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冀教版（2024）八年级下册 21.5 矩形 暑期巩固
根据矩形的性质求角度
1、如图，点E是矩形ABCD外一点，连接AE，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G．∠2＝118°．则∠1的度数为（　　）
A.12° B.18° C.22° D.28°
2、如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠ACB＝40°．则∠E的度数是（　　）
A.40° B.50° C.60° D.70°
3、如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠EFC＝α，则∠BAF的度数为（　　）
A.2α﹣90° B.45°+ C. D.90°﹣α
4、如图，在长方形ABCD中，在线段AD上任取一点E（点E不和点A，D重合），连接CE，过点B作BF∥CE交DA的延长线于点F，∠DCE的平分线和∠CBF的平分线交于点G，则∠BGC＝ °．
5、点E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若，∠ACB＝65°，则∠E＝ ．
6、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F是AC上两点，且AE＝CF．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若∠AOB＝50°，∠OBF＝15°，求∠OED的度数．
根据矩形的性质求线段长
1、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长为（　　）
A.4 B.8 C.4 D.4
2、在长方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（　　）
A. B. C.3 D.4
3、如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于点G，交CD于F，则CF的长是（　　）
A. B. C.3 D.2
4、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E为BC上一点，CE＝4，M为BC的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且PE＝2QE．若PD和AQ交于点F，连接MF，则MF的最小值为 ．
5、已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个点，AE＝FC．
（1）判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）若四边形EGFH为矩形，求AE的长度．
根据矩形的性质求面积
1、如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝6，DG＝8，FG＝10，则矩形ABCD的面积是（　　）
A.190 B.192 C.194 D.196
2、矩形的边长是4cm，一条对角线的长是cm，则矩形的面积是（　　）
A.16cm2 B. C. D.
3、将两张完全相同的矩形纸片如图所示叠放，使两个矩形的一条对角线重合．若两个矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为（　　）
A. B. C. D.
4、如图，矩形ABCD中，∠ACD＝30°，边AD＝2，DM⊥AC于点M，连接BM，则图中阴影部分的面积是 ．
5、长方形ABCD中．△APB的面积是36cm2，△CQD的面积是15cm2，阴影四边形EPFQ的面积是 cm2．
6、如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，将△ABC补成一个矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形的另一边上．
（1）请用三角板画出一个矩形的示意图．
（2）若AB＝4，求出你所画矩形的面积．
利用矩形的性质证明
1、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P，DP的延长线交AB于G．下列结论：①PF＝2.5；②PF⊥DG；③．其中结论正确的有（　　）
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
2、如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　）
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线AC的长度变小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
3、如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长，交CD于点F，DE交BF于点O．有下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE．其中正确的是
4、如图，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转得到矩形A1B1C1D，点B的对应点B1恰好落在AB的延长线上，B1C1与AD交于P点，连接B1D和BD，求证：AB＝AB1．
添加一条件使四边形是矩形
1、如图，添加下列一个条件可以使 ABCD成为矩形的是（　　）
A.AB＝BC B.∠D＝120° C.∠A+∠C＝120° D.∠B＝∠C
2、如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）
A.MB＝MO B.OM＝AC C.BD⊥AC D.∠AMB＝∠CND
3、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DF∥EG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
4、如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为矩形．
5、如图，在 ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：AD＝CF；
（2）请添加一个条件，使得四边形ACFD为矩形．（不需要证明）
证明四边形是矩形
1、有三个角是 的四边形是矩形．
2、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是 ．
3、如图，点E在 ABCD的边BC延长线上，且BC＝CE，∠ADB＝∠E．
试说明四边形ABCD是矩形．
4、如图，AB＝AC，AE＝AF，且∠EAB＝∠FAC，EF＝BC，求证：四边形EBCF是矩形．
矩形的判定定理的实际应用
1、如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（　　）
A.测量一组对边是否平行且相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中的三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等
2、要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（　　）
A.测量四边形画框的两个角是否为90°
B.测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C.测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D.测量四边形画框的四边是否相等
3、如图，这是一个木质的平行四边形框架，木匠师傅常常通过测量平行四边形框架的对角线是否相等来检验框架是否为矩形，则木匠师傅此种检验方法的依据是（　　）
A.有一个内角为90°的平行四边形是矩形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.有一个内角为90°的四边形是矩形
