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突破01【相交线与平行线】期末考点讲义（14大核心题型精析+实战练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期
重点知识◆梳理
知识点01：相交线
【高频考点精讲】
1.对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：
图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2
邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180°
【易错点剖析】
⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
2.垂线及性质、距离
（1）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
【易错点剖析】
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.
（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.
【易错点剖析】
垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
知识点02：平行线
【高频考点精讲】
1．平行线判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
3．两条平行线间的距离
如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.
【易错点剖析】
（1）两条平行线之间的距离处处相等.
（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.
（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.
知识点03：命题及平移
【高频考点精讲】
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.
2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
要点诠释：平移的性质：
（1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
核心题型◆归纳
题型1.相交线 题型2.对顶角、邻补角
题型3.垂线 题型4.垂线段最短
题型5.点到直线的距离 题型6.同位角、内错角、同旁内角
题型7.平行线 题型8.平行公理及推论
题型9.平行线的判定 题型10.平行线的性质
题型11.平行线的判定与性质 题型12.生活中的平移现象
题型13.平移的性质 题型14.作图-平移变换
实战演练
题型解析◆精准备考
题型1：相交线
【典例精讲】同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（　　）
A．0个或1个 B．1个或2个
C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
题型2：对顶角、邻补角
【典例精讲】如图，下面的说法正确的是（　　）
A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O
C．∠1可以表示成∠AOB或∠O D．射线OA和射线AO表示同一条射线
题型3：垂线
【典例精讲】如图，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝40°，则∠BOE的度数是 　°．
题型4：垂线段最短
【典例精讲】如图，从A到B有4条路径，最短的路径是③，理由是（　　）
A．直线最短 B．两点之间线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
题型5：点到直线的距离
【典例精讲】如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝3m，AC＝5m，则点A到DE的距离可能为（　　）
A．5m B．4m C．3m D．2m
题型6：同位角、内错角、同旁内角
【典例精讲】以下说法中：
（1）同角或等角的余角相等；
（2）两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等；
（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型7：平行线
【典例精讲】（多选）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与直线l平行，AM∥CB，CF⊥l，∠BCD＝60°，∠BAC＝46°，∠CBD＝50°，CF＝24寸，下列说法正确的是（　　）
A．∠MAC＝72° B．∠EBD＝130°
C．CD的长为24寸 D．车轮周长为48π寸
题型8：平行公理及推论
【典例精讲】下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是　 　（填序号）．
题型9：平行线的判定
【典例精讲】如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2．
（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，当∠ADC＝120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；
（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC＝∠ADH．
题型10：平行线的性质
【典例精讲】如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之与BA′重合，折痕为BD，若∠ABC＝56°，则∠E′BD的度数是 　 　°．
题型11：平行线的判定与性质
【典例精讲】综合与探究
某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线a∥c，则b∥c．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题．
已知直线AB∥CD，点E在AB，CD之间，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ．
（1）如图1，作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，∠EPF＝3∠BPF，∠EQF＝3∠DQF，求出∠F与∠E之间的数量关系；
（3）如图3，直接写出∠1，∠2，∠E，∠F，∠G之间的数量关系：　 　．
题型12：生活中的平移现象
【典例精讲】春天到了，为美化环境，鸡西市儿童公园在一块长方形的空地上修两条宽一米的小路，其余部分种上不同的花卉，测得数据如图所示，求种花的面积和为 　 　．
题型13：平移的性质
【典例精讲】如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝3cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（0＜a＜5），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 　 cm．
题型14：作图-平移变换
【典例精讲】如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论：
①AD∥BE；②∠B＝∠ADE；③DE⊥AC；④BE＝AD，
其中正确的有 　 　．
实战演练
一、单选题
1．如图，下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，错误的有（ ）
①两点确定一条直线；
②如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；
③如果两个角相加等于180°，那么这两个角互余；
④如果两条直线没有公共点，那么这两条直线一定平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列四种说法中，正确说法的个数是（ ）
①若，则； ②是三次二项式
③垂直于同一条直线的两条直线平行； ④一个有理数不是整数就是分数
A．4 B．3 C．2 D．1
4．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（ ）
A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行
5．如图，下列说法正确的是（ ）

A．与是同位角 B．与是同旁内角
C．与是内错角 D．与是同位角
