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特殊角三角恒等变形计算训练（30题）
特殊角三角恒等变形计算训练（30题）
题型：10 , 20 , 40 等特殊角的恒等变形与精确计算
一、题目版
A组：凑角与辅助角（1–8）
√
计算： 1 31. 。
sin 10 cos 10
√
2. 计算： 3 1 。
sin 20 cos 20

3. 计算：2 cos 10 sin 20( 。cos 20 )
4. 计算： √1 + 3 tan 10 cos 40 。
√
计算： 3 cos 10
+ sin 10
5. 。
2 cos 20
√
计算：cos 20
+ 3 sin 20
6. 。
2 cos 40
√
计算： 3 cos 20
sin 20
7. 。
2 sin 40
√
计算：cos 10
3 sin 10
8. 。
2 sin 20
B组：正切和差公式（9–14）
√
计算：tan 10 + tan 20 + 39. tan 10 tan 20 。
3
√
10. 计算：tan 10 + tan 50 + 3 tan 10 tan 50 。
11. 计算： √tan 20 + tan 40 + 3 tan 20 tan 40 。
√
12. 计算：tan 40 tan 10 3 tan 40 tan 10 。
3
√
13. 计算：tan 50 tan 20 3 tan 50 tan 20 。
3
14. 计算： √tan 70 tan 10 3 tan 70 tan 10 。
1
特殊角三角恒等变形计算训练（30题）
C组：和差化积（15–24）

15. 计算：sin 10 + sin 50 。
sin 70
cos 50 + cos 70
16. 计算： 。
cos 10
计算：sin 20
+ sin 40
17. 。
sin 80

18. 计算：cos 20 + cos 40 。
cos 10
计算：sin 40
sin 20
19. 。
sin 10
计算：sin 70
sin 10
20. 。
cos 40
cos 10 计算： cos 70

21. 。
sin 40
计算：cos 20
cos 40
22. 。
sin 10
sin 80 sin 40
23. 计算： 。
sin 20

24. 计算：cos 40 + cos 80 。
cos 20
D组：三倍角与连乘（25–30）
25. 计算：8 sin 10 sin 50 sin 70 。
26. 计算：8 cos 20 cos 40 cos 80 。
27. 计算：8 sin 20 sin 40 sin 80 。
28. 计算：8 cos 10 cos 50 cos 70 。
29. 计算：tan 20 tan 40 tan 80 。
30. 计算：tan 10 tan 50 tan 70 。
2
特殊角三角恒等变形计算训练（30题）
二、答案速查
题号 答案 题号 答案 题号 答案 题号 答案 题号 答案
√
1 4 2 4 3 3 4 1 5 1
√ √
6 1 7 1 8 1 9 33 10 3
√ √ √
11 3 12 3 13 3
√
3 3 14 3 15 1
√ √
16 1 17 1 18 3 19 3 20 1
21 1 22 1 23 1 24 1 25 1
√ √ √ √
26 1 27 3 28 3 29 3 30 33
三、通解框架与口诀
这类题并不是要求记住 sin 10 、cos 20 等无理数的具体值，而是利用角度之间的关系，使
式子落到 30 , 60 , 90 等熟悉角上。
常用公式如下：
√
cos + sin = 2 + 2 cos( ),
tan( + ) tan + tan tan( ) tan tan = , = ,
1 tan tan 1 + tan tan
sin + sin + = 2 sin cos ,
2 2
sin sin + = 2 cos sin ,
2 2
cos + cos 2 cos + cos = ,
2 2
cos cos = 2 sin + sin .
2 2
连乘型还要掌握两个核心恒等式：
4 sin sin(60 + ) sin(60 ) = sin 3 ,
4 cos cos(60 + ) cos(60 ) = cos 3 .
口诀：
“见到根三想六十，见到十分想三十；正切和积凑和差，正弦余弦找中点；三角连乘围六十，
最后落在三倍角。”
更具体地说：
“10, 20相加得 30；20, 40相加得 60；10, 50, 70是 10与 60 ± 10；20, 40, 80是 20与 60 ± 20。”
3
特殊角三角恒等变形计算训练（30题）
四、逐题详解
A组详解
1. √ √
1 3 cos 10
3 sin 10
=
sin 10 cos 10 sin 10 cos 10
2 cos(10 + 60 )
= 1
2 sin 20
2 cos 70
= 1 = 4.
2 sin 20
2. √ √
3 1 3 cos 20 sin 20
sin 20

