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专题05【一次函数】期末考点讲义（16大核心题型精析+实战练习）
2025-2026学年人教版八年级数学下学期
重点知识◆梳理
【知识点一、一次函数基础概念】
1.正比例函数：一般地，形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，叫做正比例.函数。
四大判定条件：(1)自变量x的最高次数为1；(2)解析式不含常数项，即常数项为0；(3)比例系数k≠0；(4)等式右侧为自变量的单项式。
正比例函数图象性质：
2.一次函数：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。
四大判定条件：(1)自变量x的最高次数为1；(2)比例系数k≠0（核心限制条件）；
(3)b为常数项，取值任意，可为正数、负数、0；(4)解析式为关于x的一次二项式或单项式。
3.两类函数关系:在一次函数y=kx+b中，当常数项b=0时，解析式简化为y=kx，此时一次函数转化为正比例函数。
核心结论：正比例函数是特殊的一次函数；一次函数包含正比例函数。
【知识点二、一次函数的图象】
1.图象基本特征:正比例函数y=kx（k≠0）：图象是一条经过原点的直线；
一次函数y=kx+b（k≠0）：图象为一条直线；b≠0时图象不经过原点。
2.两点作图法:(1)正比例函数：选取定点(0,0)、(1,k)，两点连线即可；
(2)一次函数：优先选取坐标轴交点y轴交点(0,b)，x轴交点（-,0）
3.系数几何意义:系数k（斜率）：决定直线倾斜方向与函数增减性；|k|越大，直线倾斜程度越陡；
系数b（截距）：决定直线与y轴的交点位置，直线与y轴固定交于点(0,b)。
【知识点三、 一次函数核心性质】
1.函数增减性（仅由k决定）
（1）k>0：图象自左向右上升，y随x的增大而增大；
（2）k<0：图象自左向右下降，y随x的增大而减小。
2.一次函数图象与性质如下图所示：
【知识点四、一次函数图象平移规律】
通用口诀：上加下减，左加右减；两类平移相互独立，互不干扰。
上下平移（针对常数项）：只改变直线上下位置，不改变自变量；
直线y=kx+b向上平移m个单位：y=kx+b+m；
直线y=kx+b向下平移m个单位：y=kx+b-m。
左右平移（针对自变量）：仅对x整体变形，必须加括号；
直线y=kx+b向左平移m个单位：y=k(x+m)+b；
直线y=kx+b向右平移m个单位：y=k(x-m)+b。
重点提示：图象平移只改变直线位置，不改变倾斜角度；平移过程中k值保持不变，所有平移后的直线互相平行。
核心题型◆归纳
题型1.正比例函数定义辨析 题型2.一次函数识别辨析
题型3.根据一次函数定义求参数 题型4.求一次函数自变量或函数值
题型5.列一次函数解析式并求值 题型6.正比例函数的图象、性质
题型7.根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型8.一次函数图象与坐标轴交点及面积
题型9.判断一次函数的增减性 题型10.根据一次函数增减性求参数
题型11.根据一次函数增减性判断自变量变化情况 题型12.比较一次函数值的大小
题型13.一次函数图象平移问题 题型14.一次函数图象对称问题
题型15：一次函数图象旋转问题 题型16.一次函数的规律探究问题
实战演练
题型解析◆精准备考
题型1.正比例函数定义辨析
1．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（ ）
A．正方形的面积与边长之间的关系
B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系
C．小明进行短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系
D．铅笔每支元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系
【答案】D
【分析】正比例函数的形式为（为不等于的常数），写出各选项变量的函数关系式，再根据定义判断即可．
【详解】解：对于选项A：正方形面积与边长的关系式为，不是正比例函数，不符合题意；
对于选项B：等腰三角形周长为，底边长与腰长的关系式为，不是正比例函数，不符合题意；
对于选项C：短跑中时间与速度的关系式为，不是正比例函数，不符合题意；
对于选项D：总价与购买数量的关系式为，是正比例函数，符合题意．
2．已知是关于x的正比例函数，当时，y的值为______．
【答案】
【分析】根据正比例函数的定义，解析式形如的函数是正比例函数，据此求出的值，得到函数解析式，再代入计算得到的值.
【详解】解：∵函数是关于的正比例函数
∴且，
解得：，
当时，．
3．已知与成正比例，且当时，，求：
(1)与的函数关系式；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据成正比例的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出的值，从而得到与的函数关系式；
（2）利用（1）中的关系式，求出函数值为所对应的自变量的值即可．
【详解】（1）解：设，
把代入得，
解得，
，
与的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得．
题型2.一次函数识别辨析
1．下列四个函数中，一次函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义逐一判断选项，一次函数的定义为：形如（为常数，）的函数是一次函数，正比例函数是特殊的一次函数．
【详解】解：A． 是常数函数，不符合一次函数定义，错误；
B．中，，属于特殊的一次函数，符合定义，正确；
C．是反比例函数，不符合一次函数定义，错误；
D．中未说明，当时该函数是常数函数，不符合定义，错误．
2．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________．
【答案】5
【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为，列方程求解即可得到的值．
【详解】解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为 ，其中，符合一次函数定义．
∵该一次函数是正比例函数，
∴，
解得：．
3．一辆货车的油箱中有油，这辆货车每行驶耗油，写出这辆货车的油箱中剩余的油量与行驶的路程之间的关系式及x的取值范围，并判断y是否为x的一次函数．
【答案】，y是x的一次函数
【分析】此题考查了列函数解析式，正确理解题意是解题的关键．剩余油量等于存油减去耗油量即可求出函数解析式，根据一次函数定义进行判断即可．
【详解】解：油箱剩余油量，
当时，，
解得：，
∴，
符合一次函数定义，因此y是x的一次函数．
题型3.根据一次函数定义求参数
1．若函数是正比例函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的定义，列出关于的方程和不等式，求解并排除使一次项系数为的情况，得到的值．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴常数项，且一次项系数．
由，得
∴，
由，得
∴．
2．当_____时，一次函数的图象经过原点．
【答案】
【分析】根据一次函数的定义，一次项系数不为，再结合函数图象经过原点，即原点坐标满足函数解析式，代入求解即可得到的值．
【详解】解：∵一次函数的图象经过原点，
∴将，代入函数解析式得，
解得：，
∵该函数为一次函数，一次项系数不能为，
，
∴，
．
3．已知函数．
(1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？
(2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？
【答案】(1)
(2)、
【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的知识,
（1）根据一次函数的定义可得且，求解即可获得答案；
（2）根据正比例函数的定义可得且，且，求解即可获得答案．
【详解】（1）解：由题意得且，
解，可得，
∴或，
解，可得，
∴当时函数是一次函数；
（2）由题意得且，且，
解，可得，
∴或，
解，可得，
解，可得，
综上所述，当、时，函数是正比例函数．
题型4.求一次函数自变量或函数值
1．一次函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将各选项横坐标代入解析式，计算对应值，和选项纵坐标对比即可得到答案.
