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正方形中截长补短专题
一、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
【问题原型】人教版教材八年级下册第页有这样一道题：
如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证：请你完成这一问题的证明过程．
【问题应用】
小红在老师的启发下对题目进行了探索，发现：当原题中的“中点”改为“直线上任意一点两点除外时”，结论都能成立．现请你证明下面这种情况：
如图，四边形是正方形，点为反向延长线上一点，，且交正方形外角的平分线所在直线于点，求证：．
【拓展迁移】
如图，在正方形中，，为边上一动点点，不重合，以为直角边在上方作等腰直角三角形，，连接则在点的运动过程中，周长的最小值为______．
【答案】解：问题原型：证明：如图，取的中点，连接，
，
点是的中点，
，
，
，
，
是正方形的外角的平分线，
，
，
，
，
，
在与中
，
，
问题应用：
证明：如图，
在延长线上截取，连接．
四边形是正方形，
，．
又，
．
，，为正方形外角平分线
，
，
在和中，
，
．
拓展迁移：．

【解析】问题原型：见答案；
问题应用：见答案；
拓展迁移：
解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在上取点，使，连接，
，
，
，
在和中
，
，
，
作点关于的对称点，则点、、在一条直线上，此时的最小值即为的长，
在中，由勾股定理得，
以、、为顶点的三角形周长的最小值为
故答案为：．
此题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，构造全等三角形是解题的关键．
问题原型：分别证明，，，即可得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
问题应用：证明，，，即可得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
拓展迁移：证明，即可得到，作点关于的对称点，则点、、在一条直线上，此时的最小值即为的长，在中，由勾股定理得即可．
2.本小题分
四边形是正方形，点为反向延长线上一点，，且交正方形外角的平分线所在直线于点，求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】证明：在延长线上截取，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，为正方形外角平分线，
，
，，
，，
，
又，，
≌，
．
在延长线上截取，连接，根据正方形的性质，角平分线的定义和等腰三角形的性质易得，，可证≌，即可求证．
本题考查正方形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，根据题意作出辅助线是解决问题的关键．
3.本小题分
【探究与证明】数学课上，老师出示了如下问题：如图，四边形是正方形，点是边上任意一点、两点除外，过点作交于点．
求证：，请你借助图完成证明
【特例探究】
在同学们做出了的解答之后，老师将题目修改成：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点，求证：．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：如图，取的中点，连接，则，易证，所以请你借助图按照小明的思路写出证明过程
【拓展探索】
在的基础上，同学们作了进一步的探究：在老师的启发下，小华对题目进行研究发现：把条件“点是边的中点”改为“点是直线上任意一点、两点除外”，结论仍成立现请你证明下面这种情况：
如图，四边形是正方形，点为反向延长线上一点，，且交正方形外角的平分线所在直线于点求证：．
【答案】解：如图，
四边形是正方形，，
；
如图，取的中点，连接，
由正方形得，，
是中点，是中点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是正方形外角的平分线，
，
，
，
又由得，
，
；
如图，延长到，使，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，，
点在正方形外角的平分线所在的直线上，
，
，
又与同理可得，
，
．
【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，正方形的性质等有关知识．
根据正方形的性质得到，进而得到，从而证出；
先判定是等腰直角三角形，进而得到，从而求出，然后利用全等三角形的判定和性质求解即可；
延长到，使，连接，利用正方形的性质和全等三角形的判定和性质求解即可．
4.本小题分
若将正方形放置在平面直角坐标系中，与原点重合，点的坐标为，点的坐标为，并且实数，使式子成立．
直接写出点、的坐标
，且交正方形外角的平分线于点．
如图，求证
如图，连接交于点，作交于点，作交于点。连接，求四边形的面积
如图，连接正方形的对角线，若点在上，点在上，且，请直接写出的最小值 ．
【答案】解：，；
取的中点，连接，
，
，
，
，为的中点，，
，，
，
，
是正方形外角的平分线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
延长，并在延长线上截取，连接，
四边形是正方形，
，，
≌，
，，，
由知，
为等腰直角三角形，
，
，
，
≌，
，，，
，
，
，
，
同理可得，
，
又，
设，则，
，
，
在中，，
解得，
，
．
．
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由算术平方根的意义可得出，，则可得出答案；
取的中点，连接，证明≌，由全等三角形的性质可得出；
延长，并在延长线上截取，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，，，证明≌，得出，同理可得，设，则，由勾股定理得出，解得，则可求出答案；
