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广东佛山市新质高中联盟2025-2026学年第二学期高一年级期中联考试卷数学学科
一、单选题
1．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C．4 D．9
3．已知复数，复数的虚部为（ ）
A． B．3i C．3 D．
4．已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，中为重心，过点，，，则（ ）

A．1 B．2 C． D．3
7．设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，则（ ）
A．
B．与向量平行的一个单位向量为
C．若与所成角为锐角，则
D．与的夹角为
10．下列各式中，计算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
11．设函数，若在区间上具有单调性，且，则（ ）
A．的最小正周期为 B．图象关于直线对称
C．图象关于点中心对称 D．存在，使得成立
三、填空题
12．若复数，则______．
13．已知单位向量，满足，则______．
14．如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为________．
四、解答题
15．已知复数，复数在复平面内对应的向量为．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
16．如图，在中，已知，，，E，F分别为，上的点，且，．
(1)求；
(2)用向量方法证明：；
(3)若线段上一动点P满足，试确定点P的位置．
17．已知函数，．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求．
18．已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)当，方程有解，求实数的取值范围；
(3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．
19．在中，角A，B，C对应边为，，，满足
(1)求的大小；
(2)（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值；
（ii）延长BC至点，使得.若求的大小.
参考答案
1．A
【详解】由题意有，
所以.
故选：A.
2．B
【详解】由题设及，则，可得.
3．D
【详解】.
所以复数的虚部为.
故选：D.
4．B
【详解】，，，向量在上的投影向量为.
5．B
【详解】因为为锐角，且，
所以，则，
所以．
6．D
【详解】设，根据题意，
因为，，三点共线，则存在，使得，
即，即，
所以，整理得，所以.
7．B
【详解】因为，所以，
因为，故，
因为，即，
即，化简得，
因为，故，可得，则，故，
因此，为直角三角形，
故选：B.
8．A
【详解】，
所以或，
即或.
由于，故.
9．ABD
【详解】，，故，所以A正确；
，与平行的单位向量为，为，所以B正确；
，，
若向量所成角为锐角，则且两向量不共线，
即，解得，
当时，，不满足夹角为锐角，所以C错误；
，，
所以，
因为，所以，所以D正确.
10．ABD
【详解】对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B正确，
对于C，，所以C错误，
对于D，
，所以D正确.
11．AB
【详解】若在区间上具有单调性，则，则，
又，则，
因为，
所以一条对称轴为，一个对称中心横坐标为，
对称中心为，
则，所以，，
所以对称轴为，对称中心为，
对于A，，故A正确；
对于B，当时，对称轴为，故B正确；
对于C，假设图象关于点中心对称，则，此时，不符合题意，故C错误；
对于D，，，则，，
若，则
则，则，
故在，不存在使得成立，故D错误，
故选：AB.
12．
【详解】，
则．
13．
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
14．/
【详解】
因为，所以取最大同时在上投影最大，则取得最大值，
如图所示，当 分别是最大的正三角形底边的端点，
B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时， 最大，且在向量上的投影也达到最大值,
所以此时取得最大值，最大值为；
因为，取最大同时在上投影最小，则取得最小值，
当 分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 之间的一点时，
，此时 达到最小值．
综上所述的最大值与最小值的和为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为复数在复平面内对应的向量为，则，
又，则，
由题有，解得，所以的值为.
（2）因为，
由题有，解得，所以的取值范围为.
16．(1)
(2)证明见解析
(3)是线段的中点
【详解】（1）依题意，记，
因为，所以，，
因为，
所以，
则，
故.
（2）因为，所以，
所以，
则，即.
（3）因为，所以是的中点，故，
因为，所以，即，
所以是线段的中点.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题意得
，
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）得，，
则，即，
所以
.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期，
所以，得，
因为，所以，
所以，
因为的图象过点，所以，得，
因为，所以，
故．
（2），
即有解，
由，得，
所以，所以，
所以，即．
（3），设，则，
由“方程在区间上恰有三个实数根”，
得“方程在区间上恰有三个实数根”，
则的图象如下：
即，
由图得，，，
即，
综上．
19．(1)
(2)（i）的最大值为；（ii）或
【详解】（1）在中，，所以．
因为，所以，
即
化简得．
因为，所以，．
因为，所以．
（2）
（i）由三角形面积公式可得，即，
在中由余弦定理可得，即，
所以，所以的最大值为，
此时，当且仅当时取等号；
（ii）设，，则．
由（1）知，又，所以在中，．
在中，由正弦定理得，即①．
在中，由正弦定理得，即②．
①÷②，得，即，所以．

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