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2025--2026学年第二学期初二数学（2024版）期终复习一
一．选择题（共10小题）
1．某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是（　　）
A．720名学生是总体； B．720是样本容量；
C．16个班级是抽取的一个样本 ； D．每名八年级学生的睡眠时间是个体。
2．某校统计了100名学生的身高数据并分成6组，如下表：
组号 1 2 3 4 5 6
频数 20 19 17 18 14
则第4组数据的频率为（　　）
A．0.15 B．0.13 C．0.12 D．0.18
3．下列调查中，适合用普查方法的是（　　）
A．一个班级学生最喜欢的电影； B．一批新型电动车电池的使用寿命；
C．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量； D．公民保护环境的意识水平。
4．一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（　　）
A．24 B．16 C．12 D．8
5．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．投篮一次，恰好命中篮筐； B．掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数为7；
C．两点之间，线段最短； D．打开任意一本数学书，恰好翻到第100页。
第4题第6题
6．一个不透明的袋子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回装中，不断重复，统计白球出现的频率如图所示，则白球的个数最可能是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
7．比例尺为1：40000的地图上，A，B两地距离为2.5cm，则A，B两地实际距离为（　　）
A．1000m B．100m C．10m D．1m
8．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若在 ABCD内随机取点，则点落在△BOC内的概率是（　　）
A． B． C． D．
第8题第9题
9．如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（　　）
A．平行四边形； B．矩形； C．菱形； D．正方形。
10．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，则该方程根的情况是（　　）
A．没有实数根； B．有一个实数根；
C．有两个相等的实数根； D．有两个不相等的实数根。
二．填空题（共8小题）
11．某社区为了解居民每月用水量情况，随机抽取了部分家庭进行调查．调查结果显示，用水量最少的家庭每月用水33吨，用水量最多的家庭每月用水103吨．若制作频数分布表时组距定为9吨，则需要分成　 　 组．
12．为了解某校1000名学生的学习质量，从20个班中每班随机抽取5名学生进行调研，则此次抽样调查的样本容量为　 　 ．
13．某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比．如图是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频数分布直方图．已知从左到右5个小长方形的高的比为t＝2，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（分别大于或等于80分为优秀，且分数为整数）　 　 篇．
第13题第15题
14．每年的6月26日是“世界禁毒日”，为了解某校八年级660位学生对“世界禁毒日”的知晓情况，从中随机抽取100位学生进行调查．在这次调查中，样本容量是　 　 ．
15．王老师对班级50位学生的血型作了统计，列出如图所示的统计表，则该班级AB血型的学生有　 　 位．
第16题 第17题 第18题
16．如图，在 ABCD中，点E在边BC上，AB＝BE，作DF⊥AE于点F，若∠ADF＝54°，则∠B的度数为　 　 °．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，2），过点A的直线与y轴交于点B．将直线AB绕点A按顺时针方向旋转45°得到直线AC，设直线AC与y轴的负半轴交于点C，当AB＝OC时， 　 　 ．
18．如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共11小题）
19．解方程：
（1）x2+2x﹣1＝0； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+16＝0，
（1）若方程的一个根是1，求方程的另一个根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求k的值．
21．在一个不透明的袋子中装有20个球，这些球除颜色外都相同，其中红球8个，白球12个．
（1）将20个球充分混匀，从袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的可能性是 　 　 ；
（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的白球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动，求m的值．
22．从2025年春季学期起，江苏省义务教育学校的课间时间延长至15分钟．某校为了解学生喜欢的课间体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如下所示不完整的两幅统计图，其中A为“匹克球”，B为“羽毛球”，C为“乒乓球”，D为“棒球”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了　 　 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中表示“匹克球”的扇形圆心角的度数为　 　 °；
（4）若全校共有1800名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢羽毛球．
23．如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
24．2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元．
