资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
突破02【实数】期末考点讲义（11大核心题型精析+实战练习）
2025-2026学年人教版数学七年级下学期
重点知识◆梳理
知识点01：平方根和立方根
【高频考点精讲】
类型 项目 平方根 立方根
被开方数 非负数 任意实数
符号表示
性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；
重要结论
知识点02：实数
【高频考点精讲】
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
【易错点剖析】
（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
　　非负数具有以下性质：
　　（1）非负数有最小值零；
　　（2）有限个非负数之和仍是非负数；
　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
核心题型◆归纳
题型1.平方根 题型2.算术平方根
题型3.非负数的性质：算术平方根 题型4.立方根
题型5.无理数 题型6.实数
题型7.实数的性质 题型8.实数与数轴
题型9.实数大小比较 题型10.估算无理数的大小
题型11.实数的运算 实战演练
题型解析◆精准备考
题型1：平方根
【典例精讲】下列各数中，没有平方根的数的是（　　）
A．﹣4 B．0 C．0.5 D．2
【变式训练1-1】已知正数m有两个平方根，分别是a+3与2a﹣15．①求a的值；②求这个正数m．
题型2：算术平方根
【典例精讲】有一个数值转换器，原理如图．当输入的x＝16时，输出的y等于 　　．
【变式训练2-1】小明制作了一张面积为256cm2的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2．
（1）求长方形信封的长和宽；
（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
题型3：非负数的性质：算术平方根
【典例精讲】若a，b为实数，且，则（ab）2024的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【变式训练3-1】已知x，y是实数，+y2﹣6y+9＝0，则y2x的值是　 　．
题型4：立方根
【典例精讲】下列说法正确的是（　　）
A．﹣27的立方根是3 B．＝﹣5
C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2
【变式训练4-1】求下列各式中x的值：
（x﹣2）2＝169； （2）3（x﹣3）3﹣24＝0
题型5：无理数
【典例精讲】在实数，﹣2，2π，﹣3.14，中，无理数有 　 　个．
【变式训练5-1】如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
（1）当输入的x值为16时，求输出的y值；
（2）是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
（3）输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x＝　 ．
题型6：实数
【典例精讲】实数﹣1.414，﹣2，，3.142，，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，有理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练6-1】．把下列各数分别填入相应的集合中．
，，π，3.14，﹣，0，﹣5.12345…，﹣．
（1）有理数集合：{ }；
（2）无理数集合：{ 　 ；
（3）正实数集合：{ 　 }．
题型7：实数的性质
【典例精讲】﹣3的相反数是　 ．
【变式训练7-1】已知3a﹣2的立方根是﹣2，2a+b﹣1的算术平方根是2，c是﹣2的相反数．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a+b+c的平方根．
题型8：实数与数轴
【典例精讲】．如图，将数表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是　　．
【变式训练8-1】如图：
（1）已知点A、B表示两个实数﹣、，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标示出来；
（2）O为原点，求出O、A两点间的距离．
（3）求出A、B两点间的距离．
题型9：实数大小比较
【典例精讲】比较大小：6 　 　7（填＞，＜，＝）．
【变式训练9-1】已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b+c 　 0，a+b 　 　0，c﹣a 　 　0．
（2）化简﹣|﹣a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|．
题型10：估算无理数的大小
【典例精讲】设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则＝（　　）
A．32 B．46 C．64 D．65
【变式训练10-1】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数￡：m＜T＜n，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为（m，n），如1＜＜2，所以的麓外区间为（1，2）．
