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突破05【不等式与不等式组】期末考点讲义（11大核心题型精析+实战练习）
2026学年人教版数学七年级下学期
重点知识◆梳理
知识点01:不等式
【高频考点精讲】
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
【易错点剖析】
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
知识点02:一元一次不等式
【高频考点精讲】
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
【易错点剖析】
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
知识点03:一元一次不等式组
【高频考点精讲】
　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
【易错点剖析】
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
核心题型◆归纳
题型1.不等式的性质 题型2.不等式的解集
题型3.在数轴上表示不等式的解集 题型4.解一元一次不等式
题型5.一元一次不等式的整数解 题型6.由实际问题抽象出一元一次不等式
题型7.一元一次不等式的应用 题型8.解一元一次不等式组
题型9.一元一次不等式组的整数解 题型10.由实际问题抽象出一元一次不等式组
题型11.一元一次不等式组的应用 实战演练
题型解析◆精准备考
题型1：不等式的性质
【典例精讲】若a＞b，下列不等式不一定成立的是（　　）
A．a﹣2023＞b﹣2023 B．﹣2023a＜﹣2023b
C． D．a+c＞b+c
解：由题意可得，
∵a＞b，
∴a﹣2023＞b﹣2023，﹣2023a＜﹣2023b，a+c＞b+c，
当c＜0时，，
故选：C．
【变式训练1-1】若a＞b，则下列结论中正确的是（　　）
A．﹣a＞﹣b B．a+3＞b+2 C．a2＞b2 D．4﹣a＞4﹣b
解：A．∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴a+3＞b+2，故本选项符合题意；
C．由a＞b，不能判断a2与b2的大小，故本选项不符合题意；
D．∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴4﹣a＜4﹣b，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-2】若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＞b+3 C． D．﹣3a＞﹣3b
解：A、由a＞b可以得到a﹣3＞b﹣3，原不等式不成立，不符合题意；
B、由a＞b可以得到a+3＞b+3，原不等式成立，符合题意；
C、由a＞b，可以得到，原不等式不成立，不符合题意；
D、由a＞b可以得到﹣3a＜﹣3b，原不等式不成立，不符合题意；
故选：B．
题型2：不等式的解集
【典例精讲】若不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2
解：根据题意得：4m≤8，
∴m≤2．
故选：A．
【变式训练2-1】已知不等式组无解，则a的取值范围为　a≤2　．
解：∵不等式组无解，
∴a﹣1≤1，
解得：a≤2，
故答案为：a≤2．
【变式训练2-2】下表中结出的每一对x，y的值都是二元一次方程ax+by＝3的解，则不等式组的解集为 　﹣3＜x＜0　．
x m 1 2 3
y 3 1 ﹣1 n
解：将x＝1，y＝1；x＝2，y＝﹣1代入ax+by＝3中得：
，
解得：，
∴原方程为2x+y＝3，
当y＝3时，m＝0；当x＝3时，n＝﹣3，
∴的解集为﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
题型3：在数轴上表示不等式的解集
【典例精讲】设“〇”□”△”分别代表三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，若每个“△”的质量为1，则每个“〇”的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：设“〇”的质量为x，“□”的质量为y，
根据图可知，1+y＝4×1，
解得y＝3，
2x＞x+y，即2x＞3+x，
解得：x＞3，
则每个“〇”的质量的取值范围在数轴上表示正确的为图D．
故选：D．
【变式训练3-1】如图，小雨把不等式3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是　﹣3　．
解：去括号，得
3x+1＞2x﹣2，
移项、合并同类项，得
x＞﹣3，
故答案为：﹣3．
【变式训练3-2】解不等式﹣≥x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：原不等式去分母得：2x﹣4﹣9x﹣15≥6x﹣4+2x，
移项得：2x﹣9x﹣6x﹣2x≥﹣4+4+15，
合并同类项的：﹣15x≥15，
解得x≤﹣1．解集在数轴上表示为：
题型4：解一元一次不等式
【典例精讲】不等式2x+1＞5的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
解：移项，得：2x＞5﹣1，
合并同类项，得：2x＞4，
系数化为1，得：x＞2，
故选：C．
【变式训练4-1】下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．
不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向．
不等式的解集为x≤5．
根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可以是（　　）
A．﹣2x≥﹣10 B．2x≤10 C．﹣2x≥10 D．﹣2x≤﹣10
解：A、﹣2x≥﹣10，解得x≤5，符合题意；
B、2x≤10，未知数系数为正数，不符合题意；
C、﹣2x≥10，解得x≤﹣5，不符合题意；
D、﹣2x≤﹣10，解得x≥5，不符合题意．
故选：A．
【变式训练4-2】解不等式：≥3（x﹣1）﹣6.5，并把解集在数轴上表示出来．
