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四边形综合实践题
一、解答题：本题共21小题，共172分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
【探究实践】某数学兴趣小组准备了一些等腰三角形纸板平放在同一平面上进行探究比如把等腰三角形的顶角顶点重合在一起，位置摆放可以进行变化设，，该数学兴趣小组对与的数量关系展开积极探究，组员们提出了自己的猜想或发现：
探究一：如图，当时，连接、交于点，小林发现一个结论：小亚证明了小林发现的结论是对的，请你写出小亚的证明过程；
探究二：如图，连接，得到四边形，点始终在四边形内部小海对小美说：点是边的中点，当时，发现线段与线段存在一定的数量关系，你知道这个数量关系吗？请你帮小美回答这个问题，并说明理由；
探究三：如图，在探究二条件的基础上，小君同学将图的三角板固定，将另外一个三角板绕点旋转，设计了一道题：若为边所在直线上一点，，当、、三点共线时，请直接写出的度数结果用含的式子表示．
【答案】，
，
，
又，，
≌，
，
理由：如图，延长到，使，连接，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
又，
≌，
的度数为或
【解析】解：，
，
，
又，，
≌，
；
，
理由：如图，延长到，使，连接，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
又，
≌，
；
连接并延长到，使，连接．
当点在边上时，
由题意得，，
同理可证明≌，≌，
，
，，
；
当点在边延长线上时，
同理可证明≌，
，
同理可得，
综上，的度数为或．
利用证明≌，即可得到；
延长到，使，连接，证明≌，得到，，再证明≌，即可得到；
连接并延长到，使，连接，分两种情况：点在边上和点在边延长线上，画出对应的示意图，同理证明≌，≌，再根据全等三角形的性质和角之间的关系求解即可．
本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2.本小题分
定义：对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形．
【概念理解】给出下列图形：平行四边形矩形菱形正方形其中一定是“垂美四边形”的是 填序号
【性质探究】如图，垂美四边形的对角线，相交于点，求证：．
【解决问题】如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，．
四边形是垂美四边形吗请说明理由．
求的长．
【答案】(1)
(2)证明:ACBD, AOD=AOB=BOC=COD=.由勾股定理,得A+B=A+D+B+C,A+C=A+B+C+D.A+C=A+B.
(3)解:四边形CGEB是垂美四边形.理由如下:如答图,连接CG,BE,AB与CE相交于点O,BG与CE相交于点N.四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形,CAG=BAE=,AG=AC,AB=AE.CAG+BAC=BAE+BAC,即GAB=CAE.GABCAE(SAS).ABG=AEC.又AEC+AOE=,AOE=BON,ABG+BON=.BNO=-(ABG+BON)=.CE⊥BG.四边形CGEB是垂美四边形.

由(2),得C+B=C+G. AC=,AB=3,CB===2,CG=AC=,BE=AB=3.G=C+B-C=+-=.CE=2.

【解析】 略
略
略
3.本小题分
我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形

在特殊的平行四边形中一定是垂美四边形的是 填写一个
如图，若四边形为垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并说明理由
如图，在 中，，，分别是，，的中点，，连接，若，，求的长．
【答案】(1)菱形/正方形
(2)A+C=B+A;
理由如下:
如图,连接AC,BD交于点E,
四边形ABCD为垂美四边形,
ACBD,
在RtABE中,A=B+A,
在RtDCE中,C=C+D,
A+C=B+A+C,
同理可得B+A=B+C+A+D,
A+C=B+A;


(3)如图,连接AC,BG,
AB=6,AD=8,四边形ABCD是平行四边形,CD=6,BC=8,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,EF//AC,AG=DG=AD=4,BF=BC=4,DG//BF,DG=BF,四边形BFDG为平行四边形,BG//DF,EFDF,ACBG,四边形BCGA为垂美四边形,A+B=A+C,AG=4,BC=8,AB=6,+=+C,CG=2.(负值已舍去)


【解析】 略
略
略
4.本小题分
如图，在中，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．
求证：四边形是矩形；
如图，连接，交于点，点是线段的中点，连接若，，求矩形的面积；
如图，连接，交于点，若，，，请判断与的数量关系；
如图，四边形是菱形，是的中点，点，在上，，，连接．
求证：四边形是矩形；
若，，则的长为________，的长为________．
【答案】(1)证明：四边形是平行四边形，.，，，，，四边形是矩形.
(2)解：四边形是平行四边形，.点是线段的中点，，是的中位线，.，在 Rt中，，矩形的面积为.
(3)解：在Rt中，，，，.，平行四边形是菱形.，.，，，，.在矩形中，，..
(4)①证明：四边形是菱形，，是的中点，是的中位线，，即，，四边形是平行四边形，，，平行四边形是矩形.
②5 2

