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2025-2026学年度第三次质量监测
九年级数学试题
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置）
1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．纳米科技是新兴科技，1纳米=米，则5纳米用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“文”“明”“自”“由”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“200米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“跳远”与“100米”两个项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知是的直径，，是上的点，且与交于点，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，对角线与交于点，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，交于点，②分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A． B．6 C． D．4
10．我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的3分函数为．
若是二次函数关于的分函数（其中为常数）．则下列结论中
①当时，的最小值为；
②当时，若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上；
③当时，若时，的最大值是5，最小值是，则的最大值为．描述中正确的是（ ）
A．② B．①② C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是_______．
12．已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______．
13．是关于的一元二次方程的解，则________．
14．如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是_______．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点和点，则关于的不等式的解集是_______．
16．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_______．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18．（8分）如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，且．求证：．
19．（8分）已知：及其一边上的两点，．求作：以为底的等腰，使点在的内部，且．
20．（8分）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
21．（9分）为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①），在侧面示意图中（图②），遮阳棚长为4米，从点看棚顶顶点的仰角为，靠墙端离地高为5米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
22．（9分）如图，为的直径，、为上的两点，过点的直线交的延长线于点，且，．
（1）求证：是的切线；
（2）若半径为，，求的长．
23．（10分）如图，点和点在反比例函数的图象上，且点在点的右侧，作轴，垂足为点，连接，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图1，若的面积为6，求直线的表达式；
（3）在轴上存在一点，当是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点坐标．
24．（12分）在数学综合实践活动中，同学们以特殊三角形为载体，探究动点背景下的几何问题．研究发现：通过构造全等三角形或相似三角形，可实现线段与角的转化．如图，在中，，，点，分别为，上的动点（不含端点）．
（1）如图1，若，将绕点顺时针旋转得到，判断和的数量关系并说明理由；
（2）如图2，在第（1）问的条件下，作于点，交于点，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
（3）如图3，若，，连接，，求出的最小值．
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九年级数学参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B D D C A C D B D
二、填空题（每小题3分，共18分）
11． 12．有两个不相等的实数根 13．
14． 15．或 16．且
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解：
解不等式①，得
， 3分
解不等式②，得
， 6分
所以该不等式组的解集为， 7分
所以不等式组的整数解为，，0，1，2． 8分
18．证明：∵四边形为菱形，
，． 3分
，
， 6分
，
． 8分
19．解：如下图：即为所求．
8分
20．解：列表如下，
一共有12种等可能的结果，其中甲和乙在一起的有2种情况， （表格列对6分）
因此（选中甲乙）． 8分
21．解：过点作于，过点作于，
，，
由题意，，
，
∴四边形是矩形， 3分
，，
在中，，
，，
，
， 5分
，， 7分
在中，，，
， 8分
，
答：凉荫处的长为米． 9分
22．解：连接，如图，
，
，
，
，
， 2分
，
，
，
是的半径，
是的切线； 4分
【小问2详解】
解：连接，
是的直径，
，
是的切线，
，
，
，
，即：， 6分
，，
，
，
．
∴在中，． 9分
23．解：∵点在反比例函数的图象上，
，
，
∴反比例函数的解析式为． 2分
【小问2详解】
解：设，
轴，垂足为点，
，
的面积为6，
，
解得，
，
设直线的表达式为，则，解得，
∴直线的表达式为． 6分
【小问3详解】
解：设，
，点在点的右侧，
，
当是等腰直角三角形时，分以下3种情况：
若，，
作轴于点，交于点，则，
又轴，垂足为点，
∴四边形为矩形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
， 7分
若，，
作轴于点，作于点，则，，
，
在和中，
，
，
，
，，
解得，
，
， 8分
若，，
作轴于点，作轴于点，则，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
解得，
，
， 9分
∴当是等腰直角三角形时，所有满足条件的点坐标为，，． 10分
24．（12分）【小问1详解】
解：，理由，
绕点顺时针旋转得到，，
，， 1分
又，
，
； 3分
【小问2详解】
解：四边形为平行四边形，理由如下：
，，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
， 5分
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形为平行四边形； 7分
【小问3详解】
解：如图，过点作，使，连接，，延长，过点作于点，
，
， 9分
，
，
∴当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的值， 10分
由题意可得，，，
在中，，
的最小值为10． 12分

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