6．如图，下列说法错误的是（ ）
A．与是内错角 B．与是同位角
C．与是同旁内角 D．与不是同旁内角
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．直角都相等 B．若，则 C．相等的角是对顶角 D．同位角相等
8．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、CE，若△ACD的面积为6，则△BCE的面积为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．3
9．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，长方形的长，宽，其中，将这个长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到长方形，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法：（1）经过两点有且只有一条直线；（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）在立体空间里，垂直于同一条直线的两条直线平行；（5）周角是一条射线，平角是一条直线．其中正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
12．如图，，点C在上，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在四边形中，．若，则的度数为________．
14．学行线后，小强同学想出了“过直线外一点画一条已知直线的平行线”的新方法，他的作图步骤如图所示．老师说小强的作图方法是正确的，其中能够说明两条直线平行的依据是___________________．
15．如图，将直角三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置．若，，平移距离为6，则阴影部分面积为_________．
16．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把三角形先向右平移格，再向下平移格，就能与三角形拼合成一个四边形，那么的值为_________．
三、解答题
17．综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．
(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
18．三角形ABC在网格（每个小方格的边长均为1个单位长度）中的位置如图所示，请根据下列提示完成作图：将三角形ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到三角形，试画出三角形．
19．填写推理理由，将过程补充完整：
如图，已知于点D，于点F，AD平分．
求证：．
证明：，（已知），
（垂直的定义），
________（________________），
________（________________），
________（________________）．
又平分（已知），
= ，
（等量代换）．
20．如图，直线AB，CD相交于点O，，点O为垂足，OF平分，且，求的度数．
21．已知直线，OF平分且，，求的度数．
22．已知的两边与的两边分别平行，即，，试探究：
(1)如图①，与的关系是________；
(2)如图②，写出与的关系，并说明理由；
(3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题．
23．如图，，点M，N分别在AB，CD上，点P，Q分别在，的内部，连接MP，PQ，QN，NQ平分．
(1)若，求的大小；
(2)若，求证：MP平分．
24．【问题背景】在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．
【实践操作】
（1）小明将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，已知，，且，则的度数为________；
（2）如图②，小红将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得，，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由；
（3）现将三角板ABC按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由．
试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
突破01【相交线与平行线】期末考点讲义（14大核心题型精析+实战练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期
重点知识◆梳理
知识点01：相交线
【高频考点精讲】
1.对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：
图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2
邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180°
【易错点剖析】
⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
2.垂线及性质、距离
（1）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
【易错点剖析】
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.
（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.
【易错点剖析】
垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
知识点02：平行线
【高频考点精讲】
1．平行线判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
3．两条平行线间的距离
如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.
【易错点剖析】
（1）两条平行线之间的距离处处相等.
（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.
（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.
知识点03：命题及平移
【高频考点精讲】
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.
2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
要点诠释：平移的性质：
（1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
核心题型◆归纳
题型1.相交线 题型2.对顶角、邻补角
题型3.垂线 题型4.垂线段最短
题型5.点到直线的距离 题型6.同位角、内错角、同旁内角
题型7.平行线 题型8.平行公理及推论
题型9.平行线的判定 题型10.平行线的性质
题型11.平行线的判定与性质 题型12.生活中的平移现象
题型13.平移的性质 题型14.作图-平移变换
实战演练
题型解析◆精准备考
题型1：相交线
【典例精讲】（2023春 攸县期末）同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（　　）
A．0个或1个 B．1个或2个
C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：
①三条直线互相平行，有0个交点；
②一条直线与两平行线相交，有2个交点；
③三条直线都不平行，有1个或3个交点；
所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．
故选：D．
题型2：对顶角、邻补角
【典例精讲】（2023秋 关岭县期末）如图，下面的说法正确的是（　　）
A．点P在直线m上
B．直线m和n相交于点O
C．∠1可以表示成∠AOB或∠O
D．射线OA和射线AO表示同一条射线
解：A．点P在直线m外，该选项错误；
B．直线m和n相交于点O，该选项正确；
C．∠1可以表示成∠AOB，该选项错误；
D．射线OA和射线AO表示不同射线，该选项错误；
故选：B．
题型3：垂线
【典例精讲】（2022秋 北林区校级期末）如图，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝40°，则∠BOE的度数是 　50　°．
解：∵OE⊥CD于O，
∴∠COE＝90°．