D.对角线相等的四边形为矩形
4、一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 ．
5、检查你教室里的方桌面是不是矩形，如果只有一根足够长的绳子，应如何检查？解释其中的道理．
综合应用矩形的判定和性质求解
1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　）
A. B.13 C. D.
2、我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形ABCD就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形ABCD面积的是（　　）
A.BM与DM的积 B.BE与DE的积 C.BM与DE的积 D.BE与DM的积
3、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是 ．
4、如图，已知钝角△ABC，∠ACB＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，过点A作CD的垂线交CD点H，若CH＝3，则AB＝ ．
5、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
6、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△DOE的面积．
综合应用矩形的判定和性质证明
1、为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（　　）
①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B、D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变．
A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④
2、如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC．下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4．其中正确的有（　　）
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
3、如图，在 ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠DAB的平分线AE与∠ABC的平分线BE交于点E，过D作DF⊥AE于点F，过C作CG⊥BE于点G，DF与CG的延长线交于点H，连接FG．下列结论：①DF平分∠ADC；②四边形EFHG为矩形；③FG∥CD；④FG＝4，正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4、如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为 ．
5、如图，BD平分∠ABF，点A是射线BM上一点，过点A作AD∥BN交BG于点D，过A作AE⊥BN，过点D作DF⊥BN．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）在BF上取点C使得CF＝BE，连接AC、CD．求证：AD=AB．
冀教版（2024）八年级下册 21.5 矩形 暑期巩固（参考答案）
根据矩形的性质求角度
1、如图，点E是矩形ABCD外一点，连接AE，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G．∠2＝118°．则∠1的度数为（　　）
A.12° B.18° C.22° D.28°
【答案】D
【解析】点E是矩形ABCD外一点，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G，∠2＝118°，
∴AD∥BC，
∴∠EFD＝∠2＝118°，
∵EG⊥AE，
∴∠E＝90°，
∵∠EFD＝∠1+∠E，
∴∠1＝∠EFD﹣∠E＝28°，
故选：D．
2、如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠ACB＝40°．则∠E的度数是（　　）
A.40° B.50° C.60° D.70°
【答案】D
【解析】连接BD交AC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，
∵BE＝AC，
∴BD＝BE，
∴∠E＝∠BDE，
∵BF＝DF＝BD，CF＝AF＝AC，
∴BF＝CF，
∴∠DBE＝∠ACB＝40°，
∵∠BDE+∠E＝2∠E＝180°﹣∠DBE＝140°，
∴∠E＝70°，
故选：D．
3、如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠EFC＝α，则∠BAF的度数为（　　）
A.2α﹣90° B.45°+ C. D.90°﹣α
【答案】A
【解析】延长AE，交BC的延长线于点G，如图所示：
在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，AD∥BC，
∴∠ECG＝90°，
∵E为CD边中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴AE＝GE，
∵EF⊥AE，
∴EF垂直平分AG，
∴AF＝GF，
∴∠FAE＝∠G，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠G，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠AED+∠FEC＝90°，
∴∠FEC＝∠DAE＝，
∵∠FEC+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣＝α，
∴∠BAF＝2α﹣90°，
故选：A．
4、如图，在长方形ABCD中，在线段AD上任取一点E（点E不和点A，D重合），连接CE，过点B作BF∥CE交DA的延长线于点F，∠DCE的平分线和∠CBF的平分线交于点G，则∠BGC＝ °．
【答案】45．
【解析】如图，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEC+∠BCE＝180°，
∵BF∥CE，
∴∠CBF+∠BCE＝180°，
∴∠CBF＝∠AEC，
∵CG是∠DCE的角平分线，BG是∠CBF的角平分线，
∴∠ECG＝∠DCG，∠CBG＝∠FBG，
设∠ECG＝∠DCG＝x，则∠BCE＝90°﹣2x，
∴∠CBF＝180°﹣（90°﹣2x）＝90°+2x，
∴∠CBG＝∠FBG＝∠CBF＝45°+x，