【解析】 略
略
略
略
5.本小题分
【提出问题】在课本上四边形章节的复习题中有这样一道题：求证：平行四边形两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和．
小红在探究该问题时从特殊的平行四边形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题．
【探究问题】在正方形中，设其边长为，则有 ， ，因此，对角线，和的数量关系有：
在菱形中，设其边长为，则有，因此，对角线，和的数量关系有：
在矩形中，设，，则对角线，和，的数量关系有：
【解决问题】如图，在 中，设，，猜想对角线，和，的数量关系为 ，并证明
【拓展应用】如图，在四边形中，，，，，，为的中点，求的长．
【答案】(1)2a2;
2a2
;
4a2
;
4a2
;
2a2+2b2

(2)2+2.
证明:,分别过点A,D作AEBC,DFBC,垂足分别为E,F.AEB=DFC=.四边形ABCD是平行四边形,AB=DC,AB//DC.ABE=DCF.ABEDCF(AAS).BE=CF,AE=DF.设BE=CF=m,AE=DF=h,则CE=b-m,BF=b+m.在RtAEC中,A=A+C=+=+-2bm+,在RtBDF中,B=D+B=+=++2bm+.A+B=2+2+2.在RtABE中,A=A+B,=+.A+B=2(+)+2=2+2.

(3)连接AC,延长AM至点N,使MN=AM,连接BN,CN.又M为BC的中点,BM=MC.四边形ABNC是平行四边形.B+A=2A+2A.在RtACD中,D=,由勾股定理,得AC===.+A=2+2.AN=.AM=AN=.
【解析】 略
略
略
6.本小题分
如图，已知线段，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形和正方形，连接．
若，则的长为_____，
如图，连接交于点，求证：点恰为中点．
如图，连接，，并延长交于点，求证：四边形为矩形．
如图，连接，直接写出的最小值_________．
【答案】解：；
证明：如图，延长，与交于点，连接，
四边形和是边长都是正方形，
，，，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
≌，
，
即点恰为的中点；
证明：如图，延长，与交于点，
由可知，，
，
，
≌，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
四边形为矩形；
．
【解析】【分析】
本题考查正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，以及等腰三角形的性质等，作出辅助线，综合运用这些知识分析是解题关键．
延长与交于点，根据正方形的性质得出和的长，再利用勾股定理求解即可；
延长，与交于点，连接，根据正方形的性质证得≌，得出，即可得证；
延长，与交于点，证得≌，进而得出是等腰直角三角形，利用三线合一的性质得出，得出，再根据，即可得证；
当时有最小值，根据题意作出图形，然后根据中位线的定理得出即可．
【解答】
解：如图，延长与交于点，
，，
，
四边形和是边长都是正方形，，
，，
，，
根据勾股定理可得．
故答案为；
见答案；
见答案；
如图，当时有最小值．
四边形为矩形，
，
是等腰直角三角形，
是的中点，
是的中点，
是的中位线，
，
即的最小值为．
故答案为．
7.本小题分
综合与实践
顺次连结任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
如图，在四边形中，，，，分别是各边的中点．
求证：中点四边形是平行四边形．
证明：，，，分别是，，，的中点，
，分别是和的中位线，
，____，
．
同理可得，
中点四边形是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
请你补全上述过程中的证明依据：
．
【探究二】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
下面我们结合图来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
从作图、测量结果得出猜想Ⅱ原四边形对角线垂直时，中点四边形是 ．
下面我们结合图来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图中画出对应的图形．
原四边形对角线关系 中点四边形形状
结论：原四边形对角线 时，中点四边形是 ．
【答案】(1)三角形中位线定理
(2)证明：E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
EF,GH分别是ABC和ACD的中位线.
EF=AC,GH=AC.
EF=GH.
同理,可得EH=FG.
AC=BD,
∴EF=GH=EH=FG.
∴中点四边形EFGH是菱形.
(3)(1)矩形
(2)证明:E,F,C,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
EF,CH分别是ABC和ACD的中位线,
EFAC,GHAC,
∴ EFGH.
同理可得EHFG.
∴四边形EFGH为平行四边形,
∵ACBD,EHBD,EFAC,
EFEH,
中点四边形EFGH是矩形.