（1）无理数的“麓外区间”是 　；
（2）若b＝，求b的“麓外区间”；
（3）实数x，y，n满足，求n的算术平方根的“麓外区间”．
题型11：实数的运算
【典例精讲】在实数范围内定义运算“ ”：a b＝a（a﹣b）+b，若（﹣3） （x﹣1）＝9，则x的值是 　 　．
【变式训练11-1】计算：
； （2）．
实战演练
一、单选题
1．下列说法不正确的是(　　　)
A．的平方根是 B．的平方根是
C．的算术平方根是 D．是的一个平方根
2．的相反数的倒数是（ ）
A．1 B．-1 C．2021 D．-2021
3．对于两个实数，定义一种新的运算如下，，如：，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．在一列数，，，，，（相邻两个1之间的0的个数依次增加1个）中，无理数出现的频率为（　　）
A．0.9 B．0.5 C．0.3 D．0.1
5．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点对应的实数分别是，下列结论一定成立的是( )
A． B． C． D．
6．在与之间的整数是（ ）
A．，，0，1，2，3 B．，，0，1，2
C．，0，1，2 D．，0，1，2，3
7．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（ ）
①若，则或；②若，则；
③若，则；④关于的方程有无数个解．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在实数中，无理数的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．与最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．下列说法错误的是（　　）
A．a2与（﹣a）2相等 B．与互为相反数
C．与互为相反数 D．|a|与|﹣a|互为相反数
11．若x＜0，则等于(　　)
A．x B．2x C．0 D．﹣2x
12．对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若（n是整数），则；
③若，，，则所有可能的值为，，；
④方程的解为或．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
13．如图，直径为1个单位长度的圆从原点向左滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，点对应的数是 _______．
14．已知实数x，y满足，则的值为______．
15．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数4，则关于m的方程为______，______．
16．如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的面积是________．
三、解答题
17．计算：．
18．已知的立方根是4，求的平方根．
19．物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系是．有一个物体从离地高的气球上自由落下，到达地面需要多长时间？
20．已知实数x、y满足关系式．
(1)求x、y的值；
(2)判断是有理数还是无理数，并说明理由．
21．如图，这是一个数值转换器．
(1)当输入x的值为25时，输出______．
(2)是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在，请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由．
(3)小明输入了下面的几个备选数据中的某一个，结果转换器运行过程中显示“该操作无法运行”，请你判断输入x的值可能是哪一个数据？请说明理由．
备选数据：，，，．
(4)若小明输入了某个x的值后得到了，请你判断一下他输入x的值是否是唯一的？若不唯一，请你写出3个不同的数值．
22．对于任意一个四位自然数，若满足百位上的数字与十位上的数字之和等于千位上的数字与个位上的数字之差的两倍，则称这个数为“富贵数”．将“富贵数”的千位上的数字与个位上的数字交换位置，百位上的数字与十位上的数字交换位置，得到新数，记．如：满足，则是一个“富贵数”，．
(1)判断和是不是“富贵数”；
(2)证明：对任意一个“富贵数”，其都能被整除；
(3)已知某“富贵数”，满足条件（且均为整数）．记，若能被整除，求出所有满足条件的的值．
试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
突破02【实数】期末考点讲义（11大核心题型精析+实战练习）2025-2026学年人教版数学七年级下学期
重点知识◆梳理
知识点01：平方根和立方根
【高频考点精讲】
类型 项目 平方根 立方根
被开方数 非负数 任意实数
符号表示
性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；
重要结论
知识点02：实数
【高频考点精讲】
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
【易错点剖析】
（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
　　非负数具有以下性质：