∴∠CBG+∠BCE+∠ECG＝45°+x+90°﹣2x+x＝135°，
∴∠BGC＝180°﹣（∠CBG+∠BCE+∠ECG）＝180°﹣135°＝45°，
故答案为：45．
5、点E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若，∠ACB＝65°，则∠E＝ ．
【答案】50°．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠OBC＝∠OCB＝65°，
∴∠BOE＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝50°，
∵，
∴OB＝BE，
∴∠E＝∠BOE＝50°，
故答案为：50°．
6、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F是AC上两点，且AE＝CF．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若∠AOB＝50°，∠OBF＝15°，求∠OED的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠AOB＝50°，∠OBF＝15°，
∴∠OFB＝∠AOB﹣∠OBF＝35°．
由（1）知OB＝OD，OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BF∥DE，
∴∠OED＝∠OFB＝35°．
根据矩形的性质求线段长
1、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长为（　　）
A.4 B.8 C.4 D.4
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
∴AC＝2OA＝8，
故选：B．
2、在长方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（　　）
A. B. C.3 D.4
【答案】A
【解析】作EF⊥AC于点F，则∠AFE＝∠CFE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，CB＝12，
∴∠B＝90°，
∴EB⊥AB，AC＝＝＝13，
∵AE平分∠BAC，
∴FE＝BE，
在Rt△AFE和Rt△ABE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），
∴AF＝AB＝5，
∵FE2+CF2＝CE2，且CF＝13﹣5＝8，CE＝12﹣BE，
∴BE2+82＝（12﹣BE）2，
∴BE＝，
故选：A．
3、如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于点G，交CD于F，则CF的长是（　　）
A. B. C.3 D.2
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，AE＝AD＝10，CD＝6，
∴BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，
∴BE＝＝＝8，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，
∵AF⊥DE于点G，交CD于F，
∴AF垂直平分DE，
∴EF＝DF＝6﹣CF，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴22+CF2＝（6﹣CF）2，
解得CF＝，
故选：B．
4、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E为BC上一点，CE＝4，M为BC的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且PE＝2QE．若PD和AQ交于点F，连接MF，则MF的最小值为 ．
【答案】．
【解析】当P和Q在E点重合时，F在点E处，当PQ两点分别到B和C时，F在对角线交点O处，所以F的运动轨迹就是线段EO，
∴当MF⊥EO时，MF最小，
∵O是BD中点，M是BC中点，
∴OM＝CD＝4，且OM⊥BC，CM＝BC＝6，
∵CE＝4，
∴EM＝CM﹣CE＝2，
在Rt△OME中，OE＝＝2，
∵MF⊥OE，
∴根据等面积得MF＝＝．
即MF的最小值为，
故答案为：．
5、已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个点，AE＝FC．
（1）判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）若四边形EGFH为矩形，求AE的长度．
【答案】解：（1）四边形EGFH是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝BG＝AB，CH＝DH＝CD，
∴AG＝CH，
在△AEG与△CFH中，
，
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴GE＝HF，
同理：GF＝HE，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（3）连接GH交AC于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠B＝90°，OA＝OC，
∴AC＝＝＝5，
∴OA＝OC＝AC＝，
∵G，H分别是AB，DC的中点，
∴BG＝CH，
∴四边形BCHG是平行四边形，
∴GH＝BC＝4，
∵四边形EGFH是矩形，
∴EF＝GH＝4，OE＝OF＝EF＝2，
分两种情况：
①点E在OA上，点F在OC上时，如图1，
AE＝OA﹣OE＝﹣2＝；
②点E在OC上，点F在OA上时，如图2，
AE＝OA+OE＝+2＝；
综上所述，若四边形EGFH为矩形，AE的长度为或．
根据矩形的性质求面积
1、如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝6，DG＝8，FG＝10，则矩形ABCD的面积是（　　）
A.190 B.192 C.194 D.196
【答案】B
【解析】在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵F，G分别是BE，CE的中点，
∴AF＝BE，DG＝CE，FG是△BEC的中位线，
∴FG＝BC，
∵AF＝6，DG＝8，FG＝10，
∴BE＝12，CE＝16，BC＝20，
∵BE2+CE2＝144+256＝400，BC2＝400，
∴BE2+CE2＝BC2，
∴△BEC是直角三角形，∠BEC＝90°，
∴S△BEC＝BE EC＝×12×16＝96，