(4)ACBD且AC=BD； 正方形；
如图所示：

【解析】 略
略
略
略
8.本小题分
【了解概念】定义：两条对角线相等的凸四边形叫作等线四边形，两条对角线所夹锐角为的等线四边形叫作强等线四边形．
【理解运用】
下列四边形中，一定是等线四边形的是 只填序号．
平行四边形矩形菱形正方形．
【拓展提升】
如图，在中，，分别以，为边向外作菱形和菱形，且，连接，，．
求证：四边形是强等线四边形
若，，，分别是，的中点，连接，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)连接BG,CE交于点O,设CE交AB于点N,
如图,菱形ACFG和菱形ABDE中,
AC=AG,AE=AB,CAG=BAE=,
CAG+BAC=BAE+BAC,即GAB=CAE.
在BAG和EAC中,
(SAS),
BG=EC,ABG=AEC,即OBN=AEN.
OBN+BNO+BOE=AEN+ENA+BAE=,BNO=ENA,
BOE=BAE=,即BG,CE所夹锐角为,
四边形BCGE是强等线四边形.
PQ的长为.
解析:在RtABC中,ACB=,AB=4,BAC=,
AC=2.
菱形ACFG和菱形ABDE中,
AC=AG=2,AE=AB=4,CAG=BAE=,
ACG,ABE都是等边三角形,
GAE=CAG+BAC+BAE=,
CG=AC=2,BE=AB=4,AGC=AEB=,AGE+AEG=-GAE=,
CGE+BEG=AGC+AEB-(AGE+AEG)=.
连接CE,取CE的中点M,连接PM,QM,如图,
P,Q分别是BC,GE的中点,
PM,QM分别是BCE,CGE的中位线,
PM=BE=2,PM//BE,QM=CG=,QM//CG,
CMP=CEB,MQE=CGE.
CMQ=MQE+CEG,
CMQ=CGE+CEG,
CMQ+CMP=CGE+CEG+CEB=.
在RtPQM中,由勾股定理,得PQ===,即PQ的长为.

【解析】
平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形
矩形对角线相等，它一定是等线四边形
菱形对角线互相垂直平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形
正方形对角线相等，它一定是等线四边形，故答案为．
略
9.本小题分
如图，用四根木条钉成矩形木框，把边固定在地面上，向右侧推动矩形木框，矩形木框的形状会发生改变．
矩形木框的形状会发生改变的原因是 ．
通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段是由推动得到的，所以，按照这个思路，我们还可以得到 ， ．
进一步观察，我们还会发现，请说明推理过程．
已知，，若恰好经过原矩形木框的边上的中点，过点作，交于点．
____．
四边形是什么样的四边形
【答案】(1)四边形具有不稳定性
(2)DC;
AD

(3)因为四边形ABCD是矩形,
所以AD=BC,AB=CD,AD//BC.
由题意,知EB=AB,CF=CD,AD=EF,
所以EB=CF,EF=BC,
所以四边形BCFE是平行四边形,
所以EF//BC,
所以EF//AD.

(4)因为点H是CD的中点,
所以CH=CD=80=40(cm).
因为四边形ABCD是矩形,
所以BCD=,
所以BH===50(cm).
根据题意可知,BE=AB=DC=80cm,
所以EH=BE-BH=30cm.
故答案为30cm.
因为BC//EF,HG//BC,
所以EF//HG.
由(3),得四边形BCFE是平行四边形,
所以EH//FG,
所以四边形EHGF是平行四边形.
因为EF=BC=30cm,EH=30cm,
所以四边形EHGF是菱形.

【解析】 略
略
略
略
10.本小题分
如图，在中，，，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是菱形；
若，求的长；
如图，连接，，
一题多解法 求证：；
若平分，求四边形的面积．
【答案】(1)证明：∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE// AB，即DF// AB． 又∵AF// BC，∴四边形ABDF是平行四边形．∵BC＝2AB，BC＝2BD，∴AB＝BD，∴四边形ABDF是菱形；
(2)解：如图，连接AD，
由（1）可知，AB＝BD，∵∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴，∴BC＝2AB＝4，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，．∵E是AC的中点，∴， 即AE的长为；

(3)①证明：由（1）得四边形ABDF是菱形，∴AF＝BD，AF// BD，∴AF// CD．∵D是BC的中点，∴BD＝CD＝AF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD＝CF；
一题多解法
证明：由（1）得四边形ABDF是菱形，∴AB＝DF，AB// DF，∴∠B＝∠FDC，∵D是BC的中点，∴BD＝DC， 在△ABD和△FDC中，，∴，∴AD＝CF；
②解：∵AC平分∠DAF，∴∠FAC＝∠DAC． 由①可知，四边形ADCF是平行四边形，∴∠FAC＝∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，∴平行四边形ADCF是菱形，∴AD＝AF，AC⊥DF，∵四边形ABDF是菱形，∴AB＝BD＝DF＝AF，AB// DF，∴AB＝BD＝AD，AC⊥AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠B＝60°，∵AB＝2，∴，DF＝2，∴．

【解析】 略
略
略
11.本小题分
在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒，其中．
若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形、相遇时除外答： 直接填空，不用说理
在条件下，若四边形为矩形，求的值
在条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值．
【答案】(1)四边形EGFH是平行四边形
(2)解:如图1
,
连接GH.由(1)得AG=BH,AG//BH,B=,
四边形ABHG是矩形,GH=AB=.
如图1,当四边形EGFH是矩形时,EF=GH=6,AE=CF=t,EF=10-2t=6,t=2;
如图2
,
当四边形EGFH是矩形时,EF=GH=6,AE=CF=t,EF=t+t-10=2t-10=6,t=8.
综上,四边形EGFH为矩形时t=2或t=8.