在正方形外角平分线上取点，使，证明≌，得出，当，，三点共线时，值最小，即为的值长，过点作轴于点，由勾股定理求出，则可得出答案．
【解答】
解：实数，使式子成立，
，
，，
四边形是正方形，
，，，
，；
见答案；
见答案；
在正方形外角平分线上取点，使，
，
，
≌，
，
，
当，，三点共线时，值最小，即为的值，
过点作轴于点，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，
的最小值为．
5.本小题分
同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证：书中的提示是：取的中点，连接，这样易证≌后得到在此基础上，请同学们探究以下问题：
如图，点是边上除点、外的任意一点，其它条件不变，的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；
如图，点是的延长线上除点外的任意一点，其他条件不变，的结论仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【答案】解：的结论还成立，理由如下．
如图，在上取一点，使，连接，
，
，，
是正方形外角的平分线，
，，
，
，，
，
≌，
；
的结论还成立，理由如下．
理由如下：如图，延长到，使，
，
．
，
，
．
，
，
即．
，
．
在与中，
，
≌，
．
【解析】如图，在上取一点，使，连接，利用判定≌，从而得到；
延长到，使，根据已知及正方形的性质利用判定≌，从而得到．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
6.本小题分
将正方形放置在平面直角坐标系中，与原点重合，点的坐标为，点的坐标为，并且实数，使式子成立，
直接写出点、的坐标；
，且交正方形外角的平分线于点，
如图，求证；
如图，连接交于点，作交于点，作交于点，连接，求四边形的面积；
如图，连接正方形的对角线，若点在上，点在上，且，请直接写出的最小值_____________________．
【答案】解：实数，使式子成立，
，
，，
，；
取的中点，连接，
，
，
，
，为的中点，，
，，
，
，
是正方形外角的平分线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
延长，并在延长线上截取，连接，
四边形是正方形，
，，
≌，
，，，
由知，
为等腰直角三角形，
，
，
，
≌，
，，，
，
，
，
，
同理可得，
，
又，
设，则，
，
，
在中，，
解得，
，
．

【解析】【分析】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由算术平方根的意义可得出，，则可得出答案；
取的中点，连接，证明≌，由全等三角形的性质可得出；
延长，并在延长线上截取，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，，，证明≌，得出，同理可得，设，则，由勾股定理得出，解得，则可求出答案；
在外角平分线上取点，使，证明≌，得出，当，，三点共线时，值最小，即为的长，过点作轴于点，由勾股定理求出，则可得出答案．
【解答】
解：见答案；
见答案；
见答案；
在外角平分线上取点，使，
，
，
≌，
，
，
当，，三点共线时，值最小，即为的长，
过点作轴于点，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，
的最小值为．
7.本小题分
【课本再现】
如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证：提示：取的中点，连接 证明过程如下：取边中点，连接在正方形中， 是边的中点，是边的中点， ， ． 是正方形外角的平分线， ． 又， ， ， ， ．
【问题解决】
如图，四边形是正方形，是边的任一点，，交正方形外角的平分线于点，结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由；
【拓展探究】
在等边中，为边上一点，为延长线上一点，过点作，交的平分线于点．
如图，当点在边的中点位置时，猜想与的数量关系：________；
如图，若把条件“是边的中点”改为“为上任意一点”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】证明：如图，在上截取，连接，
四边形是正方形，
，，
，，
，
是正方形的外角平分线，
，
．
，
，
．
，，
，
在和中，
，
≌，
；
理由：取的中点，连接，如图所示：
为等边三角形，，为中点，
，且平分，，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
在和中，
，
始终有，
理由如下：在上取点，使，连接，如图所示：
是等边三角形，
，．
，
是等边三角形，
．
．
．
．
，
，
在和中，
．
．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
8.本小题分
综合探究
【课本再现】如图，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证：．
证明：取边的中点，连接．
四边形是正方形，，．
是边的中点，是边的中点，
，．
____________．
是正方形外角的平分线，．
______，
，．
又，．
又，，
______填判定方法．
．
请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上．
【问题解决】如图，四边形是正方形，是边上任意一点不与点，重合，，且交正方形外角的平分线于点，则与是否仍然相等？请说明理由．
【拓展探究】如图，四边形是正方形，是射线上任意一点不与点，重合，，且交正方形外角的平分线于点若，，求的长．
【答案】(1)解：45 135 135
(2)与仍然相等.理由如下：
如答图，在边上截取，连接.∵四边形是正方形，
∴，.∵，
∴，，即.