【详解】解：∵对选项A，当时，，
∴A错误；
∵对选项B，当时，，
∴B错误；
∵对选项C，当时，，
∴C错误；
∵对选项D，当时，，坐标满足解析式，
∴图象一定经过点.
2．已知点，在函数的图像上，则_________．
【答案】
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式即可计算出的值．
【详解】解：点在函数的图象上
将代入
得．
3．在直线上分别找出满足下列条件的点，并写出它们的坐标：
(1)横坐标是；
(2)与轴的距离是2个单位长度．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）代入求出的值，即可求解；
（2）分别代入和求出与之对应的值，进而可得出和轴的距离是2个单位的点的坐标．
【详解】（1）解：∵ 所求点在直线 上，且横坐标为 ，
∴ 将 代入解析式得：
，
∴ 满足条件的点坐标为 ．
（2）解：∵ 所求点到轴的距离是2个单位长度，
∴ ，即 或 ，
当 时，代入 得：
，解得 ，
此时点坐标为 ；
当 时，代入 得：
，解得 ，
此时点坐标为 ；
∴ 满足条件的点坐标为 和 ．
题型5.列一次函数解析式并求值
1．如图，在中，与相交于点．若是的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据全等，为中点，可得，，，，可求得直线的解析式为，直线的解析式为，从而解得，所以．
【详解】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图：
，
，，，
为中点，
，
，，，，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，把代入解析式得,
∴直线解析式为，
解方程组得，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形，一次函数以及勾股定理．建立平面直角坐标系，求出直线、解析式是解出本题的关键．
2．体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围）
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，找准等量关系是解题关键．先求出钢笔为支，再根据总费用跳绳的单价跳绳的个数钢笔的单价钢笔的个数，由此即可得．
【详解】解：由题意得：购买钢笔的支数为支，
则，
故答案为：．
3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)画出关于轴对称的图形（点、分别对应、）
(2)请在轴上找出一点，满足线段的值最小，并直接写出点坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出的坐标，再顺次连接三点得到．
（2）利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求点，再通过求直线的解析式得到点坐标．
【详解】（1）解：，关于轴对称的点的坐标特征为横坐标不变，纵坐标互为相反数，
．
，
．
，
．
顺次连接，得到．
（2）解：作点关于轴的对称点，设直线的解析式为，
将，代入解析式：
,
解得，，
直线的解析式为．
当时，，
．
题型6.正比例函数的图象、性质
1．小明同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时选取导体甲和导体乙进行实验，并将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两图象均表示当电压增大时，电流强度也随之增大
B．依据图象可知电阻、电压和电流强度的关系为：
C．在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比
D．当在导体的两端加上3V的电压时，导体甲的电流强度大于导体乙的电流强度，说明导体甲的电阻大
【答案】D
【分析】观察图象逐个判断即可．
【详解】解：由图可知甲，乙两个图象表示随着横轴电压的增大，电流强度随之增大，则A正确；
则在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比，则C正确；
由图象可知电压和电流成正比例，所以，则B正确；
当电压不变时，如电压为时，，，可知，所以，则D不正确．
2．已知点在正比例函数的图像上，则的值为_______．
【答案】/0.2
【分析】将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果．
【详解】解：点在正比例函数的图象上，
将点的坐标代入解析式得：，
解得．
3．已知正比例函数的图像经过点，且点的横坐标为2．
(1)求点的坐标；
(2)已知点在轴上，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将点的横坐标代入解析式即可；
（2）根据三角形的面积列方程求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴；
（2）解：如图，设，
则有，
解得，
∴点的坐标为或．
题型7.根据一次函数解析式判断其经过的象限
1．已知，，则直线的图象是下列选项中的（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据一次函数的解析式判断其经过的象限，根据本题中，，图象经过一、三象限，
，则，图象与轴的交点大于，即可解答．
【详解】，
图象经过一、三象限，
，，
，
图象与轴的交点大于，
综上，图象经过一、二、三象限，
故选．
2．如图，在点，，，中，一次函数的图象不可能经过的点是________．
【答案】点
【分析】根据k与b的符号确定一次函数图象经过的象限，结合各点所在的象限进行判断．
【详解】解：在函数中，、，
则该一次函数图象经过第二、三、四象限，
由图可知，点M在第二象限，点N在第一象限，点P在第四象限，点Q在第三象限，
因此，其图象不可能经过点N．
3．联系一次函数的图象，回答下列问题：
(1)当时，函数的图象经过哪几个象限？当时呢？
(2)当时，函数的图象不经过哪个象限？当时呢？
【答案】(1)当时，函数的图象经过第一、三象限；当时，函数的图象经过第二、四象限．
(2)当时，函数的图象不经过第四象限；当时，函数的图象不经过第二象限
【分析】（1）画出和时函数的图象，根据图象解答即可；
（2）画出时，时的图象，根据图象解答即可．
【详解】（1）解：当时，函数的图象如图，则函数的图象经过第一、三象限；
当时，函数的图象如图，则函数的图象经过第二、四象限；
（2）解：当时，函数的图象如图，函数的图象不经过第四象限；
当时，函数的图象如图，函数的图象不经过第二象限．
题型8.一次函数图象与坐标轴交点及面积