(3)如图3
,
M和N分别是AD和BC的中点,连接AH,CG,GH,设AC与GH交于O.
四边形EGFH为菱形,GHEF,OG=OH,OE=OF,
OA=OC,AG=AH,
四边形AGCH为菱形,AG=CG.
设AG=CG=x,则DG=8-x,
在RtGDC中,由勾股定理可得:C+D=C,即:+=,解得:x=,
MG=AG-AM=-4=,即t=,
当t=时,四边形EGFH为菱形形.

【解析】 略
略
略
12.本小题分
定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
性质探究：
如图，已知：四边形中，、、、分别是、、、的中点，、交于点，，且，求证：四边形是“中方四边形”
可以发现：四边形的两条对角线是什么关系时，四边形是“中方四边形”____．
问题解决：如图，以锐角两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”
拓展应用：如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点，若，求的最小值．
【答案】(1)证明:E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,EF、GH分别是ABC、ADC的中位线.EF=AC,EF//AC,GH=AC,GH//AC.EF=GH,EF//GH.四边形EFGH是平行四边形.EH//FG.ACBD,EFBD.FH是ABD的中位线,EH//BD,EH=BD.EHEF.四边形EFGH是矩形.AC=BD,EH=BD,EF=AC,EH=EF.四边形EFGH是正方形.四边形ABCD是“中方四边形”.
根据的求解过程可得四边形的两条对角线是垂直且相等时,四边形是“中方四边形”,故答案为垂直且相等

(2)证明:如图1,连接BG、EC,四边形ABDE和四边形ACFG都为正方形,AB=AE,EAB=,AG=AC,GAC=.EAB+BAC=BAC+GAC,即EAC=BAG.AECABG(SAS).EC=BG,AEC=ABG.CEB+EBG=AEB-AEC+ABE+ABG=AEB+ABE=-EAB=,ECBG.EC=BG,ECBG,由(1)知,四边形BCGE是“中方四边形”

(3)解:如图2,分别取AD、BC、AC的中点E、F、H,连接ME、EN、NF、FM、EH、FH、EF;四边形ABCD是“中方四边形”,四边形EMFN是正方形.EF=MN=.AD、BC、AC的中点分别是E、F、H,EH、FH分别是ADC,ABC的中位线.AB=2HF,CD=2EH.AB+CD=2(HF+EH)2EF=.故当点H在线段EF上时,EF取得最小值,从而AB+CD取得最小值,且最小值为2EF=.

【解析】 略
略
略
13.本小题分
我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
菱形的中点四边形的形状是 ．
如图，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、、、分别为、、、的中点，试判断中点四边形的形状并证明．
若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为，则 ．
【答案】(1)矩形
(2)四边形EFGH是菱形.证明如下:如图2,连接AC、BD.AMD与MCB为等边三角形,AM=DM,AMD=CMB=,CM=BM,AMD+DMC=BMC+DMC,即AMC=DMB.在AMC和DMB中,AMCDMB(SAS),AC=DB.E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,EF是ABC的中位线,GH是ACD的中位线,HE是ABD的中位线,FG是BCD的中位线,EFAC且EF=AC,GHAC且GH=AC,HEDB且HE=DB,FGDB且FG=DB,EFGH,FGHE,四边形EFGH是平行四边形.AC=DB,EF=HE,四边形EFGH是菱形.