解：≥3（x﹣1）﹣6.5，
x+1≥6x﹣6﹣13，
∴x≤4．
数轴表示为：
题型5：一元一次不等式的整数解
【典例精讲】不等式5﹣3a≥2a﹣6的非负整数解有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
解：5﹣3a≥2a﹣6，
移项得，﹣3a﹣2a≥﹣6﹣5，
合并同类项得，﹣5a≥﹣11，
系数化为1得，a≤，
故其非负整数解为0，1，2．
∴不等式5﹣3a≥2a﹣6的非负整数解有3个．
故选：A．
【变式训练5-1】满足x＞2023的最小整数是（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
解：∵x＞2023，
∴最小整数解是2024，
故选：D．
【变式训练5-2】若关于x的不等式3x+2≤a的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是 　14　．
解：不等式的解集是：x≤，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，4，
∴4≤＜5，
∴a的取值范围是14≤a＜17．
∴整数a的最小值是14．
故答案为：14．
重点考向06：由实际问题抽象出一元一次不等式
【典例精讲】某次知识竞赛共有25道题，每答对一题得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，那么他答错或不答的题数为（25﹣x）根据题意，下列不等式正确的是（　　）
A．5x﹣2（25﹣x）≥90 B．5x﹣2（25﹣x）≤90
C．5x﹣2（25﹣x）＞90 D．5x﹣2（25﹣x）＜90
解：设小明答对x道题，
由题意可得：5x﹣2（25﹣x）＞90．
故选：C．
【变式训练6-1】某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是（　　）
A．2x+（8﹣x）≥12 B．2x+（8﹣x）≤12
C．2x﹣（8﹣x）≥12 D．2x＞12
解：由题意，胜一场得2x分，负一场得（8﹣x）分，
则得不等式：2x+（8﹣x）≥12，
故答案为：A．
【变式训练6-2】一次生活常识竞赛共有50题，答对一题得2分，不答得0分，答错一题扣1分，小聪有4题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则（　　）
A．95﹣5x＞80 B．2（46﹣x）﹣x≥80
C．100﹣5x≥80 D．2（50﹣x）﹣x≥80
解：小聪答错了x题，有4题没答，则答对有50﹣4﹣x＝（46﹣x）题，
由不等关系得：2（46﹣x）﹣x≥80，
故选：B．
题型7：一元一次不等式的应用
【典例精讲】下表为某羽毛球场馆的两种计费方案说明，若王老板和朋友们打算在此羽毛球场馆里连续打球6小时，经服务生计算后，告知他们选择包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们至少有多少人参与包场（　　）
飞扬俱乐部包场计费方案包场每场每小时90元，每人须另付入场费10元
人数计费方案每人打球3小时54元，接着续打球每人每小时8元
A．7 B．8 C．9 D．10
解：设共有x人，
包场计费方案费用为：90×6+10x＝540+10x（元），
人数计费方案费用为：54x+（6﹣3）×8x＝78x（元），
由题意得，540+10x＜78x，
解得：，
∵人数为正整数，
∴至少有8人，
故选：B．
【变式训练7-1】商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是（　　）
A．9件 B．10件 C．11件 D．12件
解：设可以购买该商品x件（x＞5），
根据题意得：30×5+30×0.8（x﹣5）≤270，
解得：x≤10，
即最多可以购买该商品10件，
故选：B．
【变式训练7-2】五一节前，某商店拟用2000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风共需费用800元．
（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）该商店将A种品牌电风扇定价为280元/台，B种品牌电风扇定价为350元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
解：（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，
，
解得，
答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是200元、300元；
（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，利润为w元，
w＝（280﹣200）a+（350﹣300）b＝80a+50b，
∵某商店拟用2000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，
∴200a+300b＝2000且a≥1，b≥1，
∴2a+3b＝20（a≥1，b≥1），
∴或或，
∴当a＝1，b＝6时，w＝80×1+50×6＝380，
当a＝4，b＝4时，w＝80×4+50×4＝520，
当a＝7，b＝2时，w＝80×7+50×2＝660，
由上可得，当a＝7，b＝2时，w取得最大值，
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风2台．
题型8：解一元一次不等式组
【典例精讲】已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④是方程组的解．其中上面结论正确的个数（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
解：解方程组得，得，
①把a＝1代入求得x＝3，y＝0，不满足方程x+y＝2﹣a成立，故①错误；
②当a＝﹣2时，x＝6，y＝0，x，y的值不是互为相反数，故②错误；
③当x≤1时，1﹣≤1，
解得a≥0，
∴0≤a≤1，
∴1≤1+≤，即1≤y≤，故③错误；
④将代入原方程组，求出不同的a值，则④错误．
故选：D．