1．已知一次函数（为常数，且）的图象是由一次函数的图象平移得到的，若点在一次函数的图象上，则一次函数的图象与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由一次函数平移的性质可确定的值，再代入已知点求出常数项，进而得到一次函数的解析式，再把代入求出的值即可求解．
【详解】解：∵一次函数由一次函数平移得到，
∴，
将点代入，得，
解得，
∴一次函数解析式为，
当时，，
∴一次函数的图象与轴的交点坐标为．
2．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则k的值为_______．
【答案】
【分析】先根据一次函数解析式求出图象与x轴、y轴的交点坐标，再根据三角形面积为3列出含绝对值的方程，求解即可得到k的值．
【详解】解：在中，当时，；当时，，
的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，
由题意可得：，
整理得，
解得，
经检验，均是原分式方程的解，
∴k的值为．
3．如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）先根据直线的解析式求出点A的坐标，再根据三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：将，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：令，
解得，
，
，
，
．
题型9.判断一次函数的增减性
1．对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当时，
C．函数的图象与y轴交于点
D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质逐一判断各选项即可．
【详解】解：已知一次函数为，可得，．
A、，∴随的增大而减小，结论正确，不符合题意；
B、令，即，解得，∵随的增大而减小，∴当时，，结论正确，不符合题意；
C、求函数与轴交点，令，得，∴函数图象与轴交于点，原结论错误，符合题意；
D、第二、四象限角平分线所在直线为，与的k相同b不同，∴两直线平行，结论正确，不符合题意．
2．若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或）
【答案】
【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系．
【详解】解：在一次函数中，
，
随的增大而减小.
的横坐标为，的横坐标为，且，
.
3．在如图所示的平面直角坐标系中，画函数的图象
(1)①列表，②描点，③连线
x … 0 1 2 …
y … …
(2)观察图象可知，当x由小变大时，y随x的增大而________；（填“增大”或“减小”）
(3)点在这个函数的图象上，则________．
【答案】(1)填表见解析，画图见解析
(2)增大
(3)
【分析】（1）根据表格信息描点，再画图即可；
（2）根据图象可得答案；
（3）把点代入函数解析式，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：列表：
x … 0 1 2 …
y … …
画图如下：
（2）解：观察图象可知，当x由小变大时，y随x的增大而增大；
（3）解：∵点在这个函数的图象上，
∴，
解得：．
题型10.根据一次函数增减性求参数
1．若一次函数，若y随x增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵是一次函数，且y随x的增大而减小，
∴，
∴，
故选：B．
2．已知关于，的二元一次方程．当时，的负整数值恰好有2个，则的取值范围为___．
【答案】或
【分析】先将原方程整理为关于的一次函数，分和两种情况，结合一次函数增减性，根据负整数值恰好为个列不等式组求解即可.
【详解】解：∵，
∴①，
当时，随的增大而增大，
由得：，
解不等式得，
的负整数值恰好有个，可知负整数值为，
，
解得，
②当时，随的增大而减小，
由得，
解不等式得，
的负整数值恰好有个，可知负整数值为，
，
解得，
综上，的取值范围是或.
3．已知一次函数，回答下列问题：
(1)若函数图像经过点，求的值；
(2)若函数随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入函数解析式，求出m的值即可；
（2）根据一次函数y随x的增大而减小，列出关于m的不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵函数的图像经过点，
∴ ，
解得；
（2）解：∵函数随的增大而减小，
∴，
解得．
题型11.根据一次函数增减性判断自变量变化情况
1．点都在直线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较大小
【答案】A
【详解】解：∵，
∴随的增大而增大，
∵点都在直线上，且，即，
∴．
2．若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是___________．（填“”，“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查一次函数的图像和性质．熟悉根据一次函数的斜率判断函数图像的变化情况，是解题的关键．
根据一次函数的性质，由于斜率 ，函数值 随自变量 的增大而减小．点 的纵坐标 大于点 的纵坐标 ，因此 小于 ．
【详解】解：∵ 一次函数 的系数 ，
∴ 随 的增大而减小，
∵ 点 和点 在函数图象上，且 ，
∴ ．
故答案为：．
3．已知一次函数的图象经过点，．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)当时，求该一次函数的函数值y的取值范围．
【答案】(1)该一次函数的解析式为
(2)当时，该一次函数的函数值y的取值范围是
【分析】（1）使用待定系数法，将A、B两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组即可得到函数解析式；
（2）根据一次函数的增减性，由k的正负判断y随x的变化规律，代入x的端点值计算得到y的取值范围．
【详解】（1）解：∵点A，B在该一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为．
（2）解：∵，
∴该一次函数的函数值y随x的增大而增大，
当时，，
当时，，
∴当时，该一次函数的函数值y的取值范围是．
题型12.比较一次函数值的大小
1．一次函数的图象过点，，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据一次项系数判断函数增减性，再比较两点横坐标大小，即可推出纵坐标的大小关系．
【详解】∵一次函数中，一次项系数，
∴y随x的增大而减小，
∵两点横坐标满足，
∴．
2．当时，一次函数的最大值是________．
【答案】/
【分析】根据可知一次函数中，随的增大而减小，因此取最小值时，取得最大值，代入计算即可得到结果.