(3)2
【解析】
如图，当四边形是菱形时，连接各边中点得四边形根据中位线的性质可知，，，同理可得，，，为平行四边形又四边形是菱形，，，四边形为矩形．
略

如图，连接、交于点，连接、、当点在上即、、三点共线时，最小，最小值为的长，的最小值．，，，又、分别是、的中点，，，，的最小值．四边形是正方形，，，．、分别是、的中点，，，，．
14.本小题分
定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
下列我们学过的四边形中，是“神奇四边形”的是____填序号
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
如图，在正方形中，为边上一点，连接，过点作于点，交于点，连接，．
求证：四边形是“神奇四边形”
如图，，，，分别是，，，的中点试判断四边形是不是“神奇四边形”，并说明理由．
如图，点，分别在正方形的边，上，把正方形沿直线折叠，使的对应边恰好经过点，过点作于点若，正方形的边长为，求的长．
【答案】(1)D
(2)证明:四边形ABCD是正方形,
ABC=BCD=,AB=BC.
ABG+CBG=.
BGAE,
BAE+ABG=.
BAE=CBG.
ABEBCG(ASA).
AE=BG.
又AEBG,
四边形ABEG是“神奇四边形”.
②解:四边形MNPQ是“神奇四边形”.
理由如下:M,N分别是AB,AG的中点,
MN为ABG的中位线.
MN//BG,MN=BG.
同理可得PQ//BG,PQ=BG,MQ//AE,MQ=AE,NP//AE,NP=AE.
由(1),得AE=BG.
MN=MQ=PQ=NP.
四边形MNPQ是菱形.
BGAE,MQ//AE,
MQBG.
MN//BG,
MQMN.
QMN=.
四边形MNPQ是正方形.
四边形MNPQ是“神奇四边形”.

(3)如图,延长AO交BC于点S.
由折叠的性质,得BF=F,A=BS=2,AO=SO,=B=.
四边形ABCD的边长为6,
AB=6,B=.
AS=2.
AO=AS=.
设AF=x,则BF=F=6-x.
在RtAF中,根据勾股定理,得+=.
解得x=.
在RtAOF中,根据勾股定理,得OF==.

【解析】 略
略
略
15.本小题分
我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
在我们学过的下列四边形平行四边形矩形菱形正方形中，是“神奇四边形”的是______填序号；
如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．
求证：四边形是“神奇四边形”；
如图，点、、、分别是、、、的中点试判断四边形是不是“神奇四边形”；
如图，点、分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长．
【答案】解：；
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是“神奇四边形；
四边形“神奇四边形，
理由如下：，为，的中点，
为的中位线，
，，
同理可得，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
四边形为正方形，
正方形的对角线互相垂直且相等，
四边形为“神奇四边形”；
延长交于，
由对称性可知，，，
，
，
设，则，
在中，，
，
，

【解析】【分析】
本题主要考查的是新定义问题，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质等有关知识．
直接根据“神奇四边形”的定义进行分析即可；
由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，然后根据求解即可；
由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论；
延长交于，由勾股定理求出的长，设，则，在中，由勾股定理可得出，解得，然后在中，由勾股定理即可求出．
【解答】
解：平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是“神奇四边形”；
矩形对角线相等但不一定垂直，故不是“神奇四边形”；
菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故不是“神奇四边形”；
正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是“神奇四边形”；
见答案；
见答案；
见答案．
16.本小题分
宽与长的比是约为的矩形叫作黄金矩形现有一张黄金矩形纸片，长如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接然后将纸片展开．
求的长．
求证：四边形是黄金矩形．
如图，为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点四边形是否为黄金矩形若是，请证明若不是，请说明理由．
【答案】(1)AD=+1,矩形ABCD是黄金矩形,=,AB=(+1)=.
(2)证明:折叠黄金矩形纸片ABCD,点B落在AD上的点E处,AE=AB,AEF=B.又四边形ABCD是矩形,BAE=B=C=D=,AB=CD,BC=AD=+1,BAE=B=AEF=,四边形ABFE是矩形.又AB=AE,四边形ABFE是正方形,AB=BF=EF=AE.由(1)知,AB=2,AB=BF=EF=AE=2,DE=CF=+1-2=-.C=D=DEF=,四边形CFED是矩形,EF=CD=2,=,四边形CDEF是黄金矩形.
(3)四边形BPQF是黄金矩形.证明如下:PQEF,四边形ABFE是正方形,B=BFE=PQF=,四边形BFQP是矩形.由(2)知,AB=BF=AE=EF=.G为AE的中点,AG=EG=1,FG===.如图,连接PG,由对折可知,FH=FB=2,PH=PB,PHF=B=.设PB=PH=x,则AP=2-x.+=,1(2-x)+2x+x=(1+2)2,解得x=-1,即PB=-1,=,四边形BFQP是黄金矩形.