∴∠BOE＝180°﹣（∠AOC+∠COE）＝180°﹣（40°+90°）＝50°．
故答案为：50．
重点考向4：垂线段最短
【典例精讲】（2023春 文山州期末）如图，从A到B有4条路径，最短的路径是③，理由是（　　）
A．直线最短 B．两点之间线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
解：从A到B有4条路径，最短的路径是③，理由是两点之间，线段最短．
故选：B．
题型5：点到直线的距离
【典例精讲】（2023春 唐县期末）如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝3m，AC＝5m，则点A到DE的距离可能为（　　）
A．5m B．4m C．3m D．2m
解：∵AB，AC是点A到DE的斜线段，表示点A到DE的距离的线段是垂线段，
根据垂线性质：垂线段最短，
∴A到DE的距离小于AB，
∵AB＝3，
∴A到DE的距离可能为2，
故选：D．
题型6：同位角、内错角、同旁内角
【典例精讲】（2023春 惠城区校级期中）以下说法中：
（1）同角或等角的余角相等；
（2）两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等；
（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：同角或等角的余角相等，则（1）正确；
两条平行的直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，则（2）错误；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故（3）正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故（4）错误；
正确的有2个．
故选：B．
题型7：平行线
【典例精讲】（多选）（2023春 潍城区期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与直线l平行，AM∥CB，CF⊥l，∠BCD＝60°，∠BAC＝46°，∠CBD＝50°，CF＝24寸，下列说法正确的是（　　）
A．∠MAC＝72° B．∠EBD＝130°
C．CD的长为24寸 D．车轮周长为48π寸
【规范解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠CBA＝60°，
∵∠BAC＝46°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CBA﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣46°＝74°，故A选项不符合题意；
∠EBD＝180°﹣∠CBD＝180°﹣50°＝130°，故B选项符合题意；
CD的长度无法计算，故C选项不符合题意；
∵车轮的圆的半径为CF的长度，即24寸，
∴车轮的周长为：2π×24＝48π（寸），故D选项符合题意，
故选：BD．
题型8：平行公理及推论
【典例精讲】（2018春 莫旗期末）下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是　①②③　（填序号）．
解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误；
∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误；
∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误；
∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确；
故答案为：①②③．
题型9：平行线的判定
【典例精讲】（2023秋 萧县期末）如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2．
（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，当∠ADC＝120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；
（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC＝∠ADH．
解：（1）如图，∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠BAC，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BAC，
∴CD∥AB．
（2）当∠ADC＝120°时，∠1＝∠2＝30°，
∵点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，
∴∠2是△CEF的外角，
∴∠E+∠F＝∠2＝30°．
（3）∵DH∥BC，AC⊥BC，
∴DH⊥AC，
又∵∠1＝∠2，
∴∠ADH＝∠CDH，
∴当∠GDC＝∠ADH时，∠CDG＝∠CDH＝∠ADH，
∴∠CDH＝×180°＝60°．
故当∠CDH为60度时，∠GDC＝∠ADH．
题型10：平行线的性质
【典例精讲】（2023秋 南阳期末）如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之与BA′重合，折痕为BD，若∠ABC＝56°，则∠E′BD的度数是 　34　°．
解：∵根据折叠得出∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，
又∵∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°，
∴∠ABC+∠E′BD＝90°，
∵∠ABC＝56°，
∴∠E′BD＝34°．
故答案为：34．
题型11：平行线的判定与性质
【典例精讲】（2023秋 夏县期末）综合与探究
某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线a∥c，则b∥c．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题．
已知直线AB∥CD，点E在AB，CD之间，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ．
（1）如图1，作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，∠EPF＝3∠BPF，∠EQF＝3∠DQF，求出∠F与∠E之间的数量关系；
（3）如图3，直接写出∠1，∠2，∠E，∠F，∠G之间的数量关系：　∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G　．
解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE，
理由：∵EH∥AB，AB∥CD，
∴EH∥CD，
∵AB∥EH，
∴∠APE＝∠PEH，
∵CD∥EH，
∴∠CQE＝∠HEQ，
∵∠PEQ＝∠PEH+∠HEQ，
∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE；
（2）4∠F+∠E＝360°，
理由：由（1）可得：∠E＝∠APE+∠CQE，∠F＝∠BPF+∠DQF，
∵∠EPF＝3∠BPF，∠EQF＝3∠DQF，
∴∠APE＝180°﹣∠EPF﹣∠BPF＝180°﹣4∠BPF，∠CQE＝180°﹣∠EQF﹣∠DQF＝180°﹣4∠DQF，
∴∠E＝∠APE+∠CQE
＝180°﹣4∠BPF+180°﹣4∠DQF
＝360°﹣4（∠BPF+∠DQF）
＝360°﹣4∠F，
∴4∠F+∠E＝360°；
（3）∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G，
理由：过点F作FH∥AB，
由（1）可得：∠E＝∠1+∠EFH，∠G＝∠2+∠GFH，
∴∠E+∠G＝∠1+∠EFH+∠GFH+∠2
＝∠1+∠EFG+∠2，
∴∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G，
故答案为：∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G．
题型12：生活中的平移现象
【典例精讲】（2023春 鸡西期中）春天到了，为美化环境，鸡西市儿童公园在一块长方形的空地上修两条宽一米的小路，其余部分种上不同的花卉，测得数据如图所示，求种花的面积和为 　8　．
解：种花的面积和为3×5﹣3×1﹣（5﹣1）×1＝8．
故答案为：8．
题型13：平移的性质