【详解】解：,
一次函数中，随的增大而减小.
,
当时，取得最大值.
此时.
3．已知一次函数，并完成下列问题
(1)画出这个函数的图象；
(2)观察图象，当时，y的取值范围是 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出直线与轴，轴的交点坐标，画出函数图象即可；
（2）根据图象，写出y的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴直线与坐标轴的交点坐标为，
画出函数图象如下：
解：由图象可知，当时，y的取值范围是．
题型13.一次函数图象平移问题
1．将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，再代入条件解不等式即可．
【详解】解：将一次函数的图象向左平移2个单位，得到一次函数，
∵平移后，，
∴，
解得．
2．直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的，那么直线的表达式是________．
【答案】
【分析】根据“上加下减”的平移法则即可解决问题．
【详解】解：∵直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的，
∴直线向上平移2个单位得到直线．
∴直线：．
3．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点．
(1)求点的坐标．
(2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作．
①求面积．
②根据图象，直接写出点坐标．
【答案】(1)、
(2)①；②
【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标．
（2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为．
②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标．
【详解】（1）解：将代入中，可得，
将代入中，可得，
解得：，
∴点的坐标为、，
（2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线，
∴
∵
∴
∴面积为．
②由题意可得，轴，，
∴，
∴点坐标为．
题型14.一次函数图象对称问题
1．在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征，先求出已知直线与坐标轴的交点，再得到对应对称点坐标，代入求出的值，即可计算出的结果.
【详解】解： 对于直线，
令得，得交点；
令得，得交点，
，关于轴对称的点分别为，，
直线经过上述两个对称点，
∴将代入得，
将和代入得：
，解得，
.
2．已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为________．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：，当时，，
当时，，
∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，
一次函数的图像与直线关于x轴对称，
一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，
设一次函数的解析式为，
把，代入得，，
解得：，
所以，一次函数的解析式为：．
故答案为：．
3．如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位．
(1)画出直线．
(2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________．
(3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________．
(4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，
(3)作图见解析，
(4)，作图见解析，
【分析】（1）利用描点法作图即可；
（2）根据一次函数的平移即可解答；
（3）先求得直线与轴，轴的交点，利用轴对称的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答；
（4）先利用旋转的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答．
【详解】（1）解：当时，，
当时，可得，
解得，
∴直线经过，，
作图如下：
；
（2）解：将直线向下平移4个单位得到直线，作图如下：
可得直线所对应的函数表达式为；
（3）解：当时，可得，
解得，
当时，，
是直线上的点，
直线与直线关于轴成轴对称，
是直线上的点，
设直线的表达式为，
把代入可得
，
解得，
∴直线的表达式为，
作图如下：
；
（4）解：根据（3）中可得，且直线经过点，
将直线绕点逆时针旋转得到直线，
点绕点逆时针旋转的对应点为点
直线经过，，
设直线的表达式为，
把，代入可得
，
解得，
∴直线的表达式为，
作图如下：
.
题型15.一次函数图象旋转问题
1．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求出绕x轴上一点 旋转后的新坐标，即可由待定系数法求解函数表达式，最后代入求解即可．
【详解】解：对于一次函数，当时，；当时，，解得
∴一次函数的图象与坐标轴的交点坐标为，，
故图象绕x轴上一点旋转后的新坐标，，
设新解析式为，
根据题意，得，
解得，
故函数的解析式为 ，
又图象经过，
∴
解得．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为____．
【答案】/
【分析】设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，先求得点和点坐标，然后证明，得到，，从而得出点的坐标，然后利用待定系数法，求得和，最后算得旋转后的直线与轴的交点坐标．
【详解】解：设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，如图所示：
直线与坐标轴分别交于，两点，
时，；时，；
，，
，，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
将，代入，得，
，
，
时，，
旋转后的直线与轴的交点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点并构造出等腰直角三角形是解题的关键．
3．已知一次函数．
(1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象；
(2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）．
【答案】(1)见解析
(2)①②③
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的平移和轴对称、点的旋转变换等知识，熟练掌握各种变换是解题的关键．
（1）求出一次函数与y轴的交点和与x轴的交点，画直线即可得到答案；
（2）把函数变换后验证是否过点即可．
【详解】（1）解：当时，，得到直线与y轴的交点为，
当时，，，得到直线与x轴的交点为，
在直角坐标系中描出点和，过这两点画直线，即为的图象，如图所示：
；
（2）①向上平移4个单位，平移后解析式：，
代入得到，
∴函数图象经过变换后过点．
②沿x轴翻折
翻折后解析式：，即
代入得到，
∴函数图象经过变换后过点．
③绕原点按顺时针方向旋转，
设原函数上任意一点旋转后对应点为，旋转的坐标变换为，即，
代入原函数，得，整理得，
代入：，
∴函数图象经过变换后过点．
综上，能使函数图象经过变换后过点是①②③．
故答案为：①②③．
题型16.一次函数的规律探究问题
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】解：当时，有， 解得，
∴点的坐标为．
∵四边形为正方形，
∴点的坐标为．
当时，有， 解得，
．
同理，可得出：，，，……，
的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…，
的横坐标为（为正整数），
∴点的横坐标是．
2．如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________．
【答案】
【分析】先利用待定系数法求得直线的解析式，然后分别求得．．．的坐标，可以得到规律：，据此即可求解
【详解】解：∵，，
∴正方形的边长为1，正方形的边长为2，
∴，
设直线解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线解析式为，
∴．
∵，点的坐标为，
∴的纵坐标为，的横坐标为，
的纵坐标为，的横坐标为，
的纵坐标为，的横坐标为，
∴，
∴，即．
3．如图，点在x轴上，且，过点作轴交直线于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线交x轴于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线于点，……，按照此方法一直作下去．
(1)写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　；
(2)按照上述规律，点的坐标是 　 　．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）先由得到点的坐标，然后求得点的坐标，再结合等腰直角三角形的性质得到点、点的坐标；
（2）根据点、、的坐标得出点的规律，从而得到点的坐标．
【详解】（1）解：，
点的坐标为，
轴交直线于点，当时，，
点的坐标为，
，
为等腰直角三角形，
，
直线交轴于点，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
轴交直线交轴于点，当时，，
点的坐标为，
同理可得，点的坐标为，
故答案为：，，．
（2）解：由，，可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质得到系列点的坐标得出规律．
实战演练
一、单选题
1．若函数是一次函数，则m的值为（　　）
A．2 B． C． D．0
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义，自变量x的指数必须为1，且系数不能为零，可得且，进一步求解即可．
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴且．
由得，
∴，
由可得：，
∴．
故选：B
2．点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A． B．5 C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标特征满足函数表达式是解题的关键.