【解析】 详细解答和解析过程见【答案】
详细解答和解析过程见【答案】
详细解答和解析过程见【答案】
17.本小题分
在学行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题其探究过程如下：
【探究发现】如图，在中，，，为边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
【探究证明】取图中的边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点连接，，如图求证：四边形是平行四边形．
【探究提升】在图中，四边形能否成为轴对称图形如果能，直接写出的值如果不能，说明理由．
【答案】(1)解:四边形DEGF是菱形,

(2)证明:将BMN沿 MN翻折得到HMN,
BN=HN,BM=HM,
BN=BM,
HN=BN=BM=HM,
四边形BMHN是菱形,
NHBC,
E为边AD的中点,M为边BC的中点,
DE=AD,BM=BC,
四边形ABCD是平行四边形,
AD=BC,ADBC,
DE=BM,ADNH,
四边形DEGF是菱形,
DE=FG,FGAD,
FG=DE=BM=HN,FGNH,
四边形GFHN是平行四边形.
(3)四边形GFHN能成为轴对称图形,的值为或.
详解:由【探究证明】知,
四边形 GFHN是平行四边形,
若四边形 GFHN为轴对称图形,则四边形 GFHN是矩形或菱形.
当四边形GFHN是矩形时,过G作 GKAB于K,过E作ETAB于T,
如图,
易得四边形ETKG是矩形,
ET=GK,EG=TK.
A=,
AET=,AT=AE,
设AT=x,则AE=2x,
ET==x=GK,
E为AD的中点,
DE=AE=2x,AD=2AE=4x.
四边形DEGF是菱形,
EG=DE=2x=TK,
四边形GFHN是矩形,
GNH=.
ADNH,A=,
HNB=A=,
GNK=-GNH-HNB
=--=,
KN=GK=x=3x.
BN=BM=BC=AD=2x,
AB=AT+TK+KN+BN=x+2x+3x+2x=8x,
==.
当四边形GFHN是菱形时,延长FG交AB于W.
如图,
设AD=y,则DE=DF=EG=GF=BN=BM=HM=NH=y,
四边形GFHN是菱形,
GF=FH=NH=GN=y.
EGCDAB,GFAD,
四边形AEGW是平行四边形,
GWN=A=,
AW=EG=y,GW=AE=y,GW=GN,
GWN是等边三角形,
WN=GW=y,
AB=AW+WN+BN=y+y+y=y,
==.
综上所述,四边形GFHN为轴对称图形时,
的值为或.

【解析】 略
略
略
18.本小题分
问题提出：
如图，在四边形中，，对角线，，，，，分别是各边的中点．求证：四边形是正方形．
问题解决：如图，某市有一块四边形土地，米，米，，是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点，，，，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖人行道宽度不计，铺设地砖成本为元米，经测量，，，设计要求是四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求？若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由．
【答案】(1)证明：∵E，F，G，H分别是各边的中点，∴EF// AC，FG// BD，，．∵AC＝BD，∴EF＝HG＝EH＝FG．∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，∴EF⊥FG．∴菱形EFGH是正方形．
(2)符合．连接AC，BD相交于点O．∵∠APB＝∠CPD，∴∠APC＝∠BPD．∵AP＝BP，CP＝DP，∴．∴AC＝BD，∠ACP＝∠BDP．∵∠CPD＝90°，∴∠PDC+∠PCD＝∠ACP+∠OCD+∠PDC＝90°．∴∠ODC+∠OCD＝∠BDP+∠PDC+∠OCD＝90°．∴∠COD＝90°．∴AC⊥BD．由（1）可知，四边形EFGH为正方形．∵AD＝60米，DC＝80米，∠ADC＝90°，由勾股定理，得（米），∴米．∴50×4×20＝4000（元）．∴铺设地砖所需的费用为4000元．
【解析】 略
略
19.本小题分
顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作四边形的中点四边形．
任意四边形的中点四边形是
任意平行四边形的中点四边形是什么形状为什么
任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状为什么
【答案】(1)平行四边形
(2)任意平行四边形的中点四边形是平行四边形.理由如下:
如图1,在 ABCD中,E,N,M,F分别是DA,AB,BC,DC的中点,连接AC.
E,F分别是DA,DC的中点,EF是ACD的中位线.EF//AC,EF=AC.M,N分别是BC,AB的中点,MN是ABC的中位线.MN//AC,MN=AC.EFMN.四边形MNEF是平行四边形.

(3)任意矩形的中点四边形为菱形.理由如下:
如图2,在矩形ABCD中,H,E,F,G分别是DA,AB,BC,DC的中点,连接AC,DB.
由(1)可知,四边形EFGH为平行四边形.由三角形的中位线定理可得,EF=AC,FG=BD.四边形ABCD是矩形,AC=BD.EF=FG.四边形EFGH是菱形.
任意菱形的中点四边形为矩形.理由如下:
如图3,在菱形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,连接BD,AC.
由(1)可知,四边形EFGH为平行四边形.由三角形的中位线定理可知EH//BD,EF//AC. 四边形ABCD为菱形, BDAC.EHEF.四边形EFGH是矩形.
任意正方形的中点四边形为正方形.理由如下:
如图4,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,连接BD,AC.
由(1)可知,四边形EFGH为平行四边形.同,由三角形的中位线定理可得,EF=FG.四边形EFGH为菱形.同,由三角形的中位线定理可得,EFFG. 四边形EFGH是正方形.

