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江苏宿迁市沭阳县部分校 2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测
数学试题
一、单选题
1．在下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A．了解八（1）班学生校服的尺码情况 B．检测一批电灯泡的使用寿命
C．调查《最强大脑》栏目的收视率 D．了解全国中学生的视力情况
2．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水
3．要使分式有意义，需满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若把分式中的，都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的 D．不变
6．如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　 ）
A． B． C． D．
7．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．54
8．已知：，，，则的值为（ ）
A．0 B．2003 C．2002 D．3
二、填空题
9．小明妈妈的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是______．
10．一个样本共有60个数据，这些数据分别落在5个组内，第1，2，3，4组数据的频率分为0.1，0.3，0.2，0.1，则第5组数据的频数为_________．
11．把分式化为最简分式的结果是________．
12．将分式化简得，则x应满足的条件是________．
13．若，则的值是______．
14．已知，则多项式的值是_______．
15．数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法，请利用如图所示的图形分解因式__________．
16．如图，点是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为_________．
17．如图，O为菱形的对角线，的交点，M，N 分别为边，的中点，连接，若，，则菱形的周长为______．
18．如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为______．
三、解答题
19．计算：
(1)
(2)
20．因式分解：
(1)；
(2)．
21．已知，，求代数式的值．
22．4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图．
读书量 1本 2本 3本 4本 5本
人数 10人 25人 30人 a 15人
(1)本次调查共抽取学生多少人？
(2)表中a的值为 ，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为 ．
(3)已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数．
23．如图，四边形中，对角线相交于点O，，，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的周长．
24．如图，已知．
(1)尺规作图：分别在、、边上取点、、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，，求四边形的面积．
25．如图，在梯形中，，延长到点E，使，．
(1)试说明梯形是等腰梯形．
(2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由．
26．如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”．
(1)28________“智慧数”（填“是”或“不是”）；
(2)说明16是一个“智慧数”；
(3)设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除．
27．阅读下列材料：
若，试求、的值．（其中、为常数）
解：等式右边通分，得
根据题意，得，解之得．
仿照以上解法，解答下题．
(1)已知（其中、为常数）求、的值；
(2)若对任意自然数都成立，则______，______．
(3)计算：______．
28．【定义】我们把有一组对角是直角的四边形叫做“美妙矩形”：连接它的两个非直角顶点的线段，叫做“美妙对角线”．
如图（1），在四边形中，若，则四边形是“美妙矩形”， 为“美妙对角线”．
【理解】
(1)在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“美妙矩形”的是 ．
(2)如图（2），在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在网格格点中找到一点D，使得四边形为“美妙矩形”；
【应用】
(3)若四边形为“美妙矩形”， ，，，则 ；
(4)已知“美妙矩形”中，为“美妙对角线”，点O为的中点，．
①如图（3），当四边形为菱形时，求“美妙矩形”的面积；
②在①的条件下，将沿着射线方向平移到，当四边形为矩形时， ．
参考答案
1．A
解：调查对象为八(1)班全体学生，范围小，需要获取准确的尺码数据，A适宜采用普查；
检测电灯泡使用寿命具有破坏性，B适宜抽样调查；
调查栏目收视率，调查范围广，工作量大，C适宜抽样调查；
调查全国中学生视力情况，调查范围广，工作量大，D适宜抽样调查．
2．C
解：A. 旭日东升是必然事件；
B. 画饼充饥是不可能事件；
C. 守株待兔是随机事件；
D. 竹篮打水是不可能事件；
故选：C．
3．B
解：根据题意得：，
解得：．
4．C
解：选项A中，变形是整式乘法，从整式乘积得到多项式，不符合因式分解定义．
选项B中，等式右边的不是整式，不符合因式分解要求．
选项C中，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义．
选项D中，等式右边是是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义．
5．C
解：由题意得：，
∴分式的值缩小为原来的，
故选：C．
6．D
解：为的中位线，
，
在中，是的中点，
，
，
故选：D．
7．B
解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×3×8＝12，
∴S阴＝12＋12＝24，
故选：B．
8．D
解：
，
根据已知条件可得： ，，，
∴ 原式．
9．
解：∵小明从3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”中随机选择1款查阅资料，
∴小明恰好选择“千问”的概率是．
10．
解：∵第5组数据的频率为，
∴第5组数据的频数为，
故答案为：．
11．
解：．
故答案为：．
12．x≠0
【详解】分子、分母都除以x化简得，根据分式的基本性质可知x≠0，
故答案为x≠0．
13．
解：由分式有意义的条件可知，，，
∵，
∴，
∴，
∴
．
14．-20
解：∵，
∴===-20，
故答案为：-20．
15．
解：各个图形组合成长方形，其面积和为，长方形的面积为，
∴ ．
16．40
解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
17．
解：∵M，N 分别为边，的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，，．
在中，根据勾股定理，得
，
∴菱形的周长为．
18．
解：∵在中，，，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
如图，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时取最小值，则四边形周长取最小值， 过点G作于点，
由对称可得，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的周长．
故答案为：．
19．（1）解：；
（2）解：．
20．（1）解：
；
（2）解：
．
21．解：原式，
∵，，
∴原式．
22．（1）解：抽样调查的学生总数为：25÷25%＝100（人），
答：本次调查共抽取学生100人；
（2）a＝100﹣10﹣25﹣30﹣15＝20；
扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为：360°×＝108°，
故答案为：20；108°；
（3）3000×＝1950（人），
答：估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数为1950人．
23．（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
，
∴四边形的周长．
24．（1）解：如图，作的角平分线，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、，设与交于点，
是的垂直平分线，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
四边形是菱形，
点、、的位置即为所求．
（2）解：设与交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
．
四边形的面积为120．
25．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是等腰梯形．
（2）解：，
理由是：连接,
∵四边形是等腰梯形，
∴，
∵，
∴．
26．（1）解：设两个连续奇数的平方差为28，较小奇数为，则，
展开整理得，
解得，
∵不是奇数，
∴28不是“智慧数”
（2）解：∵，且和是两个连续奇数，
∴16符合“智慧数”的定义，
∴16是一个“智慧数”；
（3）解：
，
∵是8的倍数，
∴两个连续奇数为和构造的“智慧数”能被整除．
27．（1）解：
等式右边通分得：
，
，
解得：；
（2）
等式右边通分得：
，
，
解得：，
故答案为：，；
（3）
，
故答案为：．
28．（1）解：由“美妙矩形”的定义可得：
在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“美妙矩形”的是矩形，
故答案为：矩形；
（2）解：D点如图所示：
（3）解：分以下两种情况：
若，为直角，
则，
；
若，为直角，
则，
，
故答案为：或；
（4）解：①∵点O为斜边边上的中线，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
同理，
∴“美妙矩形”的面积；
②如图，
四边形为矩形时，则与O重合，与C重合，
∴．

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