【变式训练8-1】解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解．
解：解不等式7x+10≥4（x+1），得：x≥﹣2，
解不等式x﹣5＜，得：，
原不等式组的解集：，
解集数轴表示：
整数解有：﹣2，﹣1，0，1，2，3．
【变式训练8-2】（1）解不等式：5x+3＜3（2+x）；
（2）解不等式组．
解：（1）∵5x+3＜3（2+x），
∴5x+3＜6+3x，
5x﹣3x＜6﹣3，
2x＜3，
则x＜1.5；
（2）由1+x＞﹣2得：x＞﹣3，
由≤1得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
题型9：一元一次不等式组的整数解
【典例精讲】关于x的不等式组至少有3个整数解，关于y的方程2+my＝6﹣y的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 　﹣10　．
解：，
解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x＞，
∴该不等式组的解集是＜x≤3，
∵该不等式组至少有3个整数解，
∴＜1，
解得m＜﹣1；
解方程得y＝，
当m＝﹣2时，y＝＝﹣4，
当m＝﹣3时，y＝＝﹣2，
当m＝﹣4时，y＝＝﹣，
当m＝﹣5时，y＝＝﹣1，
当m＝﹣6时，y＝＝﹣，
…
∴所有满足条件的整数m的值为﹣2，﹣3，﹣5，
∴所有满足条件的整数m的值之和为：﹣2﹣3﹣5＝﹣10，
故答案为：﹣10．
【变式训练9-1】解方程组或不等式（组）：
（1）解方程组
（2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（3）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
解：（1），
由①得，x＝2y+1③，
把③代入②得，3（2y+1）﹣5y＝8，
解得，y＝5，
把y＝5代入①得，x＝11，
则方程组的解为：；
（2），
2x+2＜3x，
解得，x＞2；
（3），
解①得，x≥﹣1，
解②得，x＜3，
则不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
整数解：﹣1，0.1，2．
【变式训练9-2】解不等式（组）：
（1）解不等式，并在数轴上表示解集；
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
解：（1），
3（2+x）≥2（2x﹣1）+6，
6+3x≥4x﹣2+6，
3x﹣4x≥﹣2﹣6+6，
﹣x≥﹣2，
x≤2，
将不等式解集表示在数轴上如下：
；
（2）解不等式x﹣3（x﹣2）≤4，得：x≥1，
解不等式1+2x＞3（x﹣1），得：x＜4，
则不等式组的解集为1≤x＜4，
所以其整数解为1、2、3．
题型10：由实际问题抽象出一元一次不等式组
【典例精讲】小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不低于50次，用不等式表示为（（　　）
A．50＜x＜80 B．50≤x≤80 C．50≤x＜80 D．50＜x≤80
解：小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为50≤x＜80．
故选：C．
【变式训练10-1】将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　）
A．8（x﹣1）＜6x+10＜4 B．0＜6x+10＜8x
C．0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4 D．8x＜6x+10＜4
解：设有x人，则书有（6x+10）本，由题意得：
0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4，
故选：C．
【变式训练10-2】在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余6本；如果每人分7本，那么最后一人虽分到书但不足7本，问这些图书最多有多少本？设这些图书有x本，则可列不等式组为 　1≤x﹣7（）＜7　．
解：设这些图书有x本，则最后一人分到[x﹣7（）]本，
根据题意得：1≤x﹣7（）＜7．
故答案为：1≤x﹣7（）＜7．
题型11：一元一次不等式组的应用
【典例精讲】某市出租车起步价是8元（3km及3km以内为起步价），以后每千米收费1.6元，不足1km按1km收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，则此出租车行驶的路程可能为（　　）
A．5.5km B．6.9km C．7.5km D．8.1km
解：设出租车行驶的路程为s千米，
由已知得：，
解得：5＜s≤6．
故选：B．
【变式训练11-1】对一实数x按如图所示程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次后停止，则x的取值范围是（　　）
A．x＜64 B．x＞22 C．22＜x≤64 D．22＜x＜64
解：依题意，得：，
解得：22＜x≤64．
故选：C．
【变式训练11-2】为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我州北部某市向南部某贫困县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套．
（1）求书籍和实验器材各有多少套？
（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县．已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
解：（1）设书籍和实验器材分别为x、y套．
根据题意得：
解得：
故书籍和实验器材分别为240套，120套．
（2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆．
根据题意得：
解得：0≤a≤4
又∵a取整数，
∴a＝0，1，2，3，4
8﹣a＝8，7，6，5，4，
∴共有5种方案，如下：
方案一：甲0辆，乙8辆
方案二：甲1辆，乙7辆
方案三：甲2辆，乙6辆
方案四：甲3辆，乙5辆
方案五：甲4辆，乙4辆
（3）方案一所需运费：1000×0+8×900＝7200（元）