由点P在函数图象上可得，代入代数式并化简求值.
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴.
∴.
故选：A.
3．已知正比例函数的值随着x的增大而减小，则大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，根据正比例函数的性质判断即可．
【详解】解：∵是正比例函数，
∴，
∴图象必经过原点，
∵函数值随着x的增大而减小，
∴函数图象经过第二四象限．
故选：D．
4．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不过第几象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，关键如何判断图象所在象限；根据一次函数解析式中的和的符号，判断图象经过的象限.
【详解】解：∵一次函数的，
∴随的增大而减小，
又∵，
∴直线与轴的交点位于轴的正半轴，
∴直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限.
故选：C．
5．对于一次函数，下列判断错误的是（ ）
A．该函数的图象经过第二、三、四象限
B．该函数的图象在轴上截距为
C．该函数的图象与轴交于点
D．自变量的值每增加1，函数的值减小2
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与x轴的交点进行分析判断．
【详解】解：对于函数，∵，，∴图象经过第二、三、四象限，A正确；
当时，，∴y轴上截距为，B正确；
当时，，解得，∴与x轴交点为，不是，C错误；
∵，∴x每增加1，y减小2，D正确．
故选：C．
6．将正比例函数的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与轴的交点坐标点是
B．经过第一、二、四象限
C．与两坐标轴围成的三角形的面积为
D．若一次函数的图象经过两点，且，
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数经过的象限，一次函数与坐标轴围成的图形面积，一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点问题．根据“上加下减”的平移规律可得一次函数解析式为，则可判断B、D；求出时，y的值，时，x的值，可得一次函数与x轴，y轴的交点坐标，进而求出一次函数与坐标轴围成的图形面积，据此可判断A、C．
【详解】解：将正比例函数的图象向下平移5个单位后得到的函数解析式为，
在中，当时，，
∴一次函数与y轴的交点是，故A说法正确，符合题意；
∵，
∴一次函数经过第一、三、四象限，故B说法错误，不符合题意；
在中，当时，，
∴一次函数与x轴的交点坐标点是，
∴一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积为，故C说法错误，不符合题意；
∵，
∴在中，y的值随着x值的增大而增大，当时，，故D说法错误，不符合题意；
故选：A．
7．若直线与直线的交点的纵坐标为，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用一次函数图象交点解二元一次方程组，理解“函数图象交点的坐标是对应方程组的解”是解题的关键．由已知条件求得图象的交点坐标为，由图象交点坐标与对应方程组解的关系即可求解．
【详解】解：∵交点的纵坐标为，且点在直线上，
∴，
解得，
∴交点坐标为，
∵方程组即为两条直线的方程，
∴方程组的解为．
故选：D．
8．如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
直接根据函数图象写出不等式的解集即可．
【详解】解：由图象可得：当时函数的函数值小于2，故不等式的解集为．
故选：A．
9．已知点，在一次函数的图象上，且，则和的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
根据一次函数的性质，当k小于0时，y随x的增大而减小；结合即可解答．
【详解】解：∵函数中，
∴y随x的增大而减小．
∵，
∴，即．
故选：D．
10．为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（ ）
A．买22副A种球拍和8副B种球拍
B．买21副A种球拍和9副B种球拍
C．买20副A种球拍和10副B种球拍
D．买19副A种球拍和11副B种球拍
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
设购买A型球拍x副，则B型球拍为副，根据题意，A型数量不少于B型的2倍，即，解得，设总费用为，求出关于的函数解析式，再由一次函数的性质求解．
【详解】解：设购买A型球拍x副，B型球拍为副，
根据题意，，
解得，
设总费用为，则。
∵，总费用随x增大而增加，因此当x取最小值20时费用最低，
∴当时，B型球拍为10副，
故选：C．
11．如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　）
A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元
C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润
【答案】C
【分析】根据函数图象分别求出当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，当时，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．
【详解】A、根据图①可得第25天的销售量为200件，
故此选项正确，不符合题意；
B、设当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，
把代入得：
，
解得：，
∴，
当时，，
故此选项正确，不符合题意；
C、当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，
把代入得：
，
解得：，
∴，
当时，日销售利润为（元）；
当时，日销售利润为（元），
∴第20天和第30天销售利润不相等，
故此选项错误，符合题意；
D、当时，日销售利润为（元），
当时，日销售利润为（元）．
∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润，
故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．
12．为鼓励居民节约用水，我市出台的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)．现假设该市某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图像表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一次函数的图像的识别，根据题意列出函数式子是解题的关键．
列出函数解析式再作图即可判断．
【详解】解：由题意可得：
当时，，
当时，，
∴与的函数关系为：，
作出图像可得：，
故选：C．
二、填空题
13．若点在直线上，则______．
【答案】0
【分析】将点代入直线的解析式即可得．
【详解】解：由题意，将点代入直线得：，
则，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，将点的坐标代入函数的解析式是解题关键．
14．当时，函数的最大值与最小值的和为______．
【答案】2
【分析】此题主要考查了一次函数在自变量限定范围内的最值，需利用一次函数增减性求解，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
由函数解析式可知，y随x的增大而减小，所以当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，最后将最大值与最小值相加即可．
【详解】解：，
y随x的增大而减小，
当时，函数有最大值，最大值为；
当时，函数有最小值，最小值为；
当时，函数的最大值与最小值的和为．
故答案为：2．
15．如图，在平面直角坐标系中，函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1，则满足的的取值范围为______．
【答案】
【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，理解题意，结合函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1，运用数形结合思想得出满足的的取值范围为，即可作答．
【详解】解：∵函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1，
∴满足的的取值范围为，
故答案为：．
16．为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，理解题意正确列出函数表达式是解题的关键；
水费由使用费和污水处理费组成，污水处理费每立方米1.2元；使用费分段计费：用水量不超过16立方米时，每立方米1.3元，超过部分每立方米2.0元，因此分段写出函数表达式即可．