　　（1）非负数有最小值零；
　　（2）有限个非负数之和仍是非负数；
　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
核心题型◆归纳
题型1.平方根 题型2.算术平方根
题型3.非负数的性质：算术平方根 题型4.立方根
题型5.无理数 题型6.实数
题型7.实数的性质 题型8.实数与数轴
题型9.实数大小比较 题型10.估算无理数的大小
题型11.实数的运算 实战演练
题型解析◆精准备考
题型1：平方根
【典例精讲】下列各数中，没有平方根的数的是（　　）
A．﹣4 B．0 C．0.5 D．2
解：负数没有平方根，非负数有平方根，则﹣4没有平方根，0，0.5，2都有平方根，
故选：A．
【变式训练1-1】已知正数m有两个平方根，分别是a+3与2a﹣15．①求a的值；②求这个正数m．
解：∵正数m有两个平方根，分别是a+3与2a﹣15，
∴a+3＝﹣（2a﹣15），
得，a＝4；
所以，m＝（a+3）2＝（4+3）2＝49；
题型2：算术平方根
【典例精讲】有一个数值转换器，原理如图．当输入的x＝16时，输出的y等于 　　．
解：第1次计算得，＝4，而4是有理数，
因此第2次计算得，＝2，而2是有理数，
因此第3次计算得，，是无理数，
故答案为：．
【变式训练2-1】小明制作了一张面积为256cm2的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2．
（1）求长方形信封的长和宽；
（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
解：（1）设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm，
由题意得3x 2x＝420，
∴，
∴，，
答：长方形信封的长为，宽为；
（2）面积为256cm2的正方形贺卡的边长是16cm，
∵70＞64，
∴，
∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
题型3：非负数的性质：算术平方根
【典例精讲】若a，b为实数，且，则（ab）2024的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
解：由题可知，，
则a+2＝0，b﹣＝0，
即a＝﹣2．b＝，
所以（ab）2024＝（﹣1）2024＝1．
故选：B．
【变式训练3-1】已知x，y是实数，+y2﹣6y+9＝0，则y2x的值是　9　．
解：∵+y2﹣6y+9＝0，
∴+（y﹣3）2＝0，
∴，
∴x＝1，y＝3，
则y2x＝32＝9，
故答案为：9．
题型4：立方根
【典例精讲】下列说法正确的是（　　）
A．﹣27的立方根是3 B．＝﹣5
C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2
解：A、﹣27的立方根是 3，故本选项错误；
B、y16＝4，故本选项错误；
C、1的平方根是±1，故本选项错误；
D、4的算术平方根是2，故本选项正确．
故选：D．
【变式训练4-1】求下列各式中x的值：
（1）（x﹣2）2＝169；
（2）3（x﹣3）3﹣24＝0．
解：（1）（x﹣2）2＝169
（x﹣2）2＝132
x﹣2＝±13
x＝15或﹣11；
（2）3（x﹣3）3﹣24＝0
3（x﹣3）3＝24
（x﹣3）3＝8
x﹣3＝2
x＝5．
重点考向05：无理数
【典例精讲】在实数，﹣2，2π，﹣3.14，中，无理数有 　2　个．
【变式训练5-1】如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
（1）当输入的x值为16时，求输出的y值；
（2）是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
（3）输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x＝　25或36或49或64　．
解：（1）＝4，
＝2，
则y＝；
（2）存在，当x＝0或1时，始终输不出y值，若输入负数，始终输不出y值，
综上所述，x＝0或1或负数．
（3）答案不唯一．x＝[（）2]2＝25或x＝[（）2]2＝36或x＝[（）2]2＝49或x＝[（）2]2＝64．
故答案为：25或36或49或64．
重点考向06：实数
【典例精讲】实数﹣1.414，﹣2，，3.142，，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，有理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：在实数﹣1.414，﹣2，，3.142，，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，有理数有﹣1.414，﹣2，，3.142，有理数的个数为4个．
故选：D．
【变式训练6-1】把下列各数分别填入相应的集合中．
，，π，3.14，﹣，0，﹣5.12345…，﹣．
（1）有理数集合：{ 　，，3.14，﹣，0　…}；
（2）无理数集合：{ 　π，﹣5.12345…，﹣　…}；
（3）正实数集合：{ 　，，π，3.14　…}．
解：（1）有理数集合：{，，3.14，﹣，0…}；
（2）无理数集合：{π，﹣5.12345…，﹣…}；
（3）正实数集合：{，，π，3.14…}；
故答案为：（1），，3.14，﹣，0；
（2）π，﹣5.12345…，﹣；
（3），，π，3.14．