【解析】 略
略
略
20.本小题分
如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，顺次连接，，，，得到四边形，我们称四边形为四边形的中点四边形．
试判断四边形的形状，并说明理由．
连接，，当与满足怎样的关系时，四边形是菱形？并说明理由．
连接，，当与满足怎样的关系时，四边形是矩形？并说明理由．
连接，，当与满足 时，四边形是正方形．
【答案】(1)解：四边形EFGH是平行四边形．理由如下： 如图，连接AC．∵点E，F分别是AB，BC的中点，∴EF// AC，．∵点G，H分别是CD，DA的中点，∴GH// AC，．∴EF// GH，EF＝GH．∴四边形EFGH是平行四边形．（或如图，连接BD，同理得到EH// FG，EH＝FG，从而证明四边形EFGH是平行四边形．）
(2)当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形． 理由：如图．∵点E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，∴，．∵AC＝BD，∴EF＝FG． 由（1）可知，四边形EFGH是平行四边形．∴四边形EFGH是菱形．
(3)当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形． 理由：如图．∵点E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，∴EF// AC，FG// BD．∵AC⊥BD，∴EF⊥FG．∴∠EFG＝90°． 由（1）可知，四边形EFGH是平行四边形．∴四边形EFGH是矩形．

(4)AC＝BD且AC⊥BD
【解析】 略
略
略
略
21.本小题分
如图，在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．
在“平行四边形、矩形、菱形”中， 一定是等角线四边形若，，，分别是等角线四边形的四边，，，的中点，当对角线，还满足 时，四边形是正方形．
如图，已知在中，，，，为平面内一点若四边形是等角线四边形，且，求四边形的面积．
【答案】(1)矩形;
ACBD
(2)3+2
【解析】 略
略
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四边形综合实践题
一、解答题：本题共21小题，共172分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
【探究实践】某数学兴趣小组准备了一些等腰三角形纸板平放在同一平面上进行探究比如把等腰三角形的顶角顶点重合在一起，位置摆放可以进行变化设，，该数学兴趣小组对与的数量关系展开积极探究，组员们提出了自己的猜想或发现：
探究一：如图，当时，连接、交于点，小林发现一个结论：小亚证明了小林发现的结论是对的，请你写出小亚的证明过程；
探究二：如图，连接，得到四边形，点始终在四边形内部小海对小美说：点是边的中点，当时，发现线段与线段存在一定的数量关系，你知道这个数量关系吗？请你帮小美回答这个问题，并说明理由；
探究三：如图，在探究二条件的基础上，小君同学将图的三角板固定，将另外一个三角板绕点旋转，设计了一道题：若为边所在直线上一点，，当、、三点共线时，请直接写出的度数结果用含的式子表示．
2.本小题分
定义：对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形．
【概念理解】给出下列图形：平行四边形矩形菱形正方形其中一定是“垂美四边形”的是 填序号
【性质探究】如图，垂美四边形的对角线，相交于点，求证：．
【解决问题】如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，．
四边形是垂美四边形吗请说明理由．
求的长．
3.本小题分
我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形

