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2026年新人教版八下数学期末重难点题专练
一、计算题：本大题共1小题，共8分。
1.如图，一个小球在斜坡顶端由静止开始向下滚动，其速度每秒增加，同时小球在斜坡上滚动的距离与时间的变化情况如表所示：
写出小球的速度与滚动时间之间的函数关系式为______，小球滚动的距离与时间之间的关系式为______；
当小球在斜坡上滚动了时，分别求此时小球的速度和滚动的距离；
若斜坡总长为，小球到达坡底后，在水平面上做匀减速运动，速度每秒减少，直到停止，直接写出小球从开始滚动到完全停止的过程中速度有两次达到间隔的时间．
【答案】， ，
【解析】解：由题意和表格得，，；
故答案为：，；
当时，，，
答：当小球在斜坡上滚动了时，此时小球的速度为，滚动的距离为；
若斜坡总长为，小球到达坡底后，在水平面上做匀减速运动，速度每秒减少，直到停止，
当小球在斜坡上运动时，把代入，得，
解得，
斜坡总长为，把代入，得，
解得，
小球到达坡底的时间为，此时小球的速度，
小球到达坡底后，在水平面上做匀减速运动，速度每秒减少，
水平面上，
把代入，得，
解得，
小球两次达到间隔的时间为．
根据题意即可求解；
把代入所得的函数解析式解答即可；
分别求出小球在斜坡上和水平面上速度达到时的时间，再相减即可求解．
本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
二、解答题：本题共19小题，共230分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2.本小题分
如图，直线：经过点，直线：与直线交于点，与轴交于点，与轴交于点．
求的值及直线的函数表达式；
若点为轴上一动点，当时过点作轴的垂线与直线、分别相交于，两点，过点作轴的直线交于点．
当时，求的长；
求的长用含的代数式表示；
若点、、三个点中，其中两点关于第三点对称时，直接写出的值．
【答案】； ；；
【解析】解：直线：经过点，将点的坐标代入得：
，
解得：；
直线：与直线交于点，与轴交于点，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
直线的函数表达式为；
当时，点，，
当时，得：，
解得：，
，
；
由题意得，点，，，
；
理由如下：
当是、的中点时：
根据中点坐标公式，得：，即，
化简得：，
解得：，
，
不合题意，舍去；
当是、的中点时：
根据中点坐标公式，得：，即，
解得：，
，
不合题意，舍去；
当是、的中点时：
根据中点坐标公式，得：，即，
解得：．
利用待定系数法求解即可；
先后求得，，，据此求解即可；
同理求得点，，，利用两点之间的距离公式求解即可；
分三种情况讨论，利用中点坐标公式，列式计算即可求解．
本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，两点间的距离公式，中点坐标公式，分类讨论是解答本题的关键．
3.本小题分
如图，中，于，且．
试说明是等腰三角形；
已知，如图，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为秒．
若的边与平行，求的值；
若点是边的中点，问在点运动的过中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由．
【答案】(1)解：证明：设，，，
则，
在中，，
，
是等腰三角形；

(2)，而，
，
则，，，．
①当时，，
即，
，
当时，，
得：，
若的边与平行时，值为5或6．
②点是边的中点，，
，
当点在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点运动到点，不构成三角形
当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能．
如果，则，
；
如果，则点运动到点，
；
如果，
过点作于，如图3所示：
，
，
在中，；
，，
则在中，，
．
综上所述，符合要求的值为9或10或．
故答案为：9或10或．