∴矩形ABCD的面积＝2S△BEC＝2×96＝192，
故选：B．
2、矩形的边长是4cm，一条对角线的长是cm，则矩形的面积是（　　）
A.16cm2 B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意及勾股定理得矩形另一条边为，
∴矩形的面积＝．
故选：C．
3、将两张完全相同的矩形纸片如图所示叠放，使两个矩形的一条对角线重合．若两个矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：CF＝BC＝1，∠F＝∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠CAF，
∵AF∥CE，
∴∠ACG＝∠CAF，
∴∠ACG＝∠BAC，
∴AG＝CG，
设AG＝x，则CG＝x，BG＝2﹣x，
在Rt△CGB中，由勾股定理得：CG2＝CB2+BG2，
∴12+（2﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∵两张完全相同的矩形纸片，
∴CH∥AG，AH∥CG，
∴四边形AHCG是平行四边形，
∴重叠部分图形的面积＝AG BC＝×1＝．
故选：D．
4、如图，矩形ABCD中，∠ACD＝30°，边AD＝2，DM⊥AC于点M，连接BM，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】3．
【解析】过点B作BN⊥AC于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAM＝∠BCN，
∴△ADM≌△CBN（AAS），
∴DM＝BN，
∵∠ACD＝30°，
∴∠DAC＝60°，
∵AD＝2，
∴AM＝，DM＝3，DC＝6，
∴BN＝3，
∴＝，，
＝6，
∴S△DMB＝S△ABD﹣S△AMB﹣S△ADM＝6﹣＝3．
故答案为：3．
5、长方形ABCD中．△APB的面积是36cm2，△CQD的面积是15cm2，阴影四边形EPFQ的面积是 cm2．
【答案】51．
【解析】连接EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴S△ABF＝S△EBF，
∴S△PEF＝S△ABP＝36cm2，
同理S△QEF＝S△CDQ＝15cm2，
∴阴影四边形EPFQ的面积＝S△PEF+S△QEF＝36+15＝51（ cm2）．
故答案为：51．
6、如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，将△ABC补成一个矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形的另一边上．
（1）请用三角板画出一个矩形的示意图．
（2）若AB＝4，求出你所画矩形的面积．
【答案】解：（1）如图，矩形BCDE即为所求；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠BAF＝30°，AC＝AB＝4，
∴BF＝AB＝2，
∴△ABC的面积＝AC BF＝4×2＝4，
∴所画矩形BCDE的面积＝2倍的△ABC的面积＝8．
利用矩形的性质证明
1、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P，DP的延长线交AB于G．下列结论：①PF＝2.5；②PF⊥DG；③．其中结论正确的有（　　）
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【答案】D
【解析】连接GF，由矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P，
得PF＝BF＝CF＝2.5，故①对；
由DE＝AD＝BC＝BF，DE∥BF，
得四边形BEDF是平行四边形，
得BE∥DF，
得CP⊥DF，
由PF＝CF，
得CP垂直平分DF，
得PD＝CD＝3，
得△DPF≌△DCF（SSS），
得∠DPF＝∠DCF＝90°，即PF⊥DG，故②对；
由∠GPF＝∠GBF＝90°，PF＝BF，GF＝GF，
得△GPF≌△GBF（HL），
得BG＝PG＝x，
由AG2+AD2＝GD2，
得（3﹣x）2+52＝（3+x）2，
得PG＝x＝，故③对．
故选：D．
2、如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　）
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线AC的长度变小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
【答案】C
【解析】向右扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意；
此时对角线AC不变，B不合题意；
BC边上的高减小，故面积变小，C符合题意；
四边形的四条边不变，故周长不变，D不符合题意，
故选：C．
3、如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长，交CD于点F，DE交BF于点O．有下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE．其中正确的是
【答案】①②③④
【解析】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AE＝AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正确；
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正确；
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；
∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，
∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确；
故答案为：①②③④．
4、如图，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转得到矩形A1B1C1D，点B的对应点B1恰好落在AB的延长线上，B1C1与AD交于P点，连接B1D和BD，求证：AB＝AB1．
【答案】证明：由旋转的性质得B1D＝BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵点B的对应点B1恰好落在AB的延长线上，
∴DA⊥BB1，
∵B1D＝BD，
∴点A是BB1的中点，
∴AB＝AB1．
添加一条件使四边形是矩形
1、如图，添加下列一个条件可以使 ABCD成为矩形的是（　　）