重点考向07：实数的性质
【典例精讲】﹣3的相反数是　3﹣　．
解：﹣3的相反数是3﹣．
故答案为：3﹣．
【变式训练7-1】已知3a﹣2的立方根是﹣2，2a+b﹣1的算术平方根是2，c是﹣2的相反数．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a+b+c的平方根．
解：（1）∵3a﹣2的立方根是﹣2，
∴3a﹣2＝（﹣2）3＝﹣8，即a＝﹣2；
∵2a+b﹣1的算术平方根是2，
∴2a+b﹣1＝22＝4，即﹣4+b﹣1＝4，
∴b＝9；
∵c是﹣2的相反数，
∴c＝2，
∴a＝﹣2，b＝9，c＝2；
（2）∵a＝﹣2，b＝9，c＝2，
∴a+b＝c＝﹣2+9+2＝9，
∴a+b+c的平方根为±3．
重点考向08：实数与数轴
【典例精讲】如图，将数表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是　　．
解：由图可知，1＜被覆盖的数＜3，
∵﹣、、只有在此范围内，
∴被墨迹覆盖的数是．
故答案为：
【变式训练8-1】如图：
（1）已知点A、B表示两个实数﹣、，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标示出来；
（2）O为原点，求出O、A两点间的距离．
（3）求出A、B两点间的距离．
解：（1）如图；
（2）∵表示点A的数为﹣，表示点O的数为0，
∴OA＝0﹣（﹣）＝；
（3）∵表示点A的数为﹣，表示点B的数为，
∴AB＝﹣（﹣）＝+．
重点考向09：实数大小比较
【典例精讲】比较大小：6 　＞　7（填＞，＜，＝）．
解：，，
∵108＞98，
∴．
故答案为：＞．
【变式训练9-1】（2023秋 丹江口市期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b+c 　＜　0，a+b 　＜　0，c﹣a 　＞　0．
（2）化简﹣|﹣a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|．
解：（1）由数轴知：b＜a＜0＜c，|b|＞|c|，
∴b+c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0．
故答案为：＜，＜，＞．
（2）∵a＜0，b+c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0．
∴|﹣a|＝﹣a，|b+c|＝﹣（b+c）＝﹣b﹣c，|a+b|＝﹣（a+b）＝﹣a﹣b，|c﹣a|＝c﹣a．
∴原式＝﹣（﹣a）﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+（﹣b﹣c）
＝a．
重点考向10：估算无理数的大小
【典例精讲】设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则＝（　　）
A．32 B．46 C．64 D．65
解：∵1.52＝2.25，2.52＝6.25，3.52＝12.25，4.52＝20.25，[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），
∴；
；
；
；
，
∴
＝1×2+2×4+3×6+4×8+5
＝2+8+18+32+5
＝65，
故选：D．
【变式训练10-1】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数￡：m＜T＜n，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为（m，n），如1＜＜2，所以的麓外区间为（1，2）．
（1）无理数的“麓外区间”是 　（4，5）　；
（2）若b＝，求b的“麓外区间”；
（3）实数x，y，n满足，求n的算术平方根的“麓外区间”．
解：（1）∵4＜＜5，
∴的“麓外区间”是（4，5）；
故答案为：（4，5）；
（2）∵b＝，
∴a＝2，b＝﹣，
∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴b的“麓外区间”是（﹣3，﹣2）；
（3）∵x+y﹣41≥0，41﹣x﹣y≥0，
∴x+y﹣41＝0，
∴x+y＝41，
∵，
∴+＝0，
∴82+y﹣n＝0，123+y﹣2n＝0，
∴n＝41，
∵6＜＜7，
∴n的算术平方根的“麓外区间”是（6，7）．
重点考向11：实数的运算
【典例精讲】在实数范围内定义运算“ ”：a b＝a（a﹣b）+b，若（﹣3） （x﹣1）＝9，则x的值是 　1　．
解：由题得，（﹣3） [﹣3﹣（x﹣1）]+（x﹣1）＝9，
解得，x＝1．
故答案为：1．
．
【变式训练11-1】计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式＝﹣16×﹣（﹣2）××
＝﹣5﹣（﹣4）
＝﹣5+4
＝﹣1；
（2）原式＝9﹣3﹣（24×﹣24×+24×）
＝6﹣12+4﹣3
＝﹣5．
实战演练
一、单选题
1．下列说法不正确的是(　　　)
A．的平方根是 B．的平方根是
C．的算术平方根是 D．是的一个平方根
【答案】B
【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可求解.
【详解】解：A、的平方根是，故此选项正确；
B、的平方根是，故此选项不正确；
C、的算术平方根是，故此选项正确；
D、是的一个平方根，故此选项正确；
故选择：B
【点睛】此题主要考查平方根的性质，解题的关键是熟知平方根及算术平方根的性质.