【解析】
设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论；

由的面积求出、、、；当时，；当时，；得出方程，解方程即可；
根据题意得出当点在上，即时，为等腰三角形，有种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可．
4.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，对应坐标轴上的个单位长度，轴，轴，且，，，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动若，两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动．
直接写出，，三个点的坐标；
当，两点运动的时间为秒时，求三角形的面积；
设，两点运动的时间为秒，当三角形的面积为时，求的值．
【答案】点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 秒
【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；理由如下：
，，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
，
点的坐标为；
动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动，
当运动的时间为秒时，，，
如图，延长交于点，则，过点作，延长交于点，则，
则，，，
，，
，
；
，
点从点运动到点需要：秒，
，
点从点运动到点需要：秒，
点、最多运动秒，
即点在上运动，
当时，如图，
可得：，
，
当时，
可得：秒；
当时，如图，过点作，交的延长线于点，
则，，，
，，
，
当时，
解得：秒，不合题意，舍去；
综上所述，当秒时，的面积为．
根据线段之间的关系求出各点的坐标即可；
当运动的时间为秒时，，，根据即可求出结果；
根据运动的速度和路程可知，点、最多运动秒，分点在上运动，在上运动，根据三角形的面积公式，分情况求出值．
本题属于三角形综合题，主要考查了三角形的面积，平行线的性质，分类讨论是解答本题的关键．
5.本小题分
【定义学习】
定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”．
【判断尝试】
在平行四边形矩形菱形正方形中，是“对直四边形”的是 ；填序号
如图，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是 ；
【操作探究】如图，在菱形中，，，于点，请在边上找一点，使得以点、、、组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是 ；
【拓展延伸】如图，在正方形中，，点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动保持，再分别过点、作、的垂线交于点，连接、试说明：四边形为对直四边形．
【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，其中米，米，，现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是
【答案】(1)②④
(2)
(3)
(4)拓展延伸：
证明：如图，

延长，交于，
四边形是正方形，
，，
，，
，
四边形是矩形，
点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度运动，
，
四边形是正方形，
，
，
同理可得：四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
四边形为对直四边形；

(5)或4
【解析】
本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
矩形和正方形的对角是直角；
解：矩形和正方形的四个角都是直角，
矩形和正方形是“对直四边形”，
故答案为：
连接，根据勾股定理求得结果；
如图，

连接，，
，
，
，
故答案为：；
操作探究：连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果；
操作探究：解：如图，

取的中点，连接，
则四边形是“对直四边形”，，
故答案为：；
拓展延伸：延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论；
实践应用：作于，作于，可得四边形是矩形，和是腰长相等的等腰直角三角形；另一种情形：作，同上可知：四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰直角三角形．
实践应用：解：如图，

