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八年级尺规作图与四边形综合
一、填空题：本题共1小题，每小题3分，共3分。
1.五种基本尺规作图
作一个角等于已知角已知作法及图示：在上，以点为圆心， 为半径画弧，交的两边于点，作射线以点为圆心， 为半径画弧，交于点以点为圆心， 为半径画弧，交前弧于点过点作射线，则即为所求的角．
作图依据：三边分别相等的两个三角形全等全等三角形的对应角相等．
作已知线段的垂直平分线已知线段．
作法及图示：分别以点，为圆心， 为半径作弧，两弧交于，两点作直线，则直线即为线段的垂直平分线．
作图依据：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
作已知角的平分线已知．
作法及图示：以点为圆心， 为半径作弧，交的两边于点，分别以 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点作射线，则即为所求的角平分线．
作图依据：三边分别相等的两个三角形全等全等三角形的对应角相等．
过一点作已知直线的垂线已知点和直线．
点在直线上．
作法及图示：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交直线于，两点分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，交于点过点，作直线，则直线即为所求垂线．
作图依据：等腰三角形“三线合一”．
点在直线外．
作法及图示：在直线另一侧取一点以点为圆心， 为半径作弧，交直线于，两点分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点过点，作直线，则直线即为所求垂线．
作图依据：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【答案】(1)任意长;OP的长;PQ的长
(2)大于AB的长
(3)任意长;点M,N
(4)PM的长
【解析】 略
略
略
略
二、解答题：本题共15小题，共120分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2.本小题分
综合与实践：直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现。
背景 鹏鹏和城城两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级下册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现。
素材 如图，在中，。操作：鹏鹏和城城画出的平分线与的垂直平分线，与交于点。发现：当的长度不变，的长度变化时，点的位置也会随之变化。当点位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性。
问题解决
任务 在如图所示的直角三角形中，鹏鹏发现：点正好落在边上。请利用尺规作图帮助鹏鹏找出点的位置。保留角平分线以及垂直平分线的作图痕迹，不要求写作法
任务 点在图的位置时，城城发现： ； 与的数量关系： 。
任务 继续探索发现，如图 所示，，，三点共线，此时，鹏鹏和城城又有了新的发现： 若已知，发现能用含字母的式子表示线段的长。则的长为____。
【答案】解：如答图，作的平分线，线段的垂直平分线，则点为所求。

【解析】如答图，平分，。是的垂直平分线，。。。，。。。
，，。，。
是的垂直平分线，，，三点共线，
。
，
是等腰直角三角形，
。
如答图，过点作于点。
设，
平分，，，
。
，。
。
由知是等腰直角三角形。
平分。。
和都是等腰直角三角形。
，。。
。。
3.本小题分
如图，是矩形的对角线．
按要求用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交，于点，，交于点，连接，．
判断四边形的形状，并说明理由．
若，，求四边形的面积．
【答案】(1)如图所示.


(2)四边形BEDF为菱形.
理由如下:
EF为BD的垂直平分线,
OB=OD,BOF=DOE=.
又AD//BC,
FBO=EDO,
BOFDOE(ASA),
OF=OE.
OB=OD,OF=OE,
四边形BEDF为平行四边形.
EFBD,
四边形BEDF为菱形.

(3)设BF=x,则DF=x,CF=10-x.
D=C+C,
=+,
解得x=,
=BFDC=,
四边形BEDF的面积为.

【解析】 略
略
略
4.本小题分
如图，矩形 中， ．
求作正方形 ，使得点，分别落在边 上，点，落在 上；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
若 ，求中所作的正方形的边长．
【答案】(1)解：如图，四边形 就是所求作的正方形．
由作图可知， ， ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由作图可知， ，
∴四边形EFGH为矩形，
∵ ，
∴四边形EFGH为正方形；

(2)由（1）知： ， ，
四边形 是矩形，
，
在 中， ，
，
．
，
．
又 ，
，
，即 ，
．
在 中， ，
，
∴正方形EFGH的边长为 ．

【解析】 作 的中垂线交 于点 ，交 于点 ，以 为直径画圆，交 于点 ，即可得到正方形 ；
勾股定理求出 的长，进而求出 的长，证明 ，求出 的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出 的长即可．
5.本小题分
如图，点是矩形的边上一点，且．
【操作与验证】尺规作图：在的延长线上找到一点，连接，使得四边形是菱形，并给出相应证明；
【推理与计算】在的条件下，连接，若，且四边形的周长为，求矩形的面积．
【答案】(1)解：如图所示，在的延长线上截取点F，使得，则点F即为所求；
证明：，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形；