∴.
∵是正方形外角的平分线，∴. ∴.
∵，∴.又，∴.
在和中，∴.∴.

(3)分以下两种情况讨论：①如答图3，当点在边上时，
∵四边形是正方形，∴，.∴.
由勾股定理，得.由（2）可知，.∴.
②如答图4，当点在的延长线上时，连接，过点作，交的延长线于点，在上截取，连接.
同（2）可得.∴.
∵四边形是正方形，∴，.∴.
由勾股定理，得.
∴.综上所述，的长为5或.

【解析】 略
略
略
9.本小题分
王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题：
【课本再现】
人教版八年级下册． 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证：提示：取的中点，连接
取边中点，连接，证明如下：
在正方形中
是边的中点，是边的中点

是正方形外角的平分线
又
填写全等的理由
解决完这个问题后，王老师问同学们，若点是边任意一点会如何呢因此导出了下面的问题：
【问题解决】
如图，四边形是正方形，点是边的一点，，交正方形外角的平分线于点与是否仍然相等，请给出你的证明．
【拓展探究】
如图，四边形是正方形，点是直线上一点，，交正方形外角的平分线于点若，，直接写出的长．
【答案】解：【课本再现】
；或“角边角”；
【问题解决】
，理由如下：
如图：在上取点，使得，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
是正方形外角的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
【拓展探究】
或．
【解析】【分析】
本题考查正方形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，邻补角，等腰直角三角形判定与性质等知识点，注意分类讨论思想的应用．
利用等腰直角三角形的判定与性质结合邻补角可求出为，根据推出的条件可知判定全等的依据是．
在上取点，使得，连接，利用正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质结合邻补角可求出为，根据角平分线结合角的和差关系可推出，即，根据可推出，所以，进而利用判定，所以．
分情况讨论：当点在边上时，根据线段的和差可得出，根据勾股定理可得出；当点是直线上的一点时，根据线段的和差可得出，由勾股定理得 ，
【解答】
解：，，
为等腰直角三角形，
，
，
根据推出的条件可知判定全等的依据是，
故答案为：；或“角边角”；
见答案；
或，理由如下：
分两种情况：当点在边上时，如图：
四边形是正方形，
，，
，
由勾股定理得，
由知；
当点是直线上的一点时，如图：
四边形是正方形，
，，
，
由勾股定理得 ，
由知，
综上所述：的长为或．
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正方形中截长补短专题
一、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
【问题原型】人教版教材八年级下册第页有这样一道题：
如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证：请你完成这一问题的证明过程．
【问题应用】
小红在老师的启发下对题目进行了探索，发现：当原题中的“中点”改为“直线上任意一点两点除外时”，结论都能成立．现请你证明下面这种情况：
如图，四边形是正方形，点为反向延长线上一点，，且交正方形外角的平分线所在直线于点，求证：．
【拓展迁移】
如图，在正方形中，，为边上一动点点，不重合，以为直角边在上方作等腰直角三角形，，连接则在点的运动过程中，周长的最小值为______．
2.本小题分
四边形是正方形，点为反向延长线上一点，，且交正方形外角的平分线所在直线于点，求证：．
3.本小题分
【探究与证明】数学课上，老师出示了如下问题：如图，四边形是正方形，点是边上任意一点、两点除外，过点作交于点．
求证：，请你借助图完成证明
【特例探究】
在同学们做出了的解答之后，老师将题目修改成：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点，求证：．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：如图，取的中点，连接，则，易证，所以请你借助图按照小明的思路写出证明过程