在特殊的平行四边形中一定是垂美四边形的是 填写一个
如图，若四边形为垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并说明理由
如图，在 中，，，分别是，，的中点，，连接，若，，求的长．
4.本小题分
如图，在中，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．
求证：四边形是矩形；
如图，连接，交于点，点是线段的中点，连接若，，求矩形的面积；
如图，连接，交于点，若，，，请判断与的数量关系；
如图，四边形是菱形，是的中点，点，在上，，，连接．
求证：四边形是矩形；
若，，则的长为________，的长为________．
5.本小题分
【提出问题】在课本上四边形章节的复习题中有这样一道题：求证：平行四边形两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和．
小红在探究该问题时从特殊的平行四边形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题．
【探究问题】在正方形中，设其边长为，则有 ， ，因此，对角线，和的数量关系有：
在菱形中，设其边长为，则有，因此，对角线，和的数量关系有：
在矩形中，设，，则对角线，和，的数量关系有：
【解决问题】如图，在 中，设，，猜想对角线，和，的数量关系为 ，并证明
【拓展应用】如图，在四边形中，，，，，，为的中点，求的长．
6.本小题分
如图，已知线段，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形和正方形，连接．
若，则的长为_____，
如图，连接交于点，求证：点恰为中点．
如图，连接，，并延长交于点，求证：四边形为矩形．
如图，连接，直接写出的最小值_________．
7.本小题分
综合与实践
顺次连结任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
如图，在四边形中，，，，分别是各边的中点．
求证：中点四边形是平行四边形．
证明：，，，分别是，，，的中点，
，分别是和的中位线，
，____，
．
同理可得，
中点四边形是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
请你补全上述过程中的证明依据：
．
【探究二】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
下面我们结合图来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
从作图、测量结果得出猜想Ⅱ原四边形对角线垂直时，中点四边形是 ．
下面我们结合图来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图中画出对应的图形．
原四边形对角线关系 中点四边形形状
结论：原四边形对角线 时，中点四边形是 ．
8.本小题分
【了解概念】定义：两条对角线相等的凸四边形叫作等线四边形，两条对角线所夹锐角为的等线四边形叫作强等线四边形．
【理解运用】
下列四边形中，一定是等线四边形的是 只填序号．
平行四边形矩形菱形正方形．
【拓展提升】
如图，在中，，分别以，为边向外作菱形和菱形，且，连接，，．
求证：四边形是强等线四边形
若，，，分别是，的中点，连接，直接写出的长．
9.本小题分
如图，用四根木条钉成矩形木框，把边固定在地面上，向右侧推动矩形木框，矩形木框的形状会发生改变．
矩形木框的形状会发生改变的原因是 ．
通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段是由推动得到的，所以，按照这个思路，我们还可以得到 ， ．
进一步观察，我们还会发现，请说明推理过程．
已知，，若恰好经过原矩形木框的边上的中点，过点作，交于点．
____．
四边形是什么样的四边形
10.本小题分
如图，在中，，，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是菱形；
若，求的长；
如图，连接，，
一题多解法 求证：；
若平分，求四边形的面积．
11.本小题分
在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒，其中．
若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形、相遇时除外答： 直接填空，不用说理
在条件下，若四边形为矩形，求的值
在条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值．
12.本小题分
定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
性质探究：
如图，已知：四边形中，、、、分别是、、、的中点，、交于点，，且，求证：四边形是“中方四边形”
可以发现：四边形的两条对角线是什么关系时，四边形是“中方四边形”____．
问题解决：如图，以锐角两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”
拓展应用：如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点，若，求的最小值．
13.本小题分
我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
菱形的中点四边形的形状是 ．
如图，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、、、分别为、、、的中点，试判断中点四边形的形状并证明．
若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为，则 ．
14.本小题分
定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
下列我们学过的四边形中，是“神奇四边形”的是____填序号
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
如图，在正方形中，为边上一点，连接，过点作于点，交于点，连接，．
求证：四边形是“神奇四边形”
如图，，，，分别是，，，的中点试判断四边形是不是“神奇四边形”，并说明理由．
如图，点，分别在正方形的边，上，把正方形沿直线折叠，使的对应边恰好经过点，过点作于点若，正方形的边长为，求的长．
15.本小题分
我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
在我们学过的下列四边形平行四边形矩形菱形正方形中，是“神奇四边形”的是______填序号；
如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．
求证：四边形是“神奇四边形”；
如图，点、、、分别是、、、的中点试判断四边形是不是“神奇四边形”；
如图，点、分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长．
16.本小题分
宽与长的比是约为的矩形叫作黄金矩形现有一张黄金矩形纸片，长如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接然后将纸片展开．
求的长．
求证：四边形是黄金矩形．
如图，为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点四边形是否为黄金矩形若是，请证明若不是，请说明理由．
17.本小题分
在学行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题其探究过程如下：
【探究发现】如图，在中，，，为边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
【探究证明】取图中的边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点连接，，如图求证：四边形是平行四边形．
【探究提升】在图中，四边形能否成为轴对称图形如果能，直接写出的值如果不能，说明理由．
18.本小题分
问题提出：
如图，在四边形中，，对角线，，，，，分别是各边的中点．求证：四边形是正方形．
问题解决：如图，某市有一块四边形土地，米，米，，是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点，，，，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖人行道宽度不计，铺设地砖成本为元米，经测量，，，设计要求是四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求？若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由．
19.本小题分
顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作四边形的中点四边形．
任意四边形的中点四边形是
任意平行四边形的中点四边形是什么形状为什么
任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状为什么
20.本小题分
如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，顺次连接，，，，得到四边形，我们称四边形为四边形的中点四边形．
试判断四边形的形状，并说明理由．
连接，，当与满足怎样的关系时，四边形是菱形？并说明理由．
连接，，当与满足怎样的关系时，四边形是矩形？并说明理由．
连接，，当与满足 时，四边形是正方形．
21.本小题分
如图，在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．
在“平行四边形、矩形、菱形”中， 一定是等角线四边形若，，，分别是等角线四边形的四边，，，的中点，当对角线，还满足 时，四边形是正方形．
如图，已知在中，，，，为平面内一点若四边形是等角线四边形，且，求四边形的面积．
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