方案二所需运费：1000+7×900＝7300（元）
方案三所需运费：2×1000+6×900＝7400（元）
方案四所需运费：3×1000+5×900＝7500（元）
方案五所需运费：4×1000+4×900＝7600（元）
故运输部门应选择方案一，他的运费最少，最少运费是7200元．
实战演练
一、单选题
1．如果a>b，下列结论错误的是（　　）
A．a + 2 > b + 2 B．a﹣2 > b﹣2 C．2a > 2b D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A.∴ a + 2 > b + 2，故该选项正确，不符合题意；
B. a﹣2 > b﹣2，故该选项正确，不符合题意；
C. 2a > 2b ，故该选项正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】由不等号，，，，连接的式子叫不等式．本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
【详解】解：不等式有：①；②；④；⑤；
∴共有4个．
故选：C．
3．若不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A．m≤0 B．m≤1 C．m＜0 D．m＜1
【答案】B
【分析】先解出第二个不等式的解集，再根据口诀“大大小小无解”求解即可
【详解】解不等式2x+1＞3，得：x＞1，
∵不等式组无解，
∴m≤1，
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟知一元一次不等式组的解集口诀“大大小小无解”是解答的关键．
4．如图是某的两种计费方案的说明．若晓莉和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务生计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们在同一间包厢里欢唱的至少有（ ）
包厢计费方案： 包厢每间每小时300元，每人须另付入场费30元
人数计费方案： 每人欢唱3小时180元，接着续唱每人每小时30元
A．6人 B．7人 C．8人 D．9人
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设晓莉和朋友共有人，分别计算选择包厢和选择人数的费用，然后根据选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，列不等式求解．
【详解】解：设晓莉和朋友共有人．
若选择包厢计费方案需付费用为元；
若选择人数计费方案需付费用为（元）．
根据题意，得，
解得，
所以他们在同一间包厢里欢唱的至少有8人．
故选：C．
5．下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【详解】解：A．若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
B．若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；
C．若，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
D．a＞b，当c＜0时，ac＜bc，原变形错误，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
6．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断即可得出正确选项．
【详解】A. 不等式两边同时减1,得：，不等于成立，选项正确；
B. 不等式两边同时乘﹣1得：，选项错误；
C. 不等式时，选项错误；
D. 不等式时，选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断．
7．已知，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先将不等式两边都除以3得a＞﹣2b，再两边都加上1知a+1＞﹣2b+1，结合﹣2b+1＞﹣2b﹣1利用不等式的同向传递性可得答案．
【详解】解：∵3a＞﹣6b，
∴
故A不符合题意；
∵3a＞﹣6b，
∴a＞﹣2b，
∴a+1＞﹣2b+1，
故B不符合题意；
∵3a＞﹣6b，
∴a＞﹣2b，
得不到
故C符合题意；
∵3a＞﹣6b，
∴a＞﹣2b，
∴
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项
8．已知是不等式的解，的值可以是（ ）
A． B．4 C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的解，解不等式，熟练掌握不等式的解是解题的关键．先把代入不等式，得出关于的不等式，解之得到的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：是不等式的解，
，
．
故选：A．
9．若关于的方程的解是负数，则的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解方程是解题的关键．先解方程，再根据解为负数，求得的取值范围即可．
【详解】解：去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1,得
方程的解是负数，
，
解得
故选A．
10．如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于的二元一次方程组的解为整数（均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（ ）
A． B．2 C．4 D．12
【答案】C
【分析】解不等式组，结合其解集得出m≤4；解方程组得出其解，结合解均为整数得出整数m的值；综合前面m的取值范围确定m的最终取值，从而得出答案．
【详解】解：解不等式＞0，得：x＞m，
解不等式﹣x＜﹣4，得：x＞4，
∵不等式组的解集为x＞4，
∴m≤4，
解方程组得，
∵x，y均为整数，
∴m＝4或m＝8或m＝2或m＝﹣2，
又m≤4，
∴m＝4或m＝2或m＝﹣2，