【详解】解：①当时，使用费为元，污水处理费为元，
故；
②当时，使用费为元，污水处理费为元，
故，
∴与之间的函数表达式为，
故答案为：．
三、解答题
17．已知函数．
(1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？
(2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解答的关键是熟知：形如的函数是一次函数，形如的函数是正比例函数．
（1）根据一次函数的定义即可解答；
（2）根据正比例函数的定义即可解答．
【详解】（1）解：当函数是一次函数时，
，且，
解得，
所以当时，函数是一次函数．
（2）解：当函数是正比例函数时，
，且，
解得，
所以当时，函数是正比例函数．
18．已知一次函数．
(1)在直角坐标系中画该一次函数的图象；
(2)求该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积．
【答案】(1)图见解析
(2)1
【分析】本题考查的是作一次函数图象及求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积，
（1）先求出直线与坐标轴交点，进而作图即可；
（2）根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：一次函数，当时，，
当时，，
解得：，
∴一次函数图象过点，
作出一次函数图象如下：
（2）解：由（1）知，一次函数图象与y轴、x轴交点分别为，
∴该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积．
19．已知关于x的正比例函数．
(1)当m取何值时，函数图象经过第一、三象限？
(2)当m取何值时，y的值随着x值的增大而减小？
【答案】(1)当时，函数图象经过第一、三象限
(2)当时，y的值随着x值的增大而减小
【分析】本题考查正比例的图象与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）根据正比例函数比例系数大于0时图象经过第一、三象限；
（2）根据正比例函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限；
∴，
解得：；
∴当时，图象经过一、三象限；
（2）解：∵正比例函数中y随着x的增大而减小；
∴，
解得：；
∴当时，y随着x的增大而减小．
20．如图，直线与直线相交于点．
(1)求a的值．
(2)直线与直线与x轴分别相交于A、B两点，求的面积．
【答案】(1)
(2)9
【分析】本题考查了一次函数与三角形面积计算，解题的关键是能够根据题意确定直线的解析式，求出直线与x轴的交点坐标．
（1）将代入，得出；
（2）分别求得的坐标，然后根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：将代入，
∴
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，当时，，则，
在中，当时，，则，
∴，
又∵，
∴的面积为．
21．如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点．
(1)求两条直线对应的函数表达式．
(2)观察图象，直接写出当时x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)当时x的取值范围为
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据图象求解即可．
【详解】（1）解：把点代入，得，
解得，
∴；
把点，点代入，得
，
解得，
∴；
（2）解：由观察图象可知，当时x的取值范围为．
22．某公司经营甲、乙两种商品，甲种商品每件进价12万元，售价14.5万元；乙种商品每件进价8万元，售价10万元．若这两种商品的进价和售价保持不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不超过200万元．设购进甲种商品x件，总利润为y万元．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)该公司采用哪种进货方式可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)
购进甲种商品10件，乙种商品10件，最大利润为45万元
【分析】本题主要考查不等式，一次函数的运用，理解数量关系，正确列式是关键．
（1）根据题意，设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，结合题意列不等式得到，分别计算甲、乙的利润即可得到关于的函数表达式；
（2）根据一次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：现准备购进甲、乙两种商品共20件，设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，
∵所用资金不超过200万元，
∴，
解得，，
∴，
根据题意，甲种商品的利润为（万元），
乙种商品的利润为（万元），
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：∵在中，，
∴利润随的增大而增大，
∴当时，利润的值最大，最大利润为万元，则，
∴购进甲种商品10件，乙种商品10件，最大利润为45万元．
23．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点C．
(1)求的值和点的坐标；
(2)求的面积；
(3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标．
【答案】(1)，点的坐标为；
(2)；
(3)或
【分析】本题考查一次函数的交点求解、三角形面积计算及勾股定理求平面直角坐标系中的线段长，关键是灵活运用一次函数解析式求点坐标，结合等腰三角形的边长关系列方程．
（1）将点的坐标代入直线，代入计算可求出的值；联立两条直线的解析式组成二元一次方程组，解方程组即可得到交点的坐标；
（2）先求出直线与轴交点的坐标，计算出线段的长度，再以为底，点的纵坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式计算面积；
（3）设点的坐标为，先根据两点间距离公式计算的长度，由以为底的等腰三角形可知，据此列出关于的绝对值方程，求解得到的值，进而得到点的坐标．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴代入得，解得；
联立，解得，
∴点的坐标为；
（2）解：∵函数的图象与轴交于点，令，则，解得，
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，
∴，
∵点的纵坐标为，即中边上的高为，
∴；
（3）解：设点的坐标为，
∵点，，
∴，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，
即或，
解得或，
∴点的坐标为或．
24．为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元．
(1)请求出与的函数关系式；
(2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？
【答案】(1)
(2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解；
（2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解．
【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套，
由题意得：，
即与的函数关系式为（，且x为整数）；
（2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
即若型健身器材买套，
则型健身器材买套，
答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少．
25．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元．
(1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？
(2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式．
(3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？
(4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量．
【答案】(1)第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/
(2)
(3)元
(4)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出方程组和对应的函数关系式是解题的关键．
（1）根据小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元建立方程组求解即可；