作于，作于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形，
，
如图，

作于，作于，
同上可知：，四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形，，
综上所述：等腰三角形的腰长为：或．
6.本小题分
如图，在长方形中，，，点从点出发，沿路线运动，到点停止；点从点出发，沿运动，到点停止若点，同时出发，点的速度为，点的速度为，运动秒后，点，同时改变速度，点的速度变为，点的速度变为图是点出发秒后，的面积与的函数关系图象；图是点出发秒后的面积与的函数关系图象．
动点在线段______上运动时，保持不变；动点到达点时，的值为______；
求，的值；
若与的和为，请求出满足条件的的取值范围；
当、两个动点所走过的路程比为：时，直接写出的取值范围．
【答案】 ， 或 或
【解析】解：在长方形中，，，
，
点从点出发，沿路线运动，到点停止，点的速度为，
当动点在线段上运动时，，保持不变；
由图知，动点到达点时，的值为，
故答案为：，；
由图得，点到达点所用时间为：，
，
解得：；
由图得，点从点到点所用时间为：，
，
解得：；
由题意知，当时，点到达点，时，点到达点，时，点到达点，
当时，点到达点，时，点到达点，时，点到达点，
结合图，，可得：
当时，，，
令，得：，
解得：；
当时，，，
满足，
综上可得，的取值范围为或；
设动点，走过的路程为，，
当时，
，，
：：：；
当时，
，
，
当：：时，：：，
解得：不合题意，舍去，
当：：时，：：，
解得：，
综上所述，当或时，、两个动点所走过的路程比为：．
根据平行线间距离处处相等，同底等高，可知在上时，面积不变，由图可得出动点到达点所用时间；
由图得出到所用时间，由图得出点从点到点所用时间，根据时间、路程、速度之间关系即可求解；
根据题意得出两个动点到达各拐点所用时间，结合图，图即可求解；
分情况讨论：和两种情况．
本题属于四边形综合题，主要考查了长方形的性质，平行线的性质，三角形的面积，时间、路程、速度之间关系，分类讨论是解答本题的关键．
7.本小题分
如图，直线分别交轴，轴于点，，过点的另一条直线与轴交于点，点是线段上的一个动点，点为射线上一点．
求点，的坐标．
如图，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为．
用含有的式子表示线段的长；
若的面积为，求与之间的函数关系式；
把沿直线翻折得到．
如图，当点在的内部时，连结并延长交于点若，求点的坐标．
如图，点为的中点，连结，当与轴平行时，请直接写出的长．
【答案】； ； ；或
【解析】解：直线分别交轴，轴于点，，
当时，得：，
解得：；
当时，得：，
，；
点的横坐标为，点是线段上的一个动点，
，
轴交直线于点，
，
点在点上方，
；
，
即；
如图，过点作轴于点，，交于点，
点在直线上，
设点的坐标为，
，，
把沿直线翻折得到，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
解得：，
点的坐标为；
的长为或理由如下：
令直线交轴于点，
与轴平行，
，
，，点为的中点，
，
，
设点，
由折叠得，
，
解得：或，
当时，，点在的内部，如图：
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即；
当时，，点在的外部，如图：
同理，设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即；
综上可得，的长为或．
将，分别代入，即可求解；
用含的式子表示出点，的纵坐标，作差即可；
根据求解；
过点作轴于点，设点的坐标为，由轴对称得，进而证明≌，推出，即可求解；
令直线交轴于点，根据求出点坐标，有两种情况，一是点在的内部，二是点在的外部，分别用勾股定理解即可．
本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，分类讨论是解答本题的关键．
8.本小题分
【操作思考】如图，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处则点的坐标为______直接写结果
【感悟应用】如图在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式．
【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点点是函数与轴的交点，当以点，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】【操作思考】；
【感悟应用】；
【拓展探究】存在以点，，为顶点的三角形为等腰直角三角形；点的坐标为或．
【解析】解：【操作思考】点的坐标为理由如下：
如图，过点作轴于点，过点作轴于点．
由点坐标可知，，
为等腰直角三角形，
，，
轴，轴，
，
又，，
，
在和中，
，
≌，
，，
点坐标为，
故答案为：；
【感悟应用】如图，点，点，过点作轴于点．
，，
为等腰直角三角形，
，，
轴，
，
，
，，
，
≌，
，，
，
，
设直线的表达式为，将点，点的坐标分别代入，得：
，
解得：，
直线的函数表达式为：；
【拓展探究】存在以点，，为顶点的三角形为等腰直角三角形；点的坐标为或理由如下：
由是函数与轴的交点，可知，
点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点，
设，，
以点为直角顶点，即：，过作轴，过点作于点，过点作于点，如图，
由感悟应用类比可得：，，
，
解得：，
故此时：；
以点为直角顶点时，点在轴的负半轴，不符合题意；
以点为顶角，即：，过作轴，过点作于点，过点作于点，如图，
由【感悟应用】类比可得：，，，
解得：，
，
不存在符合题意的以点为直角顶点的等腰三角形，
综上所述，存在以点，，为顶点的三角形为等腰直角三角形；点的坐标为或．
【操作思考】过点作轴于，过点作轴于，由点坐标可知，，证明≌，得出，，即可得出点的坐标；
【感悟应用】通过证明≌得出点坐标，用待定系数法求直线的函数表达式；
【拓展探究】分别以、、为等腰直角三角形的直角顶点，设，，利用【感悟应用】的全等思想表示相应线段的长度，列出方程求解即可．
本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用全等的性质求点的坐标是解题的关键．
9.本小题分
如图，在中，点，分别为，上的动点不含端点，且．
如图，当为等边三角形时，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与的数量关系为______；
如图，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
试猜想四边形的形状，并证明；
若，请直接写出的最小值．
【答案】；
四边形为平行四边形；理由如下：
，，
，
绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；

【解析】为等边三角形，
，，
绕点逆时针旋转得到，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
故答案为：；
四边形为平行四边形；理由如下：
，，
，
绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
由知≌，
，
四边形为平行四边形，
，
，
由垂线段最短可知时最小，
此时，
即的最小值为．
根据等边三角的性质可得，，再由旋转的性质可得，，从而可得，证明≌，即可得证；
根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，，从而可得，由平行线的判定可得，证明≌，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证；
由题易得，则求最小值即可得解．
本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质、平行四边形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
10.本小题分
在综合实践活动课上，同学们以“纸片的折叠”为主题开展数学活动已知：平行四边形纸片，，， 的面积为点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
如图，若点恰好落在上时，求证：四边形是菱形；
如图，若时，连接并延长交于点求线段的长；
改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度．
【答案】证明：将沿折叠，点的对应点为，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形 或或
【解析】证明：将沿折叠，点的对应点为，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：如图，延长交于点，
将沿折叠，点的对应点为，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：；
解：当时，如图，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
将沿折叠，点的对应点为，
，
在中，，
；
如图，当，重合时，记，的交点为，
当时，，
，
，
，
当，重合时，，
由折叠可得：；
当时，如图，设与交于点，作，
，
，
在中，由勾股定理得：，
将沿折叠，点的对应点为，
，，，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：；
综上所述，或或．
由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，，推出，则四边形是平行四边形，由，可得四边形是菱形；
延长交于点，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答；
分和两种情况进行讨论求解即可．
本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
11.本小题分
在 中，点为中点，连接，，．
如图，当时，下列说法正确的是 ______ 填序号
；
；
平分．
如图，当时，求证： 是矩形．
如图，当且时，求的度数．
【答案】；
延长，交于点，

