O的一条直径，C为圆O上的一个动点（不与A，B重合），则三棱锥S-ABC的外接球体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知与是非零向量，，且.
（1）求与的夹角θ；
（2）求.
16.(本小题15分)
已知复数.
（1）求；
（2）若，求|a+bi|.
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且a=7，b=5，锐角C满足.
（1）求c的值；
（2）若D是线段AB的中点，求CD的值.
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,且.
（1）求A；
（2）若，求a；
（3）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑 波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”如图，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A′，B′，C′，若，求△A′B′C′的面积的最大值.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD=AB=2，，PB⊥PD，点E是棱AD上的一点.
（1）记平面PAD与平面PBC的交线为l,求证：l∥BC；
（2）若AE=2ED，求二面角E-PB-D的正弦值；
（3）若直线PE与平面PAB所成角的余弦值为，求线段PE的长.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】1
13.【答案】3
14.【答案】
15.【答案】；

16.【答案】
17.【答案】8
18.【答案】；
；
．
19.【答案】证明见解答； ； ．
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