A.AB＝BC B.∠D＝120° C.∠A+∠C＝120° D.∠B＝∠C
【答案】D
【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC
∴ ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝120°
∴四边形ABCD不是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠C＝120°
∴∠A＝∠C＝60°，
∴四边形ABCD不是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
又∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
2、如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）
A.MB＝MO B.OM＝AC C.BD⊥AC D.∠AMB＝∠CND
【答案】B
【解析】添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM＝AC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，
即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM＝AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：B．
3、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DF∥EG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
【答案】∠DFG＝90°（答案不唯一）．
【解析】添加条件为：∠DFG＝90°，理由如下：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵DF∥EG，
∴四边形DFGE是平行四边形，
又∵∠DFG＝90°，
∴平行四边形DFGE是矩形，
故答案为：∠DFG＝90°（答案不唯一）．
4、如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为矩形．
【答案】O是AB的中点．
【解析】添加条件为：O是AB的中点，理由如下：
∵CD∥MN，
∴∠OCB＝∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC＝∠CBM，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
同理可证：OB＝OD，
∴OB＝OC＝OD，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB，
∴AB＝CD，
∴平行四边形ACBD是矩形，
故答案为：O是AB的中点．
5、如图，在 ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：AD＝CF；
（2）请添加一个条件，使得四边形ACFD为矩形．（不需要证明）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵E为CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF；
（2）解：添加AF＝CD（答案不唯一），理由如下：
由（1）可知，AD∥CF，AD＝CF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
又∵AF＝CD，
∴平行四边形ACFD为矩形．
证明四边形是矩形
1、有三个角是 的四边形是矩形．
【答案】直角．
【解析】有三个角都是直角的四边形是矩形，
故答案为：直角．
2、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是 ．
【答案】矩形
【解析】已知：AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
求证：四边形EFGH是矩形
证明：∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，（三角形的中位线平行于第三边）
∴四边形EFGH是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO＝∠ENO＝90°，
∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴∠MEN＝90°，
∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
3、如图，点E在 ABCD的边BC延长线上，且BC＝CE，∠ADB＝∠E．
试说明四边形ABCD是矩形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBE，
∵∠ADB＝∠E，
∴∠E＝∠DBC，
∴DB＝DE，
∴△DBE是等腰三角形，
∵BC＝CE，
∴DC⊥EB，
∴∠DCB＝90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
4、如图，AB＝AC，AE＝AF，且∠EAB＝∠FAC，EF＝BC，求证：四边形EBCF是矩形．
【答案】解：∵AE＝AF，∠EAB＝∠FAC，AB＝AC，
∴△AEB≌△AFC，
∴EB＝FC，∠ABE＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠EBC＝∠FCB，
∵EB＝FC，EF＝BC，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴EB∥FC，
∴∠EBC+∠FCB＝180°，
∴∠EBC＝∠FCB＝90°，
∴平行四边形EBCF是矩形．
矩形的判定定理的实际应用
1、如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（　　）
A.测量一组对边是否平行且相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中的三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等
【答案】C
【解析】A、测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意；
B、测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意；