【典例精讲】（2023秋 宁阳县期末）如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝3cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（0＜a＜5），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 　12　cm．
解：由平移的性质可知：DE＝AB＝4cm，AD＝BE＝a cm，
∴EC＝（5﹣a）cm，
∴阴影部分的周长＝AD+EC+AC+DE＝a+（5﹣a）+3+4＝12（cm），
故答案为：12．
题型14：作图-平移变换
【典例精讲】（2023春 海沧区校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论：
①AD∥BE；②∠B＝∠ADE；③DE⊥AC；④BE＝AD，
其中正确的有 　①②③④　．
解：∵三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，
∴AD∥BE，BE＝AD，故①④正确；
∵AD∥BE，BE＝AD，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠ADE，故②正确；
∵∠BAC＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴ED⊥DF，
∵AC∥DF，
∴DE⊥AC，故③正确．
故答案为：①②③④．
实战演练
一、单选题
1．如图，下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
利用平行线的判定方法对各选项逐项分析判断即可．
【详解】解：A、，不能判定，故选项符合题意；
B、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意；
C、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意；
D、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意；
故选：A．
2．下列说法中，错误的有（ ）
①两点确定一条直线；
②如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；
③如果两个角相加等于180°，那么这两个角互余；
④如果两条直线没有公共点，那么这两条直线一定平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由直线的定义：两点确定一条直线；补角定义：如果两角和为180度，那么这两个角互补；余角定义：如果两角和为90度，那么这两个角互余；平面图形和立体图形的特征判断；
【详解】解：①正确；
②同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故错误；
③如果两个角相加等于180°，那么这两个角互补，故错误；
④同一平面内，如果两条直线没有公共点，那么这两条直线一定平行，故错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平面图形的性质和特征，平行的性质和判定，补角余角的定义，熟记定义是解答本题关键．
3．下列四种说法中，正确说法的个数是（ ）
①若，则；
②是三次二项式
③垂直于同一条直线的两条直线平行；
④一个有理数不是整数就是分数
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质，多项式，平行线公理，有理数的分类，逐项判断即可求解．
【详解】解：①若，则，故①错误；
②是三次二项式，故②正确；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故③错误；
④一个有理数不是整数就是分数，故④正确；
故选：C
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，多项式，平行线公理，有理数的分类，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（ ）
A．一定不平行 B．一定平行
C．一定互相垂直 D．可能相交或平行
【答案】D
【分析】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交．
根据关键语句“若与不平行， 与不平行，”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案．
【详解】根据题意可得图形：
根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行，
故选：D．
5．如图，下列说法正确的是（ ）

A．与是同位角 B．与是同旁内角
C．与是内错角 D．与是同位角
【答案】A
【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，根据同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可．
【详解】解：A选项，与是同位角，故该选项符合题意；
B选项，与是内错角，故该选项不符合题意；
C选项，与是同旁内角，故该选项不符合题意；
D选项，与不是同位角，故该选项不符合题意；
故选：A．
6．如图，下列说法错误的是（ ）
A．与是内错角 B．与是同位角
C．与是同旁内角 D．与不是同旁内角
【答案】D
【分析】此题主要考查了三线八角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析可得答案．
【详解】解：A、与是内错角，原说法正确，不符合题意；
B、与是同位角，原说法正确，不符合题意；
C、与是同旁内角，原说法正确，不符合题意；
D、与是同旁内角，原说法错误，符合题意；
故选：D．
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．直角都相等 B．若，则 C．相等的角是对顶角 D．同位角相等
【答案】A
【分析】根据直角定义，平方根的定义，对顶角定义，同位角定义直接逐个判断即可得到答案．
【详解】解：根据等于的角叫直角得到A是真命题，符合题意；
根据平方根定义可得若，则，故B是假命题，不符合题意；
根据对顶角的定义可得相等的角不一定是对顶角，故C是假命题，不符合题意；
根据同位角的定义可得同位角不一定相等，故D是假命题，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查命题真假判断，解题的关键是熟练掌握直角定义，平方根的定义，对顶角定义，同位角定义．
8．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、CE，若△ACD的面积为6，则△BCE的面积为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．3
【答案】D
【分析】根据平移的性质可得AB=BD，推出再由平行线间同底三角形的面积关系求解即可．
【详解】解：∵△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，
∴AB＝BD，
∴＝＝3，
∵DEBC，
∴＝3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平移，平行线，熟练掌握平移的性质，平行线的判定和平行线间同底三角形面积性质，是解题的关键．
9．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平行线的性质推出，，由三角形内角和定理求出的度数，即可得到的度数. 本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出，．
【详解】解: ，
，
，
，
，
．
故选：．
10．如图，长方形的长，宽，其中，将这个长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到长方形，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘法的应用、图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，再根据多项式乘法的法则计算即可得．
【详解】解：∵将长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∴长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，
则阴影部分的面积是
，
故选：B．
11．下列说法：（1）经过两点有且只有一条直线；（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）在立体空间里，垂直于同一条直线的两条直线平行；（5）周角是一条射线，平角是一条直线．其中正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义等，根据相关知识进行判断即可.