（1）降价后每件T恤衫的利润为　 　 （元），平均每天可售出　 　 件（用含x的代数式表示）；
（2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？
25．先化简，再求值：，其中．
26．苏州工业园区图书馆推出“阅读WE巴”项目，通过七大主题专线将阅读服务精准嵌入城市肌理，带领读者邂逅多种“书”适生活．某校为了解八年级1200名学生每周课外阅读情况，随机抽取了八年级部分学生进行调查，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为n小时，将它分为4个等级：A（0≤n＜2），B（2≤n＜4），C（4≤n＜6），D（n≥6），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是　 　 ，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，A等级对应的扇形圆心角是　 　 °；
（3）估计该校八年级学生每周课外阅读时间不少于6小时的人数．
27．如图，惠游园区“转转卡”涵盖园区六大核心景点，持有人可根据表中规定，在“超值权益”和“特惠权益”中各选一项产品体验．小明购买“转转卡”后，计划在有效期内随机选择两项产品体验．
权益 产品 备注
超值权益 A．“苏州之眼”摩天轮单人票 二选一
B．华谊兄弟电影世界单人票
特惠权益 C．金鸡湖游船（登岛）单人票 四选一
D．苏艺国风剧场单人票
E．比斯特苏州购物村双人下午茶
F．嘉德 宥爱艺术中心单人票
（1）小明在“超值权益”中选择A产品的概率是　 　 ；
（2）求小明选择A产品和C产品的概率．（用画树状图或列表等方法说明）
28．如图，在 ABCD中，BD是对角线．
（1）作BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
29．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF．将该纸片沿EF折叠，点A，B分别落在点G，H处，FH与边AD相交于点M，连接EH．
（1）△EFM面积的最小值为 　 　 ；
（2）求证：DM＝HM；
（3）若△EFH是以EH为腰的等腰三角形，求AE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】D
【解答】解：A．720名八年级学生的睡眠时间是总体，选项说法错误，不符合题意；
B．抽取了100名学生，故样本容量为100，选项错误，不符合题意；
C．抽取的样本是100名学生的睡眠时间，而非16个班级，选项说法错误，不符合题意；
D．每名八年级学生的睡眠时间是个体，选项说法正确，符合题意．故选：D．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，掌握相应的定义是关键．
2．【答案】C【解答】解：根据频数总和为100求出第4组的频数可得：
第4组的频数为100﹣（20+19+17+18+14）＝12，频率为12÷100＝0.12．故选：C．
【点评】本题考查频数与频率．熟练掌握以上知识点是关键．
3．【答案】A
【解答】解：A．一个班级学生最喜欢的电影，适宜采用全面调查方式；B．一批新型电动车电池的使用寿命，宜采用抽样调查方式；C．季冷饮市场上冰淇淋的质量，宜采用抽样调查方式；D．公民保护环境的意识水平，宜采用抽样调查方式；故选：A．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．【答案】B【解答】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在0.4附近，∴摸到红球的概率为0.4，
∴可估计袋子中红色玻璃球的个数为40×0.4＝16，故选：B．
【点评】本题主要考查了用频率估计概率，掌握其相关知识点是解题的关键．
5．【答案】C【解答】解：A、投篮一次恰好命中篮筐，可能发生也可能不发生，是随机事件，不是必然事件，不符合题意；
B、质地均匀的骰子最大点数为6，不可能掷出点数7，是不可能事件，不是必然事件，不符合题意；
C、“两点之间，线段最短”是几何基本性质，一定发生，是必然事件，符合题意；
D、打开任意一本数学书恰好翻到第100页，可能发生也可能不发生，是随机事件，不是必然事件，不符合题意．故选：C．
【点评】本题考查的是随机事件，线段的性质，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
6．【答案】C【解答】解：由频率分布图可知，随着试验次数增加，白球出现的频率稳定在0.6附近，∴白球出现的概率为0.6，∵总球数为20个，
∴白球的个数为20×0.6＝12，故选：C．
【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，掌握其相关知识点是解题的关键．
7．【答案】A【解答】解：2.5100000（cm）＝1000（m）．
∴A，B两地的实际距离为1000m．故选：A．
【点评】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．
8．【答案】C【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，S△AOB＝S△COB＝S△AOD＝S△COD，
∴△BOC的面积占平行四边形ABCD的，∴点落在△BOC内的概率为，故选：C．
【点评】考查几何概率，关键是求出△ABO的面积与平行四边形ABCD的面积之比．
9．【答案】C【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位线，
∴EFAC，FGBD，GHAC，HEBD，
∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH为菱形，故选：C．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的性质、菱形的判定是解题的关键．
10．【答案】D【解答】解：x2+mx﹣1＝0，这里a＝1，b＝m，c＝﹣1．
Δ＝b2﹣4ab＝m2+4．∵m2≥0，∴m2+4＞0，即Δ＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握“Δ＝b2﹣4ab及Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0方程解的情况”和“m2≥0”是解决本题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．【答案】8．