cos 20
=
sin 20 cos 20
2 sin(60 20 )
= 1 = 4.
2 sin 40
3. 由
sin 20
√
+ 3 cos 20 = 2 sin 80 = 2 cos 10 ,
得
2 cos 10 sin 20
√
= 3 cos 20 .
所以原式为 √3。
4.
√ √
(1 + 3 tan 10 ) cos 40 cos 10
+ 3 sin 10
=
cos 10
cos 40
2 cos 50 cos 40
=
cos 10
2 sin 40 cos 40
=
cos 10
sin 80
= = 1.cos 10
5. √
3 cos 10 + sin 10 = 2 cos(10 30 ) = 2 cos 20 ,
故原式为 1。
6. √
cos 20 + 3 sin 20 = 2 cos(20 60 ) = 2 cos 40 ,
故原式为 1。
7. √
3 cos 20 sin 20 = 2 sin(60 20 ) = 2 sin 40 ,
故原式为 1。
4
特殊角三角恒等变形计算训练（30题）
8. √
cos 10 3 sin 10 = 2 cos(10 + 60 ) = 2 cos 70 = 2 sin 20 ,
故原式为 1。
B组详解
9. 因为
tan 10
√
tan 30 + tan 20
3
= = ,1 tan 10 tan 20 3
所以 √
tan 10 + tan 20 3= (1 tan 10 tan 20 ) .
3
√
移项即得原式为 33 。
10. 因为 10 + 50 = 60 ，所以
√
tan 10 + tan 50 = 3 (1 tan 10 tan 50 ) .
故原式为 √3。
11. 因为 20 + 40 = 60 ，所以
√
tan 20 + tan 40 = 3 (1 tan 20 tan 40 ) .
故原式为 √3。
12. 因为 40 10 = 30 ，所以
√
tan 40 tan 10 3= (1 + tan 40 tan 10 ) .
3
√
故原式为 33 。
√
13. 因为 50 20 = 30 ，同理原式为 33 。
14. 因为 70 10 = 60 ，所以
√
tan 70 tan 10 = 3 (1 + tan 70 tan 10 ) .
故原式为 √3。
C组详解
15.
sin 10 + sin 50 = 2 sin 30 cos 20 = cos 20 = sin 70 ,
故原式为 1。
5
特殊角三角恒等变形计算训练（30题）
16.
cos 50 + cos 70 = 2 cos 60 cos 10 = cos 10 ,
故原式为 1。
17.
sin 20 + sin 40 = 2 sin 30 cos 10 = cos 10 = sin 80 ,
故原式为 1。
18. √
cos 20 + cos 40 = 2 cos 30 cos 10 = 3 cos 10 ,
故原式为 √3。
19. √
sin 40 sin 20 = 2 cos 30 sin 10 = 3 sin 10 ,
故原式为 √3。
20.
sin 70 sin 10 = 2 cos 40 sin 30 = cos 40 ,
故原式为 1。
21.
cos 10 cos 70 = 2 sin 40 sin( 30 ) = sin 40 ,
故原式为 1。
22.
cos 20 cos 40 = 2 sin 30 sin( 10 ) = sin 10 ,
故原式为 1。
23.
sin 80 sin 40 = 2 cos 60 sin 20 = sin 20 ,
故原式为 1。
24.
cos 40 + cos 80 = 2 cos 60 cos 20 = cos 20 ,
故原式为 1。
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特殊角三角恒等变形计算训练（30题）
D组详解
先证明两条通用恒等式。由积化和差，
2 sin(60 + ) sin(60 ) = cos 2 + 1 .
2
两边乘以 2 sin ，得
4 sin sin(60 + ) sin(60 ) = 2 sin cos 2 + sin = sin 3 .
同理，
2 cos(60 + ) cos(60 ) 1= cos 2 ,
2
两边乘以 2 cos ，得
4 cos cos(60 + ) cos(60 ) = cos 3 .
25. 令 = 10 ，则
4 sin 10 sin 70 sin 50 = sin 30 1= .
2
所以 8 sin 10 sin 50 sin 70 = 1。
26. 令 = 20 ，则
4 cos 20 cos 80 cos 40 = cos 60 1= .
2
所以原式为 1。
27. 令 = 20 ，由正弦连乘公式得
