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2025-2026学年广东省中山市华侨中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若α是第二象限，则点P（sinα，cosα）在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（　　）
A. B. C. D.
3.将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标伸长为原来的倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）
A. B. C. D.
4.在△ABC中，D在BC上，且BD=2DC，∠DAC+∠BAC=π，则的值为（　　）
A. B. 2 C. 3 D.
5.已知cos（）-sinα=，则cos（2α-）的值为（　　）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M，N，设，，则2m+n的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，若，则的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
8.在边长为1的正三角形ABC中，P，Q分别在边AB，AC上，且，则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，，则（　　）
A. B.
C. D.
10.已知a,b,c分别为△ABC内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（　　）
A. 若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
B. 在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
C. 若，，且△ABC有两解，则b的取值范围是
D. 若cos2A+cos2B＜1+cos2C，则△ABC为锐角三角形
11.给出下列命题，其中正确的选项有（　　）
A. 若，，向量与向量的夹角为120°，则在上的投影向量为
B. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
C. 若，则P是△ABC的垂心
D. 在△ABC中，向量与满足（） =0，且，则△ABC为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足||=2，||=1，⊥（+），则|-2|=______．
13.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边取点C，D，测得∠ADC=90°，∠BDC=60°，∠ACD=45°，∠BCD=75°，CD=100m,设A，B，C，D在同一个平面内，试求A，B两点之间的距离为 .
14.已知函数f（x）=sin（）sin（）（ω＞0），（x∈R），若f（x）在区间（）内没有零点，则ω的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行四边形ABCD中，.
（1）用向量，表示，；
（2）若，证明：A，E，F三点共线.
16.(本小题15分)
如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20km到达D处，此时测得C，D相距21km.
（1）求sin∠BDC；
（2）求D，A之间的距离.
17.(本小题15分)
已知函数的一段图象如图所示；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若，，求的值.
18.(本小题17分)
已知在△ABC中，N为AB中点，，，.
（1）若∠BAC=60°，求；
（2）设和的夹角为θ，若，求证：CN⊥AB；
（3）若线段NC上一动点P满足，试确定点P的位置.
19.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知2ccosC=acosB+bcosA.
（1）求C.
（2）若D在AB上，CD平分∠ACB.若E在AC上，BE平分∠ABC，且BC+BD=BE+CE，求∠ABC.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】ABC
11.【答案】ACD
12.【答案】2
13.【答案】50m
14.【答案】（0，]∪[]
15.【答案】， 由（1），又，
所以，
所以A，E，F三点共线
16.【答案】解：（1）根据题意，在△BCD中，BD=20km,CD=21km,BC=31km,
在△BCD中，由余弦定理得，
结合0°＜∠BDC＜180°，可得；
（2）由sin∠BDC=，得sin∠ADC=sin（π-∠BDC）=，
由题意知∠CAD=20°+40°=60°，
在△ACD中，由正弦定理得，所以AC===24km,
由余弦定理AC2=AD2+CD2-2AD CDcos∠ADC，
可得AD2+441-6AD=576，整理得AD2-6AD-135=0，解得AD=15km或AD=-9km（舍去）．
所以AD=15km,即D、A之间的距离为15km.
17.【答案】；
．
18.【答案】；
证明见解答；
点P为线段NC的中点．
19.【答案】
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