则符合条件的所有整数m的和是4，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组以及分式的整数值，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组以及求分式的整数值的能力，并据此得出m的最终取值．
二、填空题
11．若，则关于的不等式的解集为_____________．
【答案】
【分析】根据已知条件判断系数的符号，再根据不等式的性质进行变形求解．
【详解】解：已知，可得．
原不等式为．
∵，在不等式两边同时除以负数时，不等号方向需要改变：
∴．
对化简，可得．
因此，不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式的解法，解题关键是先判断系数的正负，再根据不等式的性质进行求解．
12．不等式组的所有整数解的和为_________．
【答案】7
【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，再找出解集中的所有整数解，最后计算这些整数解的和．
【详解】解：首先解不等式组：
解不等式①：
．
解不等式②：
．
故：．
满足的整数为，．
∴整数解的和．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的应用，解题关键是准确求出每个不等式的解集，找到公共解集后，再确定其中的整数解并求和．
13．已知不等式的正整数解是，请写出一个a的可能值为______．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题考查根据不等式的解的情况，求参数的范围，先解不等式得，再根据不等式的正整数解，得到的取值范围即可．
【详解】解：，
则，
∵不等式的正整数解是，
∴，
∴，
∴a的值可以是4，
故答案为：（答案不唯一）．
14．若的解能使关于的不等式成立，则实数的取值范围是___________．
【答案】/
【分析】先解给定的一元一次方程得到x的值，再将方程的解代入不等式，解关于m的不等式即可得到m的取值范围．
【详解】解：解方程
去分母得，
移项、合并同类项得，
系数化为1得，
∵能使不等式成立，
∴将代入不等式得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
系数化为1，得，．
三、解答题
15．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】，
在数轴上表示不等式组的解集为：
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为；
16．若关于，的方程组的解满足．
(1)求的取值范围；
(2)化简．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及化简绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据方程组得出，根据，得出，解不等式组即可；
（2）利用（1）中k的取值范围，化简绝对值即可．
【详解】（1）解：，
得：，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
．
17．在冰雪旅游时期，某旅游商品经销店欲购进A、B两种冰雪纪念品，若用380元可以购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件．
(1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少
(2)若该经销店每件A种纪念品售价25元，每件B种纪念品售价38元，该经销店准备购进A、B两种纪念品共50件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于310元，则该经销店最多可购进A种纪念品多少件
【答案】(1)A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元
(2)30件
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用．
（1）设A种纪念品每件进价为x元，B种纪念品每件进价为y元，根据题意找出正确的等量关系，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设该经销店购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，根据题意找出不等关系，列出一元一次不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设A种纪念品每件进价为x元，B种纪念品每件进价为y元，
由题意得：，
解得，
答：A种纪念品每件进价为20元，B种纪念品每件进价为30元；
（2）设该经销店购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，
由题意得，，
解得，
答：该经销店最多可购进A种纪念品30件．
18．若关于x和y的二元一次方程组的解满足，．
(1)求a的取值范围；
(2)是否存在一个整数a使不等式的解集为．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，1，2
【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集．
（1）首先对方程组进行化简即可求得含a的表示x和y的代数式；根据方程的解满足的解满足得到不等式组，解不等式组就可以得出a的范围；
（2）根据不等式的解集为，求出a的取值范围，即可解答.
【详解】（1）解：，
，得
．
，得
．
，
解得：．
（2）解：存在．理由如下：
∵
则
∴．
原不等式的解集为，
．
由（1）得
．
为整数，
的值为1，2．
19．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人
(2)见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的实际应用，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键．
（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程即可；
