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2025-2026学年北京市第109中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.复数z=-1+2i,则z在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是（　　）
A. B.
C. D.
3.已知向量=(m,4),=(3,-2),且,则m=（）
A. 6 B. -6 C. D. -
4.若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是（　　）
A. 4π2 B. 3π2 C. 2π2 D. π2
5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=1，b=，B=60°，则A=（　　）
A. 30° B. 30°或150° C. 60° D. 60°或120°
6.已知向量=（1，2），=（-2，3），=（k，2），若（+）⊥，则k=（　　）
A. -11 B. 11 C. -10 D. 10
7.已知向量，则向量与夹角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且.若△ABC有两解，则b的值可以是（　　）
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
9.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年．如图，现有△ABC满足“勾3股4弦5”，其中AC=3，BC=4，点D是CB延长线上的一点，则=（　　）
A. 3 B. 4 C. 9 D. 不能确定
10.如图，在△ABC中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，则下列说法中正确的个数是（　　）
①=；
②过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F若（0≤μ≤1），则μ=；
③若△ABC是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是[-，-]．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数3-4i的实部是 ，虚部是 .
12.复数=______．
13.A（1，2），B（-1，-2），则向量AB的坐标为 .
14.设向量不共线，向量与平行，则实数λ= .
15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，给出下列三个结论：
①三棱锥A-BCE与F-ABC的体积相等；
②三棱锥A-BEF的体积为定值；
③三棱锥B-AEF的高为（三棱锥B-AEF的高长即点B到平面AEF的距离）．
所有正确结论的序号有 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知向量，，与的夹角为.
（1）求及；
（2）求.
17.(本小题14分)
若复数z=（m2-2m-3）+（m-3）i,当实数m为何值时
（1）z是实数；
（2）z是纯虚数；
（3）m=4时，求|z|.
18.(本小题14分)
如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥.求：
（1）三棱锥A′-B′C′B的表面积和体积；
（2）三棱锥A′-BC′D的表面积和体积.
19.(本小题14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=，b=1，C=120°．
（1）求B的大小；
（2）求△ABC的面积S．
20.(本小题14分)
已知在△ABC中，c=2bcosB，．
（1）求B的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长
度．①c=b；②周长为4+2；③面积为S△ABC=．
21.(本小题15分)
定义向量的“伴随函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx的“伴随向量”为．
（Ⅰ）写出向量的“伴随函数”f（x），并直接写出f（x）的最大值M；
（Ⅱ）求函数的“伴随向量”的坐标；
（Ⅲ）已知，向量的“伴随函数”分别为f（x）、g（x），设=λ+μ（λ＞0，μ＞0），且的“伴随函数”为h（x），其最大值为m．求证：向量的充要条件为m=λ+μ．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】3
-4

12.【答案】1-i
13.【答案】（-2，-4）
14.【答案】
15.【答案】①②
16.【答案】， -4
17.【答案】3 -1
18.【答案】表面积为；体积为 表面积为；体积为
19.【答案】解：（1）由题意，c=，b=1，C=120°，由正弦定理得，=即sinB==，
∵b＜c，∴B＜C，∴B=30°．
（2）由（1）知，B=30°，又C=120°，∴A=30°
S△ABC=bcsinA==．
20.【答案】解：（1）∵c=2bcosB，
∴由正弦定理可得sinC=2sinBcosB，
∴，
∵，
∴，
，
∴，解得．
（2）选择①，，
与矛盾，故这样的△ABC不存在，
选择②：由（1）可得，
设△ABC的外接圆半径为R，
∵由正弦定理可得，，
∴周长，解得R=2，
∴，
∴由余弦定理可得，BC边上的中线的长度为，
选择③：∵由（1）可得，即a=b,
∴，解得，
∴由余弦定理可得，BC边上的中线的长度为．
21.【答案】解：（Ⅰ）由题意得：f（x）=4sinx-3cosx，又f（x）=4sinx-3cosx=5sin（x-φ），其中tanφ=，
所以M=5；
（Ⅱ）=cosx-sinx-1+cosx+1=2cosx-sinx，
所以“伴随向量”=（-，2）；
（Ⅲ）设=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），
因为=λ+μ=（λcosα+μcosβ，λsinα+μsinβ），
所以h（x）=（λcosα+μcosβ）sinx+（λsinα+μsinβ）cosx=λ（cosαsinx+sixαcosx）+μ（cosβsinx+sinβcosx）=λsin（x+α）+μsin（x+β），
充分性：
h（x）=λsin（x+α）+μsin（x+β）≤λ+μ，当且仅当存在x0使得：
时，等号成立，其中k1，k2∈Z，
所以α-β=2（k1-k2）π，即=；
必要性：当=时，α=β+2kπ，k∈Z，
所以h（x）=λsin（x+α）+μsin（x+β）=（λ+μ）sin（x+α）≤λ+μ，
当且仅当x+α=+2kπ（k∈Z），时，等号成立，
所以m=λ+μ，
综上：向量=的充要条件为m=λ+μ．
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