C、测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意；
D、测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意；
故选：C．
2、要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（　　）
A.测量四边形画框的两个角是否为90°
B.测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C.测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D.测量四边形画框的四边是否相等
【答案】B
【解析】A、测量四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；
C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C不符合题意；
D、测量四边形画框的四边是否相等，能判定为菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
3、如图，这是一个木质的平行四边形框架，木匠师傅常常通过测量平行四边形框架的对角线是否相等来检验框架是否为矩形，则木匠师傅此种检验方法的依据是（　　）
A.有一个内角为90°的平行四边形是矩形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.有一个内角为90°的四边形是矩形
D.对角线相等的四边形为矩形
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平四边形，且AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，
∴木匠师傅通过测量平行四边形框架的对角线是否相等来检验框架是否为矩形的依据为“对角线相等的平行四边形是矩形”，
故选：B．
4、一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 ．
【答案】有一个角为直角的平行四边形是矩形．
【解析】∵在一边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次得到的两条边平行，
∴得到了一个平行四边形，
∵与两边分别垂直，
∴就能得到矩形踏板，
故答案为：有一个角为直角的平行四边形是矩形．
5、检查你教室里的方桌面是不是矩形，如果只有一根足够长的绳子，应如何检查？解释其中的道理．
【答案】解：因为两组对边相等的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形．
所以，先量两组对边的长度是否相等，确定是不是平行四边形，再量两条对角线是否等长，确定是矩形．
根据对角线相等的平行四边形是矩形．
综合应用矩形的判定和性质求解
1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　）
A. B.13 C. D.
【答案】C
【解析】∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，
∴BC＝＝13，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故选：C．
2、我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形ABCD就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形ABCD面积的是（　　）
A.BM与DM的积 B.BE与DE的积 C.BM与DE的积 D.BE与DM的积
【答案】A
【解析】设小正方形EFCG的边长为x，设BM＝BF＝a，DG＝DM＝b，
则AB＝a+x，BC＝b+x，
∴AC＝a+b，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
即（a+b）2＝（a+x）2+（b+x）2，
整理得，x2+（a+b）x＝ab，
矩形的面积为：（a+x）（b+x）＝x2+（a+b）x+ab＝2ab，
∴该矩形的面积为2ab．
∴矩形的面积是BM与DM的积，
故选：A．
3、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是 ．
【答案】12
【解析】∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
同理EF∥HG，EF＝HG，
又∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积＝EF×EH＝AC×BD＝×8××6＝12．
4、如图，已知钝角△ABC，∠ACB＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，过点A作CD的垂线交CD点H，若CH＝3，则AB＝ ．
【答案】6
【解析】如图，延长BC到M，使得CM＝CA，作CN⊥AM于N．
∵CA＝CM，
∴∠M＝∠CAM，
∴∠ACB＝∠M+∠CAM＝2∠A，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠M＝∠B，
∴AM＝AB，
∵CH平分∠ACB，
∴∠ACH＝∠ACB＝∠CAM，
∴CH∥AM，
∵AH⊥CH，
∴AH⊥AM，
∴∠H＝∠HAN＝∠ANC＝90°，
∴四边形AHCN是矩形，
∴CH＝AN，
∴CA＝CM，CN⊥AM，
∴AN＝NM＝CH＝3，
∴AB＝AM＝6，
故答案为：6．
5、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵CE∥AD，
∴∠ECD＝∠ADB＝90°，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BC＝4，
∴BD＝CD＝BC＝2，
由（1）可知：四边形ADCE是矩形，
∵AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，AE＝2，CE＝3，
由勾股定理得：AC＝＝，
∵EF⊥AC，
由三角形的面积公式得：S△AEC＝AC EF＝AE CE，
∴EF＝＝．
6、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△DOE的面积．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，OC＝CD．
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵EC＝CO，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+75°＝135°；