（2）首先判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆，根据题意列出不等式组求出整数解即可．
【详解】（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有x人，
根据题意，得，
解得，
∴，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人；
（2）解：师生总数为（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆，
根据题意，得：
，
解得，
∵m为整数，
∴m的值可取3，4，5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆．
20．在一座小楼上挂满如下图所示的灯球，甲种灯球上有3个大球，下缀6个小球；乙种灯球上有3个大球，下缀18个小球．大球共396个，小球共1440个．
(1)求甲、乙两种灯球的个数；
(2)小明打算购买30个灯球，其中甲种灯球个数不少于乙种灯球个数的2倍，则最少购买多少个甲种灯球？
【答案】(1)甲种灯球有78个，乙种灯球有54个．
(2)20个
【分析】（1）根据大球和小球的总数，分别列出关于甲、乙两种灯球数量的方程，联立求解；
（2）根据“甲种灯球个数不少于乙种灯球个数的倍”这一条件，设出未知数并列出不等式，求出满足条件的最小整数解．
【详解】（1）解：设甲种灯球有个，乙种灯球有个．
大球总数：；
小球总数：．
得
化简方程组：
得
②①
．
代入①：．
故甲种灯球有个，乙种灯球有个．
（2）解：设购买个甲种灯球，则购买个乙种灯球．
依题意，得，
解得．
故最少购买个甲种灯球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是：从题目中准确提取等量关系，建立方程组求解灯球数量以及根据不等关系建立不等式，求出满足条件的最小整数解．
21．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．
例题：解不等式．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，得①，②，解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或．
仿照材料，解不等式．
【答案】
【分析】本题考查的是有理数乘法法则，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，
①，②，
解不等式组①，得，该不等式组无解；
解不等式组②，得得，即；
的解集为．
22．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值；
(3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)③
(2)2
(3)①，；②不存在，见解析
【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解．
（1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可；
（3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可；
②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】（1）解：方程①的解为；
方程②的解为；
方程③的解为；
不等式组的解集为，
∵，
∴不等式组的关联方程是方程③，
故答案为：③；
（2）解：解不等式组，得，
因此不等式组的整数解为．
将代入关联方程0，
得；
（3）解：①，
解得；
，
解得；
②不存在．理由如下：
解不等式组，
得，
假如方程和都是关于的不等式组的关联方程，
则且．
解得：且
∴不等式组无解，
不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
突破05【不等式与不等式组】期末核心讲义（11大题型精析+实战练习）2026学年人教版数学七年级下学期
重点知识◆梳理
知识点01:不等式
【高频考点精讲】
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
【易错点剖析】
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
知识点02:一元一次不等式
【高频考点精讲】
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
【易错点剖析】
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
知识点03:一元一次不等式组
【高频考点精讲】
　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
【易错点剖析】
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
核心题型◆归纳
题型1.不等式的性质 题型2.不等式的解集
题型3.在数轴上表示不等式的解集 题型4.解一元一次不等式
题型5.一元一次不等式的整数解 题型6.由实际问题抽象出一元一次不等式
题型7.一元一次不等式的应用 题型8.解一元一次不等式组
题型9.一元一次不等式组的整数解 题型10.由实际问题抽象出一元一次不等式组
题型11.一元一次不等式组的应用 实战演练
题型解析◆精准备考
题型1：不等式的性质
【典例精讲】若a＞b，下列不等式不一定成立的是（　　）
A．a﹣2023＞b﹣2023 B．﹣2023a＜﹣2023b C． D．a+c＞b+c
【变式训练1-1】若a＞b，则下列结论中正确的是（　　）
A．﹣a＞﹣b B．a+3＞b+2 C．a2＞b2 D．4﹣a＞4﹣b
【变式训练1-2】若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＞b+3 C． D．﹣3a＞﹣3b
题型2：不等式的解集
【典例精讲】若不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2
【变式训练2-1】已知不等式组无解，则a的取值范围为　 ．