【拓展探索】
在的基础上，同学们作了进一步的探究：在老师的启发下，小华对题目进行研究发现：把条件“点是边的中点”改为“点是直线上任意一点、两点除外”，结论仍成立现请你证明下面这种情况：
如图，四边形是正方形，点为反向延长线上一点，，且交正方形外角的平分线所在直线于点求证：．
4.本小题分
若将正方形放置在平面直角坐标系中，与原点重合，点的坐标为，点的坐标为，并且实数，使式子成立．
直接写出点、的坐标
，且交正方形外角的平分线于点．
如图，求证
如图，连接交于点，作交于点，作交于点。连接，求四边形的面积
如图，连接正方形的对角线，若点在上，点在上，且，请直接写出的最小值 ．
5.本小题分
同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证：书中的提示是：取的中点，连接，这样易证≌后得到在此基础上，请同学们探究以下问题：
如图，点是边上除点、外的任意一点，其它条件不变，的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；
如图，点是的延长线上除点外的任意一点，其他条件不变，的结论仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
6.本小题分
将正方形放置在平面直角坐标系中，与原点重合，点的坐标为，点的坐标为，并且实数，使式子成立，
直接写出点、的坐标；
，且交正方形外角的平分线于点，
如图，求证；
如图，连接交于点，作交于点，作交于点，连接，求四边形的面积；
如图，连接正方形的对角线，若点在上，点在上，且，请直接写出的最小值_____________________．
7.本小题分
【课本再现】
如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证：提示：取的中点，连接 证明过程如下：取边中点，连接在正方形中， 是边的中点，是边的中点， ， ． 是正方形外角的平分线， ． 又， ， ， ， ．
【问题解决】
如图，四边形是正方形，是边的任一点，，交正方形外角的平分线于点，结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由；
【拓展探究】
在等边中，为边上一点，为延长线上一点，过点作，交的平分线于点．
如图，当点在边的中点位置时，猜想与的数量关系：________；
如图，若把条件“是边的中点”改为“为上任意一点”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由．
8.本小题分
综合探究
【课本再现】如图，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证：．
证明：取边的中点，连接．
四边形是正方形，，．
是边的中点，是边的中点，
，．
____________．
是正方形外角的平分线，．
______，
，．
又，．
又，，
______填判定方法．
．
请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上．
【问题解决】如图，四边形是正方形，是边上任意一点不与点，重合，，且交正方形外角的平分线于点，则与是否仍然相等？请说明理由．
【拓展探究】如图，四边形是正方形，是射线上任意一点不与点，重合，，且交正方形外角的平分线于点若，，求的长．
9.本小题分
王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题：
【课本再现】
人教版八年级下册． 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证：提示：取的中点，连接
取边中点，连接，证明如下：
在正方形中
是边的中点，是边的中点

是正方形外角的平分线
又
填写全等的理由
解决完这个问题后，王老师问同学们，若点是边任意一点会如何呢因此导出了下面的问题：
【问题解决】
如图，四边形是正方形，点是边的一点，，交正方形外角的平分线于点与是否仍然相等，请给出你的证明．
【拓展探究】
如图，四边形是正方形，点是直线上一点，，交正方形外角的平分线于点若，，直接写出的长．
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