2．的相反数的倒数是（ ）
A．1 B．-1 C．2021 D．-2021
【答案】C
【分析】根据相反数和倒数的概念求解即可．
【详解】解：∵的相反数为，的倒数为2021，
∴的相反数的倒数是2021，
故选：C．
【点睛】本题考查相反数和倒数，解答的关键是理解相反数和倒数概念：只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数．
3．对于两个实数，定义一种新的运算如下，，如：，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题干中提供的信息进行计算即可．
【详解】解：
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义实数运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根的求解方法．
4．在一列数，，，，，（相邻两个1之间的0的个数依次增加1个）中，无理数出现的频率为（　　）
A．0.9 B．0.5 C．0.3 D．0.1
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根、无理数，频率，根据算术平方根、无理数的定义（无限不循环小数叫做无理数）逐个判断即可得无理数个数，再根据频率频数总数即可求解．熟记无理数的概念是解题关键．
【详解】解：，
则无理数有，，（相邻两个1之间的0的个数依次增加1个），共3个，
∴无理数出现的频率为，
故选：B．
5．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点对应的实数分别是，下列结论一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是实数与数轴，由数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
A、，，，故选项A不符合题意；
B、，，故选项B不符合题意；
C、，，故选项C不符合题意；
D、，，故选项D符合题意；
故选：D．
6．在与之间的整数是（ ）
A．，，0，1，2，3 B．，，0，1，2
C．，0，1，2 D．，0，1，2，3
【答案】C
【分析】此题主要考查了无理数的估算．由，，由此即可确定与的取值范围，再根据取值范围即可求出符合条件的整数．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴在与之间的整数是，0，1，2．
故选：C．
7．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（ ）
①若，则或；②若，则；
③若，则；④关于的方程有无数个解．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】应用绝对值的几何意义进行判定即可得出答案．
【详解】解：①若，可得，则则或2023；所以①说法正确；
②若，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出；所以②说法正确；
③当时，则，所以③说法不正确；
④因为的几何意义是到数轴上表示的点与表示2的点的距离和等于3的点，即时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确．
故选：C．
【点睛】本题重要考查了数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的几何意义进行求解是解决本题的关键．
8．在实数中，无理数的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】∵在实数中，是无理数，其余的是有理数，
∴在上述6个数中无理数有2个.
故选B.
9．与最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】估算出的范围，即可得出与最接近的整数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵和中比较接近的是，
∴比较接近4，即更接近．
故选：C
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算出的取值范围是解题关键．
10．下列说法错误的是（　　）
A．a2与（﹣a）2相等 B．与互为相反数
C．与互为相反数 D．|a|与|﹣a|互为相反数
【答案】D
【分析】利用平方运算，立方根的化简和绝对值的意义，逐项判断得结论．
【详解】∵（﹣a）2＝a2，
∴选项A说法正确；
∵＝﹣a，＝a，
∴与互为相反数，故选项B说法正确；
∵＝﹣，
∴与互为相反数，故选项C说法正确；
∵|a|＝|﹣a|，
∴选项D说法错误．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，平方运算及立方根的化简．掌握立方根的化简和绝对值的意义是解决本题的关键．
11．若x＜0，则等于(　　)
A．x B．2x C．0 D．﹣2x
【答案】D
【分析】分别利用平方根、立方根的定义求解即可．
【详解】∵x＜0，
∴.
故答案为D.
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握这些定义是本题解题的关键.
12．对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若（n是整数），则；
③若，，，则所有可能的值为，，；
④方程的解为或．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键在于对定义的理解与运用．利用新定义的理解对上述①②③④进行判断即可；
【详解】①，，
，故①错误；
②，
，
则或，故②错误；
③，，
则所有可能的值为，，，故③正确；
④，
，
即，
，
，
，故④错误；
综上所述；只有一个正确，
故选：A
二、填空题
13．如图，直径为1个单位长度的圆从原点向左滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，点对应的数是 _______．
【答案】
【分析】本题考查了圆的滚动和数轴相结合，此题较灵活，但不难；关键把线段的长度转化为圆的周长．圆从滚动到在数轴上线段长即为一个圆周长度．