【详解】解：（1）经过两点有且只有一条直线，选项说法正确；
（2）点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离，故选项说法错误；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项说法正确；
（4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故选项说法错误；
（5）角是由一个公共端点发出的两条射线组成，即两射线所在的直线重合，也不能认为是一条射线或直线，故说法错误．
综上可知，（1）（3）正确，
故选：B
12．如图，，点C在上，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据平行线的性质得到，由角平分线得到，再由平行线的性质得到即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
二、填空题
13．如图，在四边形中，．若，则的度数为________．
【答案】
【解析】略
14．学行线后，小强同学想出了“过直线外一点画一条已知直线的平行线”的新方法，他的作图步骤如图所示．老师说小强的作图方法是正确的，其中能够说明两条直线平行的依据是___________________．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】略
15．如图，将直角三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置．若，，平移距离为6，则阴影部分面积为_________．
【答案】48
【详解】由平移的性质可知，，，．，．
16．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把三角形先向右平移格，再向下平移格，就能与三角形拼合成一个四边形，那么的值为_________．
【答案】4或5或6
【详解】①当三角形平移到如图①所示的位置时，，，；
②当三角形平移到如图②所示的位置时，，，；
③当三角形平移到如图③所示的位置时，，，．
综上所述，的值为4或5或6．
三、解答题
17．综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．
(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
【答案】(1)A，C
(2)建造绿化地的费用为11400元
(3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答．
（2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答；
（3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论．
【详解】（1）解：连接，
施工人员测量的是A，C两点之间的距离，
∵
∴，
∴，
即当测量A，C两点之间的距离为
∴满足勾股逆定理得；
∴，
故答案为：A，C；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴四边形的面积，
∴建造绿化地的费用（元）；
（3）解：∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元），
方案二：铺设管道所花的费用（元），
∵
∴铺设管道所需的最少费用为700元．
18．三角形ABC在网格（每个小方格的边长均为1个单位长度）中的位置如图所示，请根据下列提示完成作图：将三角形ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到三角形，试画出三角形．
【答案】见解析
【详解】解：如图，三角形即为所求．
19．填写推理理由，将过程补充完整：
如图，已知于点D，于点F，AD平分．
求证：．
证明：，（已知），
（垂直的定义），
________（________________），
________（________________），
________（________________）．
又平分（已知），
= ，
（等量代换）．
【答案】；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；；
【详解】解： 同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同位角相等

20．如图，直线AB，CD相交于点O，，点O为垂足，OF平分，且，求的度数．
【答案】
【详解】解：，．
设，．
，
，解得，
，．
OF平分，．
，
．
21．已知直线，OF平分且，，求的度数．
【答案】
【详解】解：，，
．
，，．
OF平分，，
．
22．已知的两边与的两边分别平行，即，，试探究：
(1)如图①，与的关系是________；
(2)如图②，写出与的关系，并说明理由；
(3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)见解析
【详解】解：（1）如图①，，．，，．
（2）．
理由如下：如图②，，．
，，．
（3）归纳：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
23．如图，，点M，N分别在AB，CD上，点P，Q分别在，的内部，连接MP，PQ，QN，NQ平分．
(1)若，求的大小；
(2)若，求证：MP平分．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）解：，，
．
又平分，．
（2）证明：，，．
平分，．
又，，
， MP平分．
24．【问题背景】在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．
【实践操作】
（1）小明将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，已知，，且，则的度数为________；
（2）如图②，小红将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得，，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由；
（3）现将三角板ABC按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由．
【答案】（1）75（2），理由见解析（3），理由见解析
【详解】解：（1），，
，
．
故答案为．
（2）．
理由如下：，，
．
，，
，
，．
（3）．
理由如下：，．
，
，．
又，．
试卷第1页，共3页
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