（3）解：作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵∠OCB＝30°，AB＝2，
∴BC＝2，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△DOE的面积＝△BOE的面积＝ EB OF＝×（2﹣2）×1＝﹣1．
综合应用矩形的判定和性质证明
1、为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（　　）
①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B、D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变．
A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④
【答案】B
【解析】①由有一个角是直角的四边形是矩形可知此时四边形ABCD由平行四边形变为矩形，
故①正确；
②B、D两点之间的距离不断变化，
故②错误；
③由底BC不变，高不断变化可知，四边形ABCD的面积不断变化，
故③错误；
④由四边形的长度不变可知四边形ABCD的周长不变，
故④正确．
所以正确的说法有①④．
故选：B．
2、如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC．下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4．其中正确的有（　　）
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
【答案】B
【解析】∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝∠A＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABED是矩形，故②正确；
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴DC＝BC，故①正确；
∵BD≠CD，
∴点E不是BC的中点，故③错误；
∵BE＝AD＝2，BC＝CD＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝3，
∴DE＝AB＝＝4，故④正确，
∴正确的有①②④，
故选：B．
3、如图，在 ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠DAB的平分线AE与∠ABC的平分线BE交于点E，过D作DF⊥AE于点F，过C作CG⊥BE于点G，DF与CG的延长线交于点H，连接FG．下列结论：①DF平分∠ADC；②四边形EFHG为矩形；③FG∥CD；④FG＝4，正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】（1）延长BE交DC于Q．
∵ ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF+∠FAB+∠ABG+∠EBC＝180°，
∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠DAF＝∠FAB，∠ABG＝∠GBC，
∴∠FAB+∠ABG＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵DF⊥AE，CG⊥BE，
∴∠EFH＝∠EGH＝90°，
∴四边形EFHG为矩形．
∴DH∥BQ，
∴∠HDC＝∠BQC．
∵ ABCD，
∴CD∥BA，
∴∠BQC＝∠ABG，
∴∠ABG＝∠HDC．
∵ ABCD，
∴∠ADC＝∠ABC，
∴∠ADF＝∠GBC＝∠ABG＝∠HDC，
∴DF平分∠ADC；
故①正确．
（2）在（1）中已经证明四边形EFHG为矩形，
故②正确．
（3）延长BE交DC于Q，延长DH交AB于R，
由（1）知：∠QCG＝∠BCG，CG⊥BQ，
∴∠BQC＝∠GBC，
∴CQ＝CB，
∴QG＝BG＝QB，
同理：DF＝FR＝DR，
∵DQ∥RB，DR∥QB，
∴四边形DRBQ为 ，
∴DR＝QB，
∴FR＝GB，
∴四边形FRBG为 ，
∴FG∥CD，
故③正确．
（4）如图，延长DH交AB于R，延长BE交DC于Q，延长AE交DC于M，延长HE交DC于N．
由∠ADF＝∠MDF，DF＝DF，∠AFD＝∠MFD＝90°，
得△ADF≌△MDF（ASA），
∴DM＝DA＝8，
∴CM＝DC﹣DM＝4，
同理DQ＝4，
∴QM＝DC﹣DQ﹣MC＝4，
由③知FRBG为 ，DRBQ为 ，
∴FG＝RB＝DQ＝4．
故④正确．
故选：D．
4、如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为 ．
【答案】DF＝DE且DF⊥DE．
【解析】如图，连接AD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC，
∴AD＝BD＝DC，∠C＝∠BAD＝45°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AFP＝∠AEP＝∠EAF＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，∠C＝∠EPC＝45°，
∴PE＝AF，PE＝EC，
∴AF＝EC，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE，
∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDP，
∴∠FDE＝∠ADC＝90°
故答案为DF＝DE且DF⊥DE．
5、如图，BD平分∠ABF，点A是射线BM上一点，过点A作AD∥BN交BG于点D，过A作AE⊥BN，过点D作DF⊥BN．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）在BF上取点C使得CF＝BE，连接AC、CD．求证：AD=AB．
【答案】证明：（1）∵AE⊥BN，DF⊥BN，
∴AE∥DF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BN，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形AEFD是矩形，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB．

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