【详解】解：圆的直径，
周长，
，
点对应的数是，
故答案为：．
14．已知实数x，y满足，则的值为______．
【答案】16
【分析】此题主要考查了绝对值的性质以及算术平方根的性质．直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：，
，，
解得：，，
则，
故答案为：16．
15．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数4，则关于m的方程为______，______．
【答案】 或
【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，根据新定义的法则，列出方程，进行求解即可．掌握新定义的法则，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
整理，得：，
解得：或；
故答案为：，或．
16．如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的面积是________．
【答案】5
【分析】本题考查了方格中图形面积的计算，掌握用总面积减去空白部分面积求目标图形面积是解题的关键．
先算出整个方格纸的面积，再直接计算正方形周围空白部分的面积，用总面积减去空白面积，就能得到正方形的面积．
【详解】解：方格纸总面积是 ：
观察图形，正方形周围有个直角三角形，每个三角形的两条直角边分别是和，
单个三角形面积，个三角形的总面积是：
正方形面积方格纸总面积空白面积是：．
故答案为：．
三、解答题
17．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根以及有理数的混合运算；先计算算术平方根，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
18．已知的立方根是4，求的平方根．
【答案】
【分析】本题主要考查立方根的定义、平方根的定义，首先利用立方根的定义先求出x的值，代入求得的值，再利用平方根的定义求解．
【详解】解：由题意得，
解得，
，
的平方根为．
19．物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系是．有一个物体从离地高的气球上自由落下，到达地面需要多长时间？
【答案】物体从离地高的气球上自由落下，到达地面需要；
【分析】根据题意列出方程，根据算术平方根的概念解方程即可．
【详解】解：当时，
即，
解得：（舍），
答：物体从离地高的气球上自由落下，到达地面需要；
【点睛】本题考查的是算术平方根的应用，掌握算术平方根的概念是解题的关键．
20．已知实数x、y满足关系式．
(1)求x、y的值；
(2)判断是有理数还是无理数，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解答本题的关键是熟练掌握非负数的性质、有理数与无理数的定义．
（1）根据非负数的性质可得，据此即可求出x与y的值；
（2）将x与y的值代入待求式进行计算，然后利用有理数与无理数的定义进行解答即可．
【详解】（1）解：依题意得：，则，
，
；
（2）解：当时，，是有理数，
当时，，是无理数．
21．如图，这是一个数值转换器．
(1)当输入x的值为25时，输出______．
(2)是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在，请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由．
(3)小明输入了下面的几个备选数据中的某一个，结果转换器运行过程中显示“该操作无法运行”，请你判断输入x的值可能是哪一个数据？请说明理由．
备选数据：，，，．
(4)若小明输入了某个x的值后得到了，请你判断一下他输入x的值是否是唯一的？若不唯一，请你写出3个不同的数值．
【答案】(1)
(2)存在，x的值是0或1
(3)负数没有算术平方根，故输入x的值为
(4)不唯一，x可为2或4或16
【分析】本题考查了求算术平方根、算术平方根有意义的条件，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据运算规则计算即可得解；
（2）根据0和1的算术平方根分别是0和1，一定是有理数，即可得解；
（3）根据负数没有算术平方根即可得解；
（4）根据运算法则，进行逆运算即可得解．
【详解】（1）解：当输入x的值为25时，，则；
（2）解：存在
0和1的算术平方根分别是0和1，一定是有理数，
故永远不能输出无理数，
故满足要求的x的值是0或1．
（3）解：负数没有算术平方根，
故输入x的值为．
（4）解：第一次输入2时，可得到，故x可为2；
第二次输入2时，x可为4；
第三次输入2时，x可为16；
故x可为2或4或16．（答案不唯一）
22．对于任意一个四位自然数，若满足百位上的数字与十位上的数字之和等于千位上的数字与个位上的数字之差的两倍，则称这个数为“富贵数”．将“富贵数”的千位上的数字与个位上的数字交换位置，百位上的数字与十位上的数字交换位置，得到新数，记．如：满足，则是一个“富贵数”，．
(1)判断和是不是“富贵数”；
(2)证明：对任意一个“富贵数”，其都能被整除；
(3)已知某“富贵数”，满足条件（且均为整数）．记，若能被整除，求出所有满足条件的的值．
【答案】(1)是“富贵数”，不是“富贵数”
(2)证明见解析
(3)，，
【分析】本题考查了新定义运算，列代数式等知识，解题的关键在于理解题意，正确列出代数式．
（1）根据“富贵数”的定义进行运算判断即可；
（2）设任意一个“富贵数”，的千、百、十、个位上的数字分别为，则，，，根据，进行证明即可；
（3）由题意知， ，，则，由能被整除，，确定值为，根据，分当；；时，分别求解对应的值即可．
【详解】（1）解：满足，
是“富贵数”，
，
不是“富贵数”，
是“富贵数”，不是“富贵数”；
（2）证明：设任意一个“富贵数”，的千、百、十、个位上的数字分别为，则，，
，
，
，其中为整数，
对任意一个“富贵数”，其都能被整除；
（3）解：由题意知， ，，
，
能被整除，，
的值为或（舍去），
，
∵，
当时，；
当时，；
当时，；
所有满足条件的的值分别为，，．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

展开更多......

收起↑