（2）分，和三种情况，根据所给收费标准列式求解即可；
（3）把代入中求出y的值即可得到答案；
（4）可推出该户的用气量超过，把代入中求出x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，
解得．
答：第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/；
（2）解：由（1）可得，当时，，
当时，；
当时，,
综上所述，；
（3）解：在中，当时，，
答：应交燃气费为元；
（4）解：在中，当时，，
∵，
∴该户的用气量超过，
在中，当时，则
解得．
答：该户6月份的用气量为．
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专题05【一次函数】期末考点讲义（16大核心题型精析+实战练习）
2025-2026学年人教版八年级数学下学期
重点知识◆梳理
【知识点一、一次函数基础概念】
1.正比例函数：一般地，形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，叫做正比例.函数。
四大判定条件：(1)自变量x的最高次数为1；(2)解析式不含常数项，即常数项为0；(3)比例系数k≠0；(4)等式右侧为自变量的单项式。
正比例函数图象性质：
2.一次函数：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。
四大判定条件：(1)自变量x的最高次数为1；(2)比例系数k≠0（核心限制条件）；
(3)b为常数项，取值任意，可为正数、负数、0；(4)解析式为关于x的一次二项式或单项式。
3.两类函数关系:在一次函数y=kx+b中，当常数项b=0时，解析式简化为y=kx，此时一次函数转化为正比例函数。
核心结论：正比例函数是特殊的一次函数；一次函数包含正比例函数。
【知识点二、一次函数的图象】
1.图象基本特征:正比例函数y=kx（k≠0）：图象是一条经过原点的直线；
一次函数y=kx+b（k≠0）：图象为一条直线；b≠0时图象不经过原点。
2.两点作图法:(1)正比例函数：选取定点(0,0)、(1,k)，两点连线即可；
(2)一次函数：优先选取坐标轴交点y轴交点(0,b)，x轴交点（-,0）
3.系数几何意义:系数k（斜率）：决定直线倾斜方向与函数增减性；|k|越大，直线倾斜程度越陡；
系数b（截距）：决定直线与y轴的交点位置，直线与y轴固定交于点(0,b)。
【知识点三、 一次函数核心性质】
1.函数增减性（仅由k决定）
（1）k>0：图象自左向右上升，y随x的增大而增大；
（2）k<0：图象自左向右下降，y随x的增大而减小。
2.一次函数图象与性质如下图所示：
【知识点四、一次函数图象平移规律】
通用口诀：上加下减，左加右减；两类平移相互独立，互不干扰。
上下平移（针对常数项）：只改变直线上下位置，不改变自变量；
直线y=kx+b向上平移m个单位：y=kx+b+m；
直线y=kx+b向下平移m个单位：y=kx+b-m。
左右平移（针对自变量）：仅对x整体变形，必须加括号；
直线y=kx+b向左平移m个单位：y=k(x+m)+b；
直线y=kx+b向右平移m个单位：y=k(x-m)+b。
重点提示：图象平移只改变直线位置，不改变倾斜角度；平移过程中k值保持不变，所有平移后的直线互相平行。
核心题型◆归纳
题型1.正比例函数定义辨析 题型2.一次函数识别辨析
题型3.根据一次函数定义求参数 题型4.求一次函数自变量或函数值
题型5.列一次函数解析式并求值 题型6.正比例函数的图象、性质
题型7.根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型8.一次函数图象与坐标轴交点及面积
题型9.判断一次函数的增减性 题型10.根据一次函数增减性求参数
题型11.根据一次函数增减性判断自变量变化情况 题型12.比较一次函数值的大小
题型13.一次函数图象平移问题 题型14.一次函数图象对称问题
题型15：一次函数图象旋转问题 题型16.一次函数的规律探究问题
实战演练
题型解析◆精准备考
题型1.正比例函数定义辨析
1．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（ ）
A．正方形的面积与边长之间的关系
B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系
C．小明进行短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系
D．铅笔每支元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系
2．已知是关于x的正比例函数，当时，y的值为______．
3．已知与成正比例，且当时，，求：
(1)与的函数关系式；
(2)当时，求的值．
题型2.一次函数识别辨析
1．下列四个函数中，一次函数是（ ）
A． B． C． D．
2．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________．
3．一辆货车的油箱中有油，这辆货车每行驶耗油，写出这辆货车的油箱中剩余的油量与行驶的路程之间的关系式及x的取值范围，并判断y是否为x的一次函数．
题型3.根据一次函数定义求参数
1．若函数是正比例函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．当_____时，一次函数的图象经过原点．
3．已知函数．
(1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？
(2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？
题型4.求一次函数自变量或函数值
1．一次函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，在函数的图像上，则_________．
3．在直线上分别找出满足下列条件的点，并写出它们的坐标：
(1)横坐标是；
(2)与轴的距离是2个单位长度．
题型5.列一次函数解析式并求值
1．如图，在中，与相交于点．若是的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围）
3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)画出关于轴对称的图形（点、分别对应、）
(2)请在轴上找出一点，满足线段的值最小，并直接写出点坐标．
题型6.正比例函数的图象、性质
1．小明同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时选取导体甲和导体乙进行实验，并将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两图象均表示当电压增大时，电流强度也随之增大
B．依据图象可知电阻、电压和电流强度的关系为：
C．在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比
D．当在导体的两端加上3V的电压时，导体甲的电流强度大于导体乙的电流强度，说明导体甲的电阻大
2．已知点在正比例函数的图像上，则的值为_______．
3．已知正比例函数的图像经过点，且点的横坐标为2．
(1)求点的坐标；
(2)已知点在轴上，且，求点的坐标．
题型7.根据一次函数解析式判断其经过的象限
1．已知，，则直线的图象是下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在点，，，中，一次函数的图象不可能经过的点是________．
3．联系一次函数的图象，回答下列问题：
(1)当时，函数的图象经过哪几个象限？当时呢？
(2)当时，函数的图象不经过哪个象限？当时呢？
题型8.一次函数图象与坐标轴交点及面积
1．已知一次函数（为常数，且）的图象是由一次函数的图象平移得到的，若点在一次函数的图象上，则一次函数的图象与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则k的值为_______．
3．如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积．
题型9.判断一次函数的增减性
1．对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当时，
C．函数的图象与y轴交于点
D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行
2．若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或）
3．在如图所示的平面直角坐标系中，画函数的图象
(1)①列表，②描点，③连线
x … 0 1 2 …
y … …
(2)观察图象可知，当x由小变大时，y随x的增大而________；（填“增大”或“减小”）
(3)点在这个函数的图象上，则________．
题型10.根据一次函数增减性求参数
1．若一次函数，若y随x增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于，的二元一次方程．当时，的负整数值恰好有2个，则的取值范围为___．
