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25.2.2 公式法
一、单选题
1．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
2．对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
3．下列方程中，没有实数根的方程是（　　）
A．
B．
C．
D． （ 为任意实数）
4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
5．一元二次方程 的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．一元二次方程(x+3)(x+6)=x+1的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．一元二次方程x2+2x＝1的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
9．一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10．已知二次函数 的图象与一次函数y=2x+1 (0≤x≤3)的图象只有一个交点，则c的最大值与最小值的差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则c的值是　 　.
12．已知一次函数y=kx+b的大致图象，则关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0的根的情况是　 　.
13．关于x的一元二次方程 的两根是　 　.
14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　.
15．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为　 　.
16．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为　 　．
三、解答题
17．若方程（c2＋a2）x2＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形.
18．用适当方法解方程：
19．（1）计算：；
（2）解方程：．
20．某商店连续一至四月销售额的增长率都相同，今年2月份的销售额是2万元，4月份的销售额是2.88万元.该商店销售额每月的增长率是多少？1月份的销售额是多少？
21．先化简，再求值： ，其中 有两个不相等的实数根，且a为非负整数．
22．如图1，等腰中，点分别在腰上，连结，若，则称为该等腰三角形的逆等线．
（1）如图1，是等腰的逆等线，若，求逆等线的长；
（2）如图2，若直角的直角顶点恰好为等腰直角底边上的中点，且点分别在上，求证：为等腰的逆等线；
（3）如图3，等腰的顶点与原点重合，底边在轴上，反比例函数的图象交于点，若恰为的逆等线，过点分别作轴于点轴于点，已知，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组；二次函数与一次函数的综合应用
11．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
12．【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
13．【答案】 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
15．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
16．【答案】a≤ 且a≠1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
17．【答案】解：Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）.
∵方程有两个相等实根.
∴Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0.
∵a，b，c是三角形的三边，
∴b+c≠0，a2+b2≠0，
只有b-c=0，
解得b=c.
∴此三角形是等腰三角形.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定
18．【答案】解：∵中，，，，
∴
∴，
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程
19．【答案】（1）；
（2），．
【知识点】公式法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
20．【答案】解：设该商店销售额每月的增长率是x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），
∴2÷（1+20%）= （万元）.
答：该商店销售额每月的增长率是20%，1月份的销售额是 万元
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
21．【答案】解：原式 ，
，
，
∵ ，
∴ ，
又∵a为非负整数，
∴a为0，1，2，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴原式 ．
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程根的判别式及应用
22．【答案】解：（1）如图1，
∵是等腰的逆等线，
∴CF=AE=2，
∵，
∴AF=5-2=3，
∵，
∴，
∴逆等线的长为.
（2）如图，
连接AD，
∵点为等腰直角底边上的中点，
∴AD=DC=BD，∠EAD=∠FCD=45°，AD⊥BC，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴ ADE CDF（ASA），
∴AE=CF，
∴为等腰的逆等线.
（3）如图，
设OF=x，则DF=，作AG⊥OB于点G，CH⊥AG于点H，
∵CD为的逆等线，
∴AC=BD，
∵是等腰三角形，
∴∠ACH=∠AOB=∠DBF，∠AHC=∠AGO=∠DFB=90°，
在△ACH和△DBF中
∵，
∴△ACH △DBF(AAS)，
∴EG=CH=BF，AH=DF，
又∵AO=AB，且AG⊥OB，
∴OG=BG，
∴GF=BG BF=OG EG=OE，
∴EG=x 2 2=x 4，
∵△ACH~△COE，
∴，即：，化简得：x2 4x 4=0，解得：x1=，x2= (舍去)，
∴OF=．
∴的长为．
【知识点】公式法解一元二次方程；反比例函数的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
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