(2)菱形的周长为32，
．
，
是等边三角形，
．
在矩形中，，
在中，，，
，
，
．

【解析】
本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，尺规作图，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定与性质及尺规作图是解题的关键．
在的延长线上截取点，使得，先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是菱形；

根据菱形的性质证明是等边三角形，再逐步求出，，，即可求得答案．
6.本小题分
在矩形中，，连接．
如图，求作以为底边的等腰三角形，且顶点在边上要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
如图，是对角线上一点，求作菱形，使点，，分别在边，，上要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
如图，求作正方形，使点，分别落在边，上，点，分别落在对角线上要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
若，，求中所作的正方形的边长．
【答案】(1)如图,等腰三角形EBD即为所求.(作法不唯一)


(2)如图,菱形EFGH即为所求.

(3)如图,正方形EFGH即为所求.

(4)如图,设EG交BD于点O.
四边形EFGH是正方形,OE=OG=OH.
四边形ABCD是矩形,
A=.
由(3)中作图知OB=OD.
在RtABD中,AB=2,AD=4,
BD==2,
OD=BD=.
由(3)中作图知EGFH,
DOE=DAB=.
又ODE=ADB,EODBAD,
=,即=,
OE=.
在RtEOH中,EOH=,OE=OH,
EH=OE=,
即正方形EFGH的边长为.
【解析】 略
略
略
略
7.本小题分
矩形中，．
如图，过矩形的对角线中点作，分别交于点．若，，求的长；
如图，求作正方形，使得点，分别落在边，上，点，落在上．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
【答案】(1)解：四边形是矩形，
，，，，
，，
在中，，
又点是对角线中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．

(2)解：如图，四边形即为要求作的正方形：
由作图可知，，，
矩形中，，
，，
在和中，
，
，
，
由作图可得，，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形．

【解析】
由勾股定理求出，从而得出，再结合矩形性质利用角角边证明，推得，最后证明，利用相似三角形的性质即可求解；

作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点、，即可得到正方形．
8.本小题分
如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点图上为尺规作图的痕迹，连接，，交于点．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
【答案】(1)证明：由尺规作∠BAD的平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD// BC，∴∠FAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝AF．∵BE// AF，∴四边形ABEF是平行四边形． 又∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．
(2)解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，，AE＝2AO，∴在Rt△AOB中，，∴AE＝2AO＝8．
【解析】 略
略
9.本小题分
如图，在中，．
【实践与操作】在图的基础上，请利用尺规，用种方法作四边形是菱形要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
【推理与计算】在的条件下，若，，则菱形的面积为 ．
【答案】(1)如图所示

(2)120
【解析】 略
略
10.本小题分
如图，在矩形中，，．
尺规作图：在矩形的边、上分别作点、，使四边形是菱形保留作图痕迹，不写作法；
求中菱形的边长．
【答案】(1)点和点如图所示：

(2)解：设，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴菱形的边长为．

【解析】
连接，作的垂直平分线，与、的交点，即为点和点；
解：如图，设与的交点为点，
由垂直平分线的性质可得，，，，
四边形是矩形，
，
，，
在和中，
，
，
，
四边形是菱形；

设，则，在中，利用勾股定理构造方程，并求解即可．
11.本小题分
如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，连接，则所得四边形是菱形．
根据以上尺规作图的过程，求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的周长．
【答案】(1)证明：根据作图的过程可知：EA平分

四边形ABCD是平行四边形





四边形是平行四边形

四边形ABEF是菱形；

(2)解：如图：连接BF交AE于点O
四边形ABEF是菱形
，BO=FO，，AB//EF，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
∴∠BEF=∠C=60°，
，
，
，
菱形ABEF的周长为．

【解析】
本题考查了作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质，菱形的判定与性质．
根据作图的过程可知平分，根据平行四边形的性质可得，根据作图可知，得，证明四边形是平行四边形，进而可得四边形是菱形；
连接交于点，结合根据菱形的性质和，，即可求菱形的周长．
12.本小题分
如图，在矩形中．
尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交，于点，保留作图痕迹，不写作法
连接，，求证：四边形是菱形
在的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)解:如图所示.