【变式训练2-2】下表中结出的每一对x，y的值都是二元一次方程ax+by＝3的解，则不等式组的解集为
x m 1 2 3
y 3 1 ﹣1 n
题型3：在数轴上表示不等式的解集
【典例精讲】设“〇”□”△”分别代表三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，若每个“△”的质量为1，则每个“〇”的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】如图，小雨把不等式3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是　 ．
【变式训练3-2】解不等式﹣≥x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．
题型4：解一元一次不等式
【典例精讲】不等式2x+1＞5的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
【变式训练4-1】下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．
不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向．
不等式的解集为x≤5．
根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可以是（　　）
A．﹣2x≥﹣10 B．2x≤10 C．﹣2x≥10 D．﹣2x≤﹣10
【变式训练4-2】解不等式：≥3（x﹣1）﹣6.5，并把解集在数轴上表示出来．
题型5：一元一次不等式的整数解
【典例精讲】不等式5﹣3a≥2a﹣6的非负整数解有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练5-1】满足x＞2023的最小整数是（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【变式训练5-2】若关于x的不等式3x+2≤a的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是 　 ．
题型6：由实际问题抽象出一元一次不等式
【典例精讲】某次知识竞赛共有25道题，每答对一题得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，那么他答错或不答的题数为（25﹣x）根据题意，下列不等式正确的是（　　）
A．5x﹣2（25﹣x）≥90 B．5x﹣2（25﹣x）≤90
C．5x﹣2（25﹣x）＞90 D．5x﹣2（25﹣x）＜90
【变式训练6-1】某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是（　　）
A．2x+（8﹣x）≥12 B．2x+（8﹣x）≤12
C．2x﹣（8﹣x）≥12 D．2x＞12
【变式训练6-2】一次生活常识竞赛共有50题，答对一题得2分，不答得0分，答错一题扣1分，小聪有4题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则（　　）
A．95﹣5x＞80 B．2（46﹣x）﹣x≥80
C．100﹣5x≥80 D．2（50﹣x）﹣x≥80
题型7：一元一次不等式的应用
【典例精讲】下表为某羽毛球场馆的两种计费方案说明，若王老板和朋友们打算在此羽毛球场馆里连续打球6小时，经服务生计算后，告知他们选择包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们至少有多少人参与包场（　　）
飞扬俱乐部包场计费方案包场每场每小时90元，每人须另付入场费10元
人数计费方案每人打球3小时54元，接着续打球每人每小时8元
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式训练7-1】商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是（　　）
A．9件 B．10件 C．11件 D．12件
【变式训练7-2】五一节前，某商店拟用2000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风共需费用800元．
（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）该商店将A种品牌电风扇定价为280元/台，B种品牌电风扇定价为350元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
题型8：解一元一次不等式组
【典例精讲】已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④是方程组的解．其中上面结论正确的个数（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【变式训练8-1】解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解．
【变式训练8-2】（1）解不等式：5x+3＜3（2+x）；
（2）解不等式组．
题型9：一元一次不等式组的整数解
【典例精讲】关于x的不等式组至少有3个整数解，关于y的方程2+my＝6﹣y的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 　 ．
【变式训练9-1】解方程组或不等式（组）：
（1）解方程组
（2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（3）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
【变式训练9-2】解不等式（组）：
（1）解不等式，并在数轴上表示解集；
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
题型10：由实际问题抽象出一元一次不等式组
【典例精讲】小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不低于50次，用不等式表示为（（　　）
A．50＜x＜80 B．50≤x≤80 C．50≤x＜80 D．50＜x≤80