在 中，，，
，
点为中点，

在和中，

≌

在中，，即，
，
，
，
，

，
，即，
是矩形；
延长，交于点，过点作交延长线于点，连接

由 ≌可得，

，

在中，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
【解析】解：取的中点，连接，

当时，，
，
四边形是平行四边形，
， ，，，
点为中点，
，
四边形是平行四边形，

四边形是菱形，
，，
，即平分，
故正确；
无法证明；故错误
故答案为：；
延长，交于点，

在 中，，，
，
点为中点，

在和中，

≌

在中，，即，
，
，
，
，

，
，即，
是矩形；
延长，交于点，过点作交延长线于点，连接

由 ≌可得，

，

在中，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
取的中点，连接，证明四边形是菱形，，即可得到结论；
延长，交于点，证明≌，则得到，则，再证明，即可得到结论；
延长，交于点，过点作交延长线于点，连接证明，求出，得到，得到．
此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是关键．
12.本小题分
若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”．
若与是互为“相关代数式”，则______ ；
若其中是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值；
若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值．
【答案】解：与是互为“相关代数式”，
，
，
故答案为：；
与是互为“相关代数式”，
，
，，
，
，
，
，都是有理数，
，
解得：，
；
代数式与互为“相关代数式”，
，
，
，
，
，
，
，
时二次根式有意义，
．
【解析】解：与是互为“相关代数式”，
，
，
故答案为：；
与是互为“相关代数式”，
，
，，
，
，
，
，都是有理数，
，
解得：，
；
代数式与互为“相关代数式”，
，
，
，
，
，
，
，
时二次根式有意义，
．
根据已知条件中的新定义和已知条件，列出算式，进行化简即可；
根据已知条件中的新定义和已知条件，列出算式，进行化简，再根据，都是有理数，列出关于的方程，解方程求出，再代入化简后的式子求出即可；
根据已知条件中的新定义和已知条件，列出算式，再根据平方差公式进行计算，求出，最后根据二次根式的被开方数为非负数进行判断即可．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是理解新定义的含义．
13.本小题分
如图，在四边形中，，，，点从点出发，沿方向运动到点，点从点出发，沿方向运动到点，点，的速度均为每秒个单位长度设点，的运动时间为秒．
求与之间的距离；
求当为何值时，四边形是平行四边形，并求此时四边形的面积；
分别过点，作于点，于点，若以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，求的值．
【答案】解：如图，过点作于，

，，
四边形是矩形，
，，
，
，
与之间的距离为；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形的面积；
如图，当点在点右侧时，

四边形是正方形，
，
，
，
当点在点的左侧时，
四边形是正方形，
，
，
，
综上所述：的值为或．

【解析】通过证明四边形是矩形，可得，，由勾股定理可求的长，即可求解；
由平行四边形的性质可得，即可求解；
分两种情况讨论，由正方形的性质可得，列出方程，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
14.本小题分
如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接．
【问题引入】
请你在图或图中证明；选择一种情况即可
【探索发现】
在中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
如图，，延长至点，使，连接直接写出的周长最小值．
【答案】证明：选择图：
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
由旋转得：，
；
选择图：
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
由旋转得：，
；
解：理由如下：
如图，过点作交于点，则，

四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
；
如图，过点作交的延长线于点，则，

四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
；
解：的周长最小值为理由如下：
如图，取的中点，连接，

，
点是的中点，
，
的周长，
当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，
，
的周长．
【解析】证明：选择图：
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
由旋转得：，
；
选择图：
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
由旋转得：，
；
解：理由如下：
如图，过点作交于点，则，

四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
；
如图，过点作交的延长线于点，则，

四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
；
解：的周长最小值为理由如下：
如图，取的中点，连接，