(2)证明:四边形ABCD是矩形,
ADBC.
FAC=ECA.如图,设EF与AC相交于点O.
EF是AC的垂直平分线,
AE=CE,AF=CF,AOF=COE=,AO=CO.
AOFCOE(ASA).
AF=CE.AF=CF=AE=CE.
四边形AECF是菱形.
(3)解:设AE=CE=x,则BE=8-x.
在RtABE中,由勾股定理,得+=,
即+=,解得x=5.
AE的长为5.
【解析】 略
略
略
13.本小题分
如图，在菱形中，是边的中点，连接．
在边上确定一点，使得尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，若菱形的边长为，，求四边形的面积．
【答案】(1)解：如图所示，

(2)四边形AHCE的面积为4.
【解析】 略
略
14.本小题分
如图，在矩形中，．
求作正方形，使得点，分别落在边，上，点，落在上要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
若，，求中所作的正方形的边长．
【答案】(1)如解图,正方形EFGH即为所求;

(2)正方形EFGH的边长为.
【解析】 略
略
15.本小题分
如图，在矩形纸片中，，，现将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．
尺规作图，画出折痕保留作图痕迹
判断四边形是什么特殊四边形，并证明
求折痕的长度．
【答案】(1)解:如图,EF即为所求.

(2)四边形AFCE是菱形.证明如下:
四边形ABCD是矩形,
AD//BC.
AEF=CFE,EAC=FCA.
设AC与EF交于点O,
由题意可得AO=CO,
AOECOF(AAS).
AE=CF.
四边形AFCE是平行四边形.
由折叠可知,AE=CE,
平行四边形AFCE是菱形.

(3)四边形ABCD是矩形,
ABC=.
AC===10(cm).
OC=AC=5cm.
设CF=xcm,
则BF=(8-x)cm,AF=CF=xcm.
在RtABF中,由勾股定理得A=B+A,即=+,解得x=.
CF=cm.
由(2)知,四边形AFCE是菱形,
COF=,OE=OF.
OF===(cm).
EF=2OF=cm.

【解析】 略
略
略
16.本小题分
如图，在矩形中，，点在边上，点在射线上，，设．
的长为 ，最小时的值为 ．
当点在边上时．
在图中利用尺规作图作出，分别交，于点和点保留作图痕迹，不写作法，并求的长度用含的式子表示．
若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出的值．
当点关于直线的对称点落在直线上时，直接写出，之间的距离．
【答案】(1)10;
2

(2)尺规作图如图2所示.
四边形ABCD为矩形,D=DCQ=.
又FQBC,四边形FDCQ为矩形.
QC=DF=d.ACB==.
CP=d
[第1步,求当四边形FEQD为平行四边形时d的值]
如图3,当四边形FEQD为平行四边形时,EQ=DF=d.
QC=d,BE=3d,3d+d+d=8.d=.
[第2步,求当四边形FQED为平行四边形时d的值]
如图4,当四边形FQED为平行四边形时,点E与点C重合,
3d=.d=.
综上,d=或.