3．已知一次函数，回答下列问题：
(1)若函数图像经过点，求的值；
(2)若函数随的增大而减小，求的取值范围．
题型11.根据一次函数增减性判断自变量变化情况
1．点都在直线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较大小
2．若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是___________．（填“”，“”或“”）
3．已知一次函数的图象经过点，．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)当时，求该一次函数的函数值y的取值范围．
题型12.比较一次函数值的大小
1．一次函数的图象过点，，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．当时，一次函数的最大值是________．
3．已知一次函数，并完成下列问题
(1)画出这个函数的图象；
(2)观察图象，当时，y的取值范围是 ．
题型13.一次函数图象平移问题
1．将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的，那么直线的表达式是________．
3．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点．
(1)求点的坐标．
(2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作．
①求面积．
②根据图象，直接写出点坐标．
题型14.一次函数图象对称问题
1．在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为________．
3．如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位．
(1)画出直线．
(2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________．
(3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________．
(4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________．
题型15.一次函数图象旋转问题
1．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为____．
3．已知一次函数．
(1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象；
(2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）．
题型16.一次函数的规律探究问题
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________．
3．如图，点在x轴上，且，过点作轴交直线于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线交x轴于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线于点，……，按照此方法一直作下去．
(1)写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　；
(2)按照上述规律，点的坐标是 　 　．
实战演练
一、单选题
1．若函数是一次函数，则m的值为（　　）
A．2 B． C． D．0
2．点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A． B．5 C．3 D．
3．已知正比例函数的值随着x的增大而减小，则大致图象为（ ）
A．B．C． D．
4．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不过第几象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
5．对于一次函数，下列判断错误的是（ ）
A．该函数的图象经过第二、三、四象限 B．该函数的图象在轴上截距为
C．该函数的图象与轴交于点 D．自变量的值每增加1，函数的值减小2
6．将正比例函数的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与轴的交点坐标点是
B．经过第一、二、四象限
C．与两坐标轴围成的三角形的面积为
D．若一次函数的图象经过两点，且，
7．若直线与直线的交点的纵坐标为，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
9．已知点，在一次函数的图象上，且，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（ ）
A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍
C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍
11．如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　）
A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元
C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润
12．为鼓励居民节约用水，我市出台的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)．现假设该市某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图像表示正确的是（ ）
A．B．C． D．
二、填空题
13．若点在直线上，则______．
14．当时，函数的最大值与最小值的和为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1，则满足的的取值范围为______．
16．为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________
三、解答题
17．已知函数．
(1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？
(2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？
18．已知一次函数．
(1)在直角坐标系中画该一次函数的图象；
(2)求该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积．
19．已知关于x的正比例函数．
(1)当m取何值时，函数图象经过第一、三象限？
(2)当m取何值时，y的值随着x值的增大而减小？
20．如图，直线与直线相交于点．
(1)求a的值．
(2)直线与直线与x轴分别相交于A、B两点，求的面积．
21．如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点．
(1)求两条直线对应的函数表达式．
(2)观察图象，直接写出当时x的取值范围．
22．某公司经营甲、乙两种商品，甲种商品每件进价12万元，售价14.5万元；乙种商品每件进价8万元，售价10万元．若这两种商品的进价和售价保持不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不超过200万元．设购进甲种商品x件，总利润为y万元．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)该公司采用哪种进货方式可获得最大利润？最大利润是多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点C．
(1)求的值和点的坐标；
(2)求的面积；
(3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标．
24．为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元．
(1)请求出与的函数关系式；
(2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？
25．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元．
(1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？
(2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式．
(3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？
(4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量．
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