，
点是的中点，
，
的周长，
当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，
，
的周长．
选择图，根据正方形性质可得：，，进而证得≌，结合旋转的性质即可证得结论；选择图，同理可证得结论；
猜想，选择图，过点作交于点，则，利用正方形的性质即可证得≌，再利用等腰三角形性质即可得出答案；选择图，同理可证得结论；
取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，由的周长，可得当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，根据勾股定理求出，即可求得答案．
本题是正方形综合题，考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，旋转变换的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等是解题关键．
15.本小题分
如图，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
求直线的函数解析式；
设点是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
若的面积为，求点的坐标；
连接，如图，若，直接写出点的坐标______．
【答案】 ；
【解析】解：已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，
当时，得：；
当时，得：，
解得：，
，，
点与点关于轴对称，
．
设直线的函数解析式为，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
直线的函数解析式为；
设，
轴，
，，
，
，
解得：或不合题意，舍去，
点的坐标为；
点的坐标为理由如下：
点与点关于轴对称，
，
，
，
，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
设，则，
，，，
，
解得：，
，
故答案为：．
分别求出、、三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；
设，则，，求出，再由，求出的值后取负值即可求点坐标；
由题意，且，则可得，即，再设，则，在利用勾股定理，再解方程即可．
本题属于一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，三角形的面积，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
16.本小题分
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题．
几何模型在最短路径问题中的应用
素材一 提出问题：求代数式的最小值．
素材二 建立模型：可看作直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上如图所示，这时，原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？”
素材三 解答过程：如图连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是．
问题解决
任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________．
任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为___________．
任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值．
【答案】解：任务一：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，，
连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，
．，
在中，，
，
代数式的最小值为．
故答案为：．
任务二：如图：为总路程，由于，则要求的最小值，只需求得，
如图：将点向上平移得到，此时共线，；延长到使，则四边形是长方形，连接交于，此时的最小值为．
由题意可得：，，
的最小值为．
最短路程为．
故答案为：．
任务三：解：如图，构造，于，，
设，则，
，
，
，
，
解得：，
的值为．

【解析】本题主要考查轴对称求最短距离、勾股定理等知识点，灵活应用勾股定理是解题的关键．
任务一：根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
任务二：将实际问题转化成已建立的模型求解即可；
任务三：如图构造，于，，设，则，，易证；再用等面积法即可求得，再验证即可解答．
17.本小题分
正方形中，点，分别为，上的动点，连接，．
如图，若，求证：；
如图，若为的中点，过作，垂足为，交于，连接，求证：；
如图，在的条件下，连接，过点作于，交于点，若正方形的边长为，直接写出的长．
【答案】(1)解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴；

(2)解：延长到，使，连接，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，垂足为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；

(3)解：延长，相交于点，延长，相交于点，连接，如图所示：
由是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
由是的中点，同理得：，
∴，
∵，
∴，
∴为斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
在中，，，
∴根据勾股定理得：，
，
，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
．

【解析】
本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
证明，得出即可；
延长到，使，连接，证明，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可证明结论；
延长，相交于点，延长，相交于点，连接，证明，得出，同理得：，证明，说明，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理求出，，证明，求出，最后根据等积法，求出结果即可．
18.本小题分
综合与实践．情境：是等边三角形，点是直线上一点不与，重合，点在射线上不与，重合，且，连接．
“兴趣小组”提出的问题是：探究与的数量关系．
特例探究：从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图，当点在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系；
数学思考：如图，当点是边上任意一点时不是中点，同学们讨论发现结论依然成立，可以通过作平行线构造全等来证明．请你证明：
类比延伸：进一步猜想：当点在或的延长线上时，仍存在使得线段与的数量关系与第问结论相同的情况，请你任意选择一种在图画出并证明．
如图，点在等边的边上，，与等边三角形外角平分线所在的直线相交于点，过作于，请写出，，的数量关系并证明．
【答案】(1)解：，
∵是等边三角形，点D在边的中点，
∴，，且平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；

(2)证明：如图2，过点作，交于点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
；

(3)证明：①当点D在的延长线上时，
如图3，过点作的平行线，交的延长线于点，
由（2）得是等边三角形，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②当点D在的延长线上时，
如图4，过点作的平行线，交的延长线于点，
由（2）得是等边三角形，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；

(4)
证明：如图，过作交于，
由（2）得是等边三角形，
也是等边三角形，
，
，
，
，
又，
，
是外角平分线，
，
，，
，
在与中，
，
，
；
，，
，
；
．