【解答】解：若制作频数分布表时组距定为9吨，则：，
故需要分成8组．故答案为：8．
【点评】本题考查频数分布表，正确进行计算是解题关键．
12．【答案】100．
【解答】解：根据题意可知，样本容量为20×5＝100．故答案为：100．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，掌握总体、个体、样本、样本容量的定义是关键．
13．【答案】27．
【解答】解：根据题意得：（篇），故答案为：27．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图，正确读懂统计图是解题的关键．
14．【答案】100．【解答】解：每年的6月26日是“世界禁毒日”，为了解某校八年级660位学生对“世界禁毒日”的知晓情况，从中随机抽取100位学生进行调查．在这次调查中，样本容量是100，故答案为：100．
【点评】考查总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
15．【答案】10．
【解答】解：该班级AB血型的学生有：50×0.2＝10．故答案为：10．
【点评】本题考查了频数和频率，解答本题的关键是掌握频数＝频率×数据总数．
16．【答案】108．【解答】解：∵DF⊥AE于点F，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF＝54°，
∵∠DAE＝90°﹣∠ADF＝36°，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE＝36°，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA＝36°，
∴∠B＝180°﹣∠BAE﹣∠BEA＝108°，故答案为：108．
【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，求得∠BEA＝∠DAE＝36°是解题的关键．
17．【答案】．
【解答】解：过A作AD⊥y轴于D，过B作AB⊥BE交AC于E，过E作EF⊥y轴于F，
∴∠ADB＝∠ABE＝∠BFE＝90°，∴∠ABD＝∠BEF＝90°﹣∠EBF，
∵将直线AB绕点A按顺时针方向旋转45°得到直线AC，直线AC与y轴的负半轴交于点C，∴∠BAC＝45°，点B必定在y轴的正半轴且在D点下方，
∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝45°，
∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，
∴△ABD≌△BEF（AAS），
∴AD＝BF，BD＝EF，
设B（0，m），则OB＝m，0＜m＜2，
∵点A的坐标是（﹣2，2），
∴AD＝OD＝2，
∴AD＝BF＝2，EF＝BD＝OD﹣OB＝2﹣m，
∴OF＝BF﹣OB＝2﹣m，
∴E（m﹣2，m﹣2）；设C（0，n）（n＜0），
则直线AC解析式为y＝kx+n，代入A（﹣2，2），E（m﹣2，m﹣2），
得，解得，整理得：mn﹣4m+8＝0①，
∵AB＝OC＝﹣n，A（﹣2，2），B（0，m），22+（m﹣2）2＝（﹣n）2．
整理得：m2﹣4m﹣n2+8＝0②②﹣①得，m2﹣mn﹣n2＝0，
∴，解得：（舍去），
或 ，故答案为：．
【点评】考查一次函数，直线的旋转、求一次函数解析式、全等三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，利用45度角构造“一线三垂直”全等三角形是解题的关键．
18．【答案】．
【解答】解：∵四边形DAEF为平行四边形，∴EF＝AD，DF＝AE，
∵E为线段AC上的动点，∴可以看作EF是定线段，平行四边形DAEF在AC方向上水平运动，则如图1，点B的运动轨迹为线段MN，过点E作关于线段MN的对称点E'，
由对称性得BE＝BE'，∴BE+BF＝BE'+BF≥E'F，
图1图2
当且仅当E'、B、F依次共线时，B'E+BF取得最小值E'F，此时如图2，
设AC与BD交于点O，E'E交MN于点H，延长E'E交FD延长线于点G，
菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，∴，BO＝DOBD＝1，AC⊥BD，
由题可得AC∥MN，∴由对称性可得EH⊥HB，∴AC⊥GH，
∴∠OEH＝∠EOB＝∠EHB＝90°，∴四边形EOBH是矩形，∴EH＝EH＝OB＝1，
∵四边形DAEF为平行四边形，∴DF＝AE，DF∥AC，∴GD⊥DO，∴∠GDO＝∠DOE＝∠GEO＝90°，∴四边形DOEG是矩形，∴GD＝EO，GE＝DO＝1，
∴GF＝GD+DF＝EO+AE＝AO＝2，GE'＝GE+EH+E'H＝3，
∴，即BE+BF 的最小值为，故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键．
三．解答题（共11小题）
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵x2+2x＝1，∴x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，
则x+1＝±，∴x＝﹣1±；
（2）∵（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，即（x﹣3）（3x﹣3）＝0，
∴x﹣3＝0或3x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．【答案】（1）16；（2）8或﹣8．
【解答】解：（1）设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得1×t＝16，解得t＝16，即方程的另一个根为16；
（2）根据题意得Δ＝k2﹣4×16＝0，解得k1＝8，k2＝﹣8，即k的值为8或﹣8．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式．
21．【答案】（1）；（2）3．
【解答】解：（1）从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率，
即摸到红球的可能性为；故答案为：；
（2）∵经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动，
∴随机摸出一个白球的概率，∴，解得m＝3，即m的值为3．
【点评】本题考查了可能性的大小，利用实验的方法进行概率估算，当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