【变式训练10-1】将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　）
A．8（x﹣1）＜6x+10＜4 B．0＜6x+10＜8x
C．0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4 D．8x＜6x+10＜4
【变式训练10-2】在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余6本；如果每人分7本，那么最后一人虽分到书但不足7本，问这些图书最多有多少本？设这些图书有x本，则可列不等式组为 ．
题型11：一元一次不等式组的应用
【典例精讲】某市出租车起步价是8元（3km及3km以内为起步价），以后每千米收费1.6元，不足1km按1km收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，则此出租车行驶的路程可能为（　　）
A．5.5km B．6.9km C．7.5km D．8.1km
【变式训练11-1】对一实数x按如图所示程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次后停止，则x的取值范围是（　　）
A．x＜64 B．x＞22 C．22＜x≤64 D．22＜x＜64
【变式训练11-2】为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我州北部某市向南部某贫困县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套．
（1）求书籍和实验器材各有多少套？
（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县．已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
实战演练
一、单选题
1．如果a>b，下列结论错误的是（　　）
A．a + 2 > b + 2 B．a﹣2 > b﹣2 C．2a > 2b D．
2．在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．若不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A．m≤0 B．m≤1 C．m＜0 D．m＜1
4．如图是某的两种计费方案的说明．若晓莉和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务生计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们在同一间包厢里欢唱的至少有（ ）
包厢计费方案： 包厢每间每小时300元，每人须另付入场费30元
人数计费方案： 每人欢唱3小时180元，接着续唱每人每小时30元
A．6人 B．7人 C．8人 D．9人
5．下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是不等式的解，的值可以是（ ）
A． B．4 C．0 D．
9．若关于的方程的解是负数，则的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
10．如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于的二元一次方程组的解为整数（均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（ ）
A． B．2 C．4 D．12
二、填空题
11．若，则关于的不等式的解集为_____________．
12．不等式组的所有整数解的和为_________．
13．已知不等式的正整数解是，请写出一个a的可能值为______．
14．若的解能使关于的不等式成立，则实数的取值范围是___________．
三、解答题
15．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
16．若关于，的方程组的解满足．
(1)求的取值范围；
(2)化简．
17．在冰雪旅游时期，某旅游商品经销店欲购进A、B两种冰雪纪念品，若用380元可以购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件．
(1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少
(2)若该经销店每件A种纪念品售价25元，每件B种纪念品售价38元，该经销店准备购进A、B两种纪念品共50件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于310元，则该经销店最多可购进A种纪念品多少件
18．若关于x和y的二元一次方程组的解满足，．
(1)求a的取值范围；
(2)是否存在一个整数a使不等式的解集为．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
19．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
20．在一座小楼上挂满如下图所示的灯球，甲种灯球上有3个大球，下缀6个小球；乙种灯球上有3个大球，下缀18个小球．大球共396个，小球共1440个．
(1)求甲、乙两种灯球的个数；
(2)小明打算购买30个灯球，其中甲种灯球个数不少于乙种灯球个数的2倍，则最少购买多少个甲种灯球？
21．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．
例题：解不等式．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，得①，②，解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或．
仿照材料，解不等式．
22．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值；
(3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共2页
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