【解析】
根据等边三角形的性质结合等角对等边即可得到与的数量关系；

添加辅助线，结合等边三角形的性质证明和全等，由此可证明；

分当点在的延长线上与当点在的延长线上这两种情况，添加辅助线得到等边，结合全等三角形的判定与性质即可得到与的数量关系；

添加辅助线，证明与全等，由此可得，再由边的关系证明即可．
19.本小题分
若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．
概念理解，如图，在四边形中，，，判断四边形是否为垂美四边形，并说明理由；
性质探究：如图，试在垂美四边形中探究、、、之间的数量关系；
解决问题：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、、分别交、于点、，若，，求线段的长．
【答案】解：四边形是垂美四边形，理由如下：
连接、，
，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
，
四边形是垂美四边形；
，理由如下：
四边形是垂美四边形，
，
在中，由勾股定理得，
，
同理：，，，
；
连接、，
四边形、是正方形，
，，，
，
≌，
，
，
，
，
四边形是垂美四边形，
，，
，，，
由得，，
，
，
．
【解析】根据线段垂直平分线的判定可知，是的垂直平分线，从而得出结论；
根据垂美四边形的定义得，再利用勾股定理得，，，，从而得出结论；
首先利用证明≌，得，从而证明，再利用中结论可得答案．
本题是四边形综合题，主要考查了垂美四边形的定义，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明四边形是垂美四边形是解决问题的关键．
20.本小题分
如图，已知直线分别与轴、轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，且．
求直线的表达式；
点是线段上一动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，当时，求的面积及此时点的坐标；
在问的条件下，点关于轴的对称点为点将直线向下平移个单位得到直线，直线与直线交于点平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)解：当时，，
，
将点代入，
，
解得，
直线的表达式为；

(2)解：当时，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
设，则，，
，
，
解得，
，，
的面积；

(3)解：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
点关于轴的对称点为点，
，
直线向下平移6个单位得到直线，
直线的解析式为，
当时，解得，
，
设，
当为平行四边形的对角线时，，
，
；
当为平行四边形的对角线时，，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或．