22．【答案】（1）40；（2）图形见解析；（3）36；
（4）估计全校有720名学生课间喜欢羽毛球．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生人数为：8÷20%＝40（名），故答案为：40；
（2）喜欢羽毛球的学生人数为：40﹣4﹣12﹣8＝16（名），
补全条形统计图如图：
（3）36036°，∴扇形统计图中表示“匹克球”的扇形圆心角的度数为36°，
（4）1800720（名），答：估计全校有720名学生课间喜欢羽毛球．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB＝BE，∴BE＝DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD＝EC．
在△ABD与△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，∴平行四边形BECD为矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大．
24．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）依题意得：降价x元后，每件衬衫的利润为（30﹣x）元，平均每天的销售量为（40+4x）件．故答案为：（30﹣x）；（40+4x）．
（2）依题意得：（30﹣x）（40+4x）＝1500，解得：x1＝5，x2＝15，
又∵要尽快减少库存、增加盈利，∴x＝15．答：每件商品应降价15元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出降价后每件衬衫的利润及降价后平均每天的销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．【答案】，．
【解答】解： ，
当a1时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
26．【答案】（1）50，补全条形统计图见解答；（2）28.8；（3）384人．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是：12÷24%＝50，
C等级的人数为：50﹣4﹣12﹣16＝18，补全条形统计图如下：
故答案为：50；
（2）在扇形统计图中，A等级对应的扇形圆心角是：360°28.8°，故答案为：28.8；
（3）1200384（人），
答：估计该校八年级学生每周课外阅读时间不少于6小时的人数大约为384人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
27．【答案】（1）．（2）．
【解答】解：（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中小明在“超值权益”中选择A产品的结果有1种，∴小明在“超值权益”中选择A产品的概率为．故答案为：．
（2）列表如下：
C D E F
A （A，C） （A，D） （A，E） （A，F）
B （B，C） （B，D） （B，E） （B，F）
共有8种等可能的结果，其中小明选择A产品和C产品的结果有1种，
∴小明选择A产品和C产品的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
28．【答案】（1）见解答．（2）四边形BEDF为菱形，理由见解答．
【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．
（2）四边形BEDF为菱形．
理由：设EF交BD于点O，∵EF为线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，BF＝DF，OB＝OD．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴DE＝BF，∴BE＝DE＝BF＝DF，∴四边形BEDF为菱形．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
29．【答案】（1）8；（2）证明见解析；（3）AE的长为或3．
【解答】（1）解：由题意得：∠BFE＝∠MFE，
∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠MEF＝∠BFE，∴∠MEF＝∠MFE，
∴ME＝MF，∵，CD＝AB＝4，
∴当ME最小时，△EFM面积取得最小值，∴当MF⊥AD时，MF取得最小值4，
∴△EFM面积的最小值为8．故答案为：8；
（2）证明：连接FD，如图1，
由折叠的性质可得：∠G＝∠A＝∠GHF＝∠B＝90°，AE＝GE，AB＝GH，
∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴CD＝GH，∠G＝∠C＝90°，∵AE＝CF，∴CF＝GE．
在△HGE和△DCF中，，∴△HGE≌△DCF（SAS），
∴EH＝DF，∠EHG＝∠FDC，∴∠EHM＝∠FDM．
在△HME和△DMF中，，∴△HME≌△DMF（AAS），∴DM＝HM；
图1图2
（3）解：若△EFH是以EH为腰的等腰三角形，
①当EH＝EF时，连接EB，过点E作EN⊥BC于点N，如图2，
由折叠的性质可得：BE＝HE，∵EH＝EF，∴BE＝EF，
∵EN⊥BC，∴BN＝NF，∵∠A＝∠ABC＝90°，EN⊥BC，
∴四边形ABNE为矩形，∴AE＝BN，∵AE＝CF，∴BN＝NF＝CF，
∵BC＝8，∴BN＝NF＝CF，∴AE＝CF；
②当EH＝HF时，∵EH＝HF，∴∠HEF＝∠HFE，
由折叠的性质可得：∠BFE＝∠HFE，∴∠BFE＝∠HEF，∴HE∥BF，
∴此时点H落在AD上，连接BE，如图3，
图3
由折叠的性质可得：BE＝HE，设AE＝x，则EH＝BE＝8﹣x，
∵∠A＝90°，∴AB2+AE2＝BE2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3．∴AE＝3．
综上，若△EFH是以EH为腰的等腰三角形，AE的长为或3．
【点评】本题主要考查了长方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，添加适当的辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键．
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