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2025-2026学年福建省厦门市集美实验学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＜2 B. x≠2 C. x≤2 D. x≥2
2.下列长度的四组线段中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 1，，2 D. 6，7，8
3.下列性质中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（　　）
A. 对角线垂直 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
4.如图，A，B两地被池塘隔开，小明在AB外选一点C，连接AC、BC，分别取AC、BC的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（　　）
A. AC
B. AD
C. CD
D. DE
5.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
6.已知点（-1，y1）、（，y2）、（2，y3）都在直线y=x+b上．则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y1＜y2＜y3 D. y1＜y3＜y2
7.如图，l1∥l2，AB=4，△ABD的面积为4，则点C到AB的距离为（　　）
A. 4
B. 2
C. 12
D. 10
8.某教材《阅读与思考》中的部分内容如下：
科学家如何测算岩石的年龄
你知道科学家如何测算岩石的年龄吗？解决这个问题时也用到函数这个数学工具.
1903年，英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢.物质所剩的质量与时间成某种函数关系，如图为表示镭的放射规律的函数图象.
某数学社团通过查阅资料，了解到放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此种放射性物质的半衰期.结合镭的放射规律的函数图象，下列说法不正确的是（　　）
A. 镭所剩质量与时间成函数关系
B. 当时间为4860年时，m的值为
C. 镭的半衰期是1620年
D. 32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是6480年
9.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+的值最小时，线段PD的长是（　　）
A.
B.
C.
D.
10.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，F是CD延长线上一点，连接EF交对角线BD于点G，连接AG，若BE=DF，∠CEF=α，则∠AGB=（　　）
A. α
B.
C. α+15°
D. 135°-α
二、填空题：本题共6小题，共26分。
11.计算：
（1）= ；
（2）= ；
（3）= .
12.若一个多边形的内角和与外角和之和是720°，则该多边形的边数是 .
13.如图，公路AB和BC互相垂直，点B和AC的中点D被一个湖泊隔开，若公路AC的长为10千米，则B，D两点之间的距离为 .
14.某款汽车行驶前油箱中装满汽油70升，行驶途中每行驶1百公里耗油6升，那么该款汽车油箱中的剩余油量y（升）与它所行驶的路程x（百公里）之间的函数关系式是______（不必写取值范围）．
15.《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有 亩（1亩=240平方步）．
16.如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD.则下列结论中：
①当∠BOP=45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP=30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为；④当OD⊥AD时，BP=1.其中结论正确的有 .
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.计算：
（1）；
（2）.
四、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
先化简，再求值：，其中.
19.(本小题9分)
如图，在 ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且BF=DE，求证：四边形AFCE是平行四边形.
20.(本小题9分)
已知函数y=2x+2.
（1）画出该函数图象；
（2）若点A（-2m,-2m）在函数图象上，求点A的坐标.
21.(本小题9分)
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O.
（1）在CD边上求作点E，使得BE=DE；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，延长EO交AB于点F，连接DF，求证：四边形BEDF是菱形.
22.(本小题9分)
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c.
定义：若a：b：c=3：4：5，则称△ABC是“完全三角形”.
（1）求证：完全三角形是直角三角形；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+c=2b,判断△ABC是否为完全三角形，并说明理由.
23.(本小题9分)
综合与实践：
【问题情境】：
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE，AF与BC，CD边分别交于E，F两点，易证得EF=BE+FD.
证明思路：如图2，将延长CB至点H，使BH=DF，连接AH，可证△ADF≌△ABH，再证△AEF≌△AEH，故EF=BE+DF.
【知识应用】
（1）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的∠EAF=60°，AE，AF与BC，CD边分别交于E，F两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=BE+DF是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
【拓展提升】
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，点E为CD中点且AE平分∠DAM，如图4，试判断AM，AD和MC之间的数量关系并给出证明.
24.(本小题9分)
观察下列各式：
=1+-=1
=1+-=1
=1+-=1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）=______
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：______；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
25.(本小题12分)
如图1，四边形ABCD中，对角线AC，BD互相垂直平分，过A作AH⊥CD于H交OD于K，延长DA至M，作∠MAH的平分线，交BD于E，交BC于F.
（1）判断四边形ABCD的形状并证明；
（2）如图2连接OH，判断OH与AE的数量关系，并说明理由；
（3）补全图形：延长AH，交EC延长线于G，延长AF，交DC延长线于I，探究当时，比较和GC的大小关系，并说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】10
3
5

12.【答案】4
13.【答案】5千米
14.【答案】y=-6x+70
15.【答案】2
16.【答案】①②
17.【答案】 2
18.【答案】解：原式=
=
=，
当m=2+时，原式===．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BF=DE，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
20.【答案】函数图象如下：
A（-2，-2）
21.【答案】作图见解答；
证明过程见解答．
22.【答案】（1）证明：∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3x,则b=4x,c=5x,
∵（3x）2+（4x）2=25x2=（5x）2，
∴a2+b2=c2，
∴完全三角形是直角三角形；
（2）解：△ABC是为完全三角形，理由如下：
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
∴，
解得：，
∴a：b：c=b：b：b=3：4：5，
∴△ABC是为完全三角形．
23.【答案】解：（1）结论EF=BE+DF依然成立；
证明：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM，
∴△ABM≌△ADF，
∴∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD，AM=AF，MB=DF，
∵∠ABE=90°，
∴∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°．
∴M，B，E三点共线．
∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=60°，
∴∠MAE=∠FAE，
∵AE=AE，AM=AF，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴ME=EF，
∴EF=ME=MB+BE=DF+BE；
（2）AM=AD+MC；
证明：延长AE，BC交于点P，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠EPC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠EPC=∠MAE，
∴MA=MP，
在△ADE和△PCE中，
，
∴△ADE≌△PCE（AAS），
∴AD=PC，
∴AM=MP=PC+MC=AD+MC．
24.【答案】解：（1）1；
（2） =1+-=1+ ；
（3）
25.【答案】四边形ABCD是菱形，理由见解析；
，理由见解析；
当∠CAH=22.5°时，；当∠CAH＞22.5°时，；当∠CAH＜22.5°时，．
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