(3)或.
【解析】
在矩形中，，，
，．
．
当时，最小提示：垂线段最短，如图，
易知四边形是矩形，．
，，，解得．
略

第步，求当点在线段上时的长
如图，当点在线段上时，点关于直线的对称点落在线段上
此时．
．
提示：等角对等边．
，
解得．
．
．
．
第步，求当点在线段的延长线上时的长
如图，当点在线段的延长线上时，点关于直线的对称点落在线段的延长线上，
易得提示：是等腰直角三角形，
则，解得．
．
．
．
综上所述，或．
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八年级尺规作图与四边形综合
一、填空题：本题共1小题，每小题3分，共3分。
1.五种基本尺规作图
作一个角等于已知角已知作法及图示：在上，以点为圆心， 为半径画弧，交的两边于点，作射线以点为圆心， 为半径画弧，交于点以点为圆心， 为半径画弧，交前弧于点过点作射线，则即为所求的角．
作图依据：三边分别相等的两个三角形全等全等三角形的对应角相等．
作已知线段的垂直平分线已知线段．
作法及图示：分别以点，为圆心， 为半径作弧，两弧交于，两点作直线，则直线即为线段的垂直平分线．
作图依据：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
作已知角的平分线已知．
作法及图示：以点为圆心， 为半径作弧，交的两边于点，分别以 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点作射线，则即为所求的角平分线．
作图依据：三边分别相等的两个三角形全等全等三角形的对应角相等．
过一点作已知直线的垂线已知点和直线．
点在直线上．
作法及图示：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交直线于，两点分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，交于点过点，作直线，则直线即为所求垂线．
作图依据：等腰三角形“三线合一”．
点在直线外．
作法及图示：在直线另一侧取一点以点为圆心， 为半径作弧，交直线于，两点分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点过点，作直线，则直线即为所求垂线．
作图依据：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
二、解答题：本题共15小题，共120分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2.本小题分
综合与实践：直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现。
背景 鹏鹏和城城两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级下册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现。
素材 如图，在中，。操作：鹏鹏和城城画出的平分线与的垂直平分线，与交于点。发现：当的长度不变，的长度变化时，点的位置也会随之变化。当点位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性。
问题解决
任务 在如图所示的直角三角形中，鹏鹏发现：点正好落在边上。请利用尺规作图帮助鹏鹏找出点的位置。保留角平分线以及垂直平分线的作图痕迹，不要求写作法
任务 点在图的位置时，城城发现： ； 与的数量关系： 。
任务 继续探索发现，如图 所示，，，三点共线，此时，鹏鹏和城城又有了新的发现： 若已知，发现能用含字母的式子表示线段的长。则的长为____。
3.本小题分
如图，是矩形的对角线．
按要求用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交，于点，，交于点，连接，．
判断四边形的形状，并说明理由．
若，，求四边形的面积．
4.本小题分
如图，矩形 中， ．
求作正方形 ，使得点，分别落在边 上，点，落在 上；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
若 ，求中所作的正方形的边长．
5.本小题分
如图，点是矩形的边上一点，且．
【操作与验证】尺规作图：在的延长线上找到一点，连接，使得四边形是菱形，并给出相应证明；
【推理与计算】在的条件下，连接，若，且四边形的周长为，求矩形的面积．
6.本小题分
在矩形中，，连接．
如图，求作以为底边的等腰三角形，且顶点在边上要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
如图，是对角线上一点，求作菱形，使点，，分别在边，，上要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
如图，求作正方形，使点，分别落在边，上，点，分别落在对角线上要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
若，，求中所作的正方形的边长．
7.本小题分
矩形中，．
如图，过矩形的对角线中点作，分别交于点．若，，求的长；
如图，求作正方形，使得点，分别落在边，上，点，落在上．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
8.本小题分
如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点图上为尺规作图的痕迹，连接，，交于点．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
9.本小题分
如图，在中，．
【实践与操作】在图的基础上，请利用尺规，用种方法作四边形是菱形要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
【推理与计算】在的条件下，若，，则菱形的面积为 ．
10.本小题分
如图，在矩形中，，．
尺规作图：在矩形的边、上分别作点、，使四边形是菱形保留作图痕迹，不写作法；
求中菱形的边长．
11.本小题分
如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，连接，则所得四边形是菱形．
根据以上尺规作图的过程，求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的周长．
12.本小题分
如图，在矩形中．
尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交，于点，保留作图痕迹，不写作法
连接，，求证：四边形是菱形
在的条件下，若，，求的长．
13.本小题分
如图，在菱形中，是边的中点，连接．
在边上确定一点，使得尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，若菱形的边长为，，求四边形的面积．
14.本小题分
如图，在矩形中，．
求作正方形，使得点，分别落在边，上，点，落在上要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
若，，求中所作的正方形的边长．
15.本小题分
如图，在矩形纸片中，，，现将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．
尺规作图，画出折痕保留作图痕迹
判断四边形是什么特殊四边形，并证明
求折痕的长度．
16.本小题分
如图，在矩形中，，点在边上，点在射线上，，设．
的长为 ，最小时的值为 ．
当点在边上时．
在图中利用尺规作图作出，分别交，于点和点保留作图痕迹，不写作法，并求的长度用含的式子表示．
若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出的值．
当点关于直线的对称点落在直线上时，直接写出，之间的距离．
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