【解析】
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
用待定系数法求函数的解析式即可；
求出直线的解析式为，设，则，，再由，求出的值，即可求解；
根据平行四边形的对角线分三种情况求解即可．
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第1页，共1页中小学教育资源及组卷应用平台
2026年新人教版八下数学期末重难点题专练
一、计算题：本大题共1小题，共8分。
1.如图，一个小球在斜坡顶端由静止开始向下滚动，其速度每秒增加，同时小球在斜坡上滚动的距离与时间的变化情况如表所示：
写出小球的速度与滚动时间之间的函数关系式为______，小球滚动的距离与时间之间的关系式为______；
当小球在斜坡上滚动了时，分别求此时小球的速度和滚动的距离；
若斜坡总长为，小球到达坡底后，在水平面上做匀减速运动，速度每秒减少，直到停止，直接写出小球从开始滚动到完全停止的过程中速度有两次达到间隔的时间．
二、解答题：本题共19小题，共230分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2.本小题分
如图，直线：经过点，直线：与直线交于点，与轴交于点，与轴交于点．
求的值及直线的函数表达式；
若点为轴上一动点，当时过点作轴的垂线与直线、分别相交于，两点，过点作轴的直线交于点．
当时，求的长；
求的长用含的代数式表示；
若点、、三个点中，其中两点关于第三点对称时，直接写出的值．
3.本小题分
如图，中，于，且．
试说明是等腰三角形；
已知，如图，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为秒．
若的边与平行，求的值；
若点是边的中点，问在点运动的过中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由．
4.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，对应坐标轴上的个单位长度，轴，轴，且，，，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动若，两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动．
直接写出，，三个点的坐标；
当，两点运动的时间为秒时，求三角形的面积；
设，两点运动的时间为秒，当三角形的面积为时，求的值．
5.本小题分
【定义学习】
定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”．
【判断尝试】
在平行四边形矩形菱形正方形中，是“对直四边形”的是 ；填序号
如图，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是 ；
【操作探究】如图，在菱形中，，，于点，请在边上找一点，使得以点、、、组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是 ；
【拓展延伸】如图，在正方形中，，点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动保持，再分别过点、作、的垂线交于点，连接、试说明：四边形为对直四边形．
【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，其中米，米，，现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是
6.本小题分
如图，在长方形中，，，点从点出发，沿路线运动，到点停止；点从点出发，沿运动，到点停止若点，同时出发，点的速度为，点的速度为，运动秒后，点，同时改变速度，点的速度变为，点的速度变为图是点出发秒后，的面积与的函数关系图象；图是点出发秒后的面积与的函数关系图象．
动点在线段______上运动时，保持不变；动点到达点时，的值为______；
求，的值；
若与的和为，请求出满足条件的的取值范围；
当、两个动点所走过的路程比为：时，直接写出的取值范围．
7.本小题分
如图，直线分别交轴，轴于点，，过点的另一条直线与轴交于点，点是线段上的一个动点，点为射线上一点．
求点，的坐标．
如图，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为．
用含有的式子表示线段的长；
若的面积为，求与之间的函数关系式；
把沿直线翻折得到．
如图，当点在的内部时，连结并延长交于点若，求点的坐标．
如图，点为的中点，连结，当与轴平行时，请直接写出的长．
8.本小题分
【操作思考】如图，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处则点的坐标为______直接写结果
【感悟应用】如图在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式．
【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点点是函数与轴的交点，当以点，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9.本小题分
如图，在中，点，分别为，上的动点不含端点，且．
如图，当为等边三角形时，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与的数量关系为______；
如图，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
试猜想四边形的形状，并证明；
若，请直接写出的最小值．
10.本小题分
在综合实践活动课上，同学们以“纸片的折叠”为主题开展数学活动已知：平行四边形纸片，，， 的面积为点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
如图，若点恰好落在上时，求证：四边形是菱形；
如图，若时，连接并延长交于点求线段的长；
改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度．
11.本小题分
在 中，点为中点，连接，，．
如图，当时，下列说法正确的是 ______ 填序号
；
；
平分．
如图，当时，求证： 是矩形．
如图，当且时，求的度数．
12.本小题分
若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”．
若与是互为“相关代数式”，则______ ；
若其中是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值；
若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值．
13.本小题分
如图，在四边形中，，，，点从点出发，沿方向运动到点，点从点出发，沿方向运动到点，点，的速度均为每秒个单位长度设点，的运动时间为秒．
求与之间的距离；
求当为何值时，四边形是平行四边形，并求此时四边形的面积；
分别过点，作于点，于点，若以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，求的值．
14.本小题分
如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接．
【问题引入】
请你在图或图中证明；选择一种情况即可
【探索发现】
在中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
如图，，延长至点，使，连接直接写出的周长最小值．
15.本小题分
如图，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
求直线的函数解析式；
设点是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
若的面积为，求点的坐标；
连接，如图，若，直接写出点的坐标______．
16.本小题分
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题．
几何模型在最短路径问题中的应用
素材一 提出问题：求代数式的最小值．
素材二 建立模型：可看作直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上如图所示，这时，原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？”
素材三 解答过程：如图连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是．
问题解决
任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________．
任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为___________．
任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值．
17.本小题分
正方形中，点，分别为，上的动点，连接，．
如图，若，求证：；
如图，若为的中点，过作，垂足为，交于，连接，求证：；
如图，在的条件下，连接，过点作于，交于点，若正方形的边长为，直接写出的长．
18.本小题分
综合与实践．情境：是等边三角形，点是直线上一点不与，重合，点在射线上不与，重合，且，连接．
“兴趣小组”提出的问题是：探究与的数量关系．
特例探究：从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图，当点在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系；
数学思考：如图，当点是边上任意一点时不是中点，同学们讨论发现结论依然成立，可以通过作平行线构造全等来证明．请你证明：
类比延伸：进一步猜想：当点在或的延长线上时，仍存在使得线段与的数量关系与第问结论相同的情况，请你任意选择一种在图画出并证明．
如图，点在等边的边上，，与等边三角形外角平分线所在的直线相交于点，过作于，请写出，，的数量关系并证明．
19.本小题分
若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．
概念理解，如图，在四边形中，，，判断四边形是否为垂美四边形，并说明理由；
性质探究：如图，试在垂美四边形中探究、、、之间的数量关系；
解决问题：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、、分别交、于点、，若，，求线段的长．
20.本小题分
如图，已知直线分别与轴、轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，且．
求直线的表达式；
点是线段上一动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，当时，求的面积及此时点的坐标；
在问的条件下，点关于轴的对称点为点将直线向下平移个单位得到直线，直线与直线交于点平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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