√
4 sin 20 sin 80 sin 40 = sin 60 3= .
2
所以原式为 √3。
28. 令 = 10 ，由余弦连乘公式得
√
4 cos 10 cos 70 cos 50 = cos 30 3= .
2
所以原式为 √3。
29.
√
tan 20 tan 40 tan 80 sin 20 sin 40 sin 80
3/8 √
=
cos 20
= = 3.
cos 40 cos 80 1/8
30.
√
tan 10 tan 50 tan 70 sin 10 sin 50 sin 70
1/8 3
=
cos 10
= = .
cos 50 cos 70 √3/8 3
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特殊角三角恒等变形计算训练（30题）
五、代表题的其他解法
1.第 11题的第二种解法：统一化为正弦、余弦
令 √
= tan 20 + tan 40 + 3 tan 20 tan 40 .
通分得 √
sin 60 + 3 sin 20 sin 40
= .cos 20 cos 40
又因为
cos 20 cos 40 sin 20 sin 40 cos 60 1= = ,
2
所以
√ √ √
3 cos 20 cos 40 3= + 3 sin 20 sin 40 .
2
√
而 sin 60 = 32 ，故分子恰等于
√ √
3 cos 20 cos 40 ，从而 = 3。
2.第 25题的第二种解法：连续积化和差
8 sin 10 sin 50 sin 70 = 4 sin 10 ((cos 20 co)s 120 )
= 4 sin 10 cos 20 + 1
2
= 4 sin 10 cos 20 + 2 sin 10
= 2 (sin 30 sin 10 ) + 2 sin 10 = 1.
3. A组的统一辅助角法
只要出现 √ √ √cos ± 3 sin 或 3 cos ± sin ，就把 1与 3看作 2 cos 60 与 2 sin 60 ，例如
√
cos + 3 sin = 2 cos( 60 ),
√
cos 3 sin = 2 cos( + 60 ),
√
3 cos + sin = 2 cos( 30 ),
√
3 cos sin = 2 cos( + 30 ).
这四条不是新的公式，而是两角和差公式的直接应用。
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特殊角三角恒等变形计算训练（30题）
六、命题思路
这些题通常是从标准公式“倒着设计”的。
第一类，命题者先选取 30 或 60 ，再把 tan 30 、tan 60 的和差公式展开，于是自然出现
“两个正切之和加上乘积项”的结构。
第二类，命题者先选中点为30 、40 或60 ，再把和差化积公式反向展开，于是得到10 , 20 , 40 , 50 , 70 , 80
等角。
第三类，命题者利用 , 60 , 60 + 三个角组成三倍角结构。取 = 10 就产生 10 , 50 , 70 ；
取 = 20 就产生 20 , 40 , 80 。
第四类，命题者把简单恒等式乘上分母、移项或取倒数，使题面看起来复杂，但核心仍然
只是一个角的和差公式。
七、内在模型
这组题的内在模型可以概括为“角度闭合”。所谓闭合，是指题目中的陌生角经过加、减、
取中点或补角后，能够回到 30 , 60 , 90 等标准角。
因此，解题时不要追求分别求出 sin 10 、tan 20 的具体值，而应观察：
1. 两角之和或之差是否为 30 、60 ；
2. 两角的平均数是否为 30 、40 、60 ；
3. 三个角是否可以写成 , 60 , 60 + ；
4. 是否能利用 sin(90 ) = cos 完成最后一步。
真正需要记忆的不是三十道答案，而是四种结构：辅助角、正切和差、和差化积、三倍角连
乘。
八、改编规律总结
本套 30题已经按四类方向完成了系统改编：
√
1. 系数改编：把 1, 3配成 30 或 60 的正弦、余弦系数；
2. 角度改编：把角度改成和或差为 30 , 60 的组合；
3. 结构改编：在正切公式中把分母移到等式另一边，形成“和加乘积”或“差减乘积”；
4. 层级改编：由两角和差升级到三角连乘，再由正弦、余弦连乘推出正切连乘。
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特殊角三角恒等变形计算训练（30题）
练习时建议先遮住答案，用“识别结构—选公式—凑标准角—检查定义域”四步完成。每题
若超过两分钟仍没有方向，应重新检查角度之间的和、差、中点以及是否围绕 60 对称。
10

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