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四川省内江市威远县凤翔中学2026届中考第三次模拟考试数学试题
A卷（100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列有理数中，的倒数是（　 　）
A． B． C． D．2026
2．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（　 　）
A． B． C． D．
6．函数中自变量的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
7．某位运动员在一次射击训练中，次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（ ）

A．， B．， C．， D．，
8．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（ ）
A． B． C． D．
10．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺（10寸），则圆的直径长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
11．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若△BDE的面积为，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．10
12．如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第⑥个三角形中，的值是（ ）
A． B．62 C．98 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13．因式分解： _______．
14．已知一元二次方程：的两个根分别是，，则的值________．
15．如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，则正方形的面积为__________．
三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17．(1)计算：．
(2)先化简，再求值：，其中．
18．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点与点重合．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
19．某校开展“阳光体育”活动，项目有：篮球；：足球；：跳绳；：羽毛球．学生需任选一项参加．学校进行抽样调查，并根据数据绘制了两幅不完整统计图．
(1)在这次调查中，一共抽取了___________名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生人数；
(4)小明和小丽参加了上述活动，请用画树状图或列表的方法，求他们参加同一项活动的概率．
20．如图，某公园修建了观景台，测量小组先在点处使用侧倾器，测得观景台顶端的仰角为，再往观景台方向前进至点处，测得观景台顶端的仰角为．已知点，，在同一条水平直线上，测倾器的高度忽略不计．
(1)设观景台高度，用含的代数式分别表示，；
(2)求观景台的高度（结果精确到；参考数据：，，）．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点C和点D，与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出当时x的取值范围；
(3)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积；
B卷（60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______．
23．如果一个多位数各个数位上的数字之和为的整数倍，则称这个数为“向阳数”．例如是“向阳数”，因为．若一个四位“向阳数”，十位上的数字是千位上的倍，个位上的数字比百位上的小．设该四位“向阳数”的千位上的数字为，百位上的数字为．
（1）这个四位数可以表示为______；
（2）若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的倍，则满足条件的四位“向阳数”为______．
24．如图，中，，，D、E分别在边和的延长线上，若，则____．
25．如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
26．阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号．
阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值．
阅读上述内容，解答下列问题：
(1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________；
(2)已知，，求的最小值．
(3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数）
27．如图，在△ABC中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
(3)连接，若，求的值．
28．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标．
四川省内江市威远县凤翔中学2026届中考第三次模拟考试数学试题
A卷
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列有理数中，的倒数是（　 　）
A． B． C． D．2026
【答案】A
【详解】解：∵乘积为1的两个数互为倒数，
设的倒数为，可得 ，
，
即的倒数是．
2．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：．
故选：B．
3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意；
故选：D．
4．如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是两个小正方形．
故选：C．
5．下列运算正确的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；
D、，原选项错误，不符合题意；
故选：A．
6．函数中自变量的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在函数中，需满足且，
解得且，故选：A．
7．某位运动员在一次射击训练中，次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】解：由图可知，次的成绩由小到大依次排列为、、、、、、、、、，
∴10次成绩的中位数为，
平均数为，故B正确．故选：B．
8．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示：
重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
∵，
∴．
摩擦力的方向与斜面平行，
．
9．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设鸡只，兔只，
根据题意得，．故选：A．
10．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺（10寸），则圆的直径长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
【答案】D
【详解】解：连接，
设的半径是寸，
∵弦，垂足为点，
寸，
寸，
寸，
，
，
，
∴直径的长度为寸．
故选：D．
11．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若△BDE的面积为，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【详解】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
12．如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第⑥个三角形中，的值是（ ）
A． B．62 C．98 D．
【答案】C
【详解】解：由图可知：
三角形最下面的数字分别为，，，，…；所以三角形最下面的数字之间的规律为，
三角形左边的数字分别为，，，，…；所以三角形左边的数字之间的规律为，
三角形右边的数字分别为，，，，…；所以三角形右边的数字之间的规律为，
∴第⑥个三角形中，，，，
∴．故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13．因式分解： _______．
【答案】
【详解】解：．
14．已知一元二次方程：的两个根分别是，，则的值________．
【答案】
【详解】解：对于一元二次方程，
，，，
由根与系数的关系得：，，
∴．
15．如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________．
【答案】
【详解】解：设圆锥的母线长为，，
∴圆锥侧面展开图扇形的半径为 ，
将，，代入扇形面积公式，
可得，，解得，
∴蚂蚁爬行的最短路线长为．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，则正方形的面积为__________．
【答案】10
【详解】解：如图，作轴于点D，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵顶点在反比例函数的图象上，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴正方形的面积为．
三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17．(1)计算：．
【详解】解：原式．
(2)先化简，再求值：，其中．
【详解】原式，
当时，原式．
18．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点与点重合．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
由翻折可知: ，
∴，
∴度数为；
（2）证明：∵四边形是矩形,
∴，
由翻折可知: ，，
∴，，
在和中，
，
∴；
（3）解：设，则，
∵沿翻折后点与点重合，
∴，
在中，由勾股定理得，即 ，
解得，∴．
19．某校开展“阳光体育”活动，项目有：篮球；：足球；：跳绳；：羽毛球．学生需任选一项参加．学校进行抽样调查，并根据数据绘制了两幅不完整统计图．
(1)在这次调查中，一共抽取了___________名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生人数；
(4)小明和小丽参加了上述活动，请用画树状图或列表的方法，求他们参加同一项活动的概率．
【详解】（1）解：已知项目人数为，对应扇形圆心角为，
总人数为：（名）；
（2）
（3）解：项目对应圆心角，样本中的占比为，
∴全校人中，估计参加项目的人数为：（名）；
（4）解：用列表法分析所有等可能结果：
小明\小丽
总共有种等可能结果，其中两人参加同一项活动的结果有种，
因此概率：．
20．如图，某公园修建了观景台，测量小组先在点处使用侧倾器，测得观景台顶端的仰角为，再往观景台方向前进至点处，测得观景台顶端的仰角为．已知点，，在同一条水平直线上，测倾器的高度忽略不计．
(1)设观景台高度，用含的代数式分别表示，；
(2)求观景台的高度（结果精确到；参考数据：，，）．
【详解】（1）解：在中，，，
所以是等腰直角三角形，因此，
在中，，，
根据正切函数的定义，即，
，
综上：；；
（2）解：由题意可知，将，代入得：
通分得到：，
化简得：，解得，
答：观景台的高度约为．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点C和点D，与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出当时x的取值范围；
(3)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积；
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
∴把点A的坐标代入反比例函数得：，
解得：，
∴反比例函数的表达式；
把点B的坐标代入反比例函数得：，
解得：，
∴点，
把点A，点B的坐标分别代入一次函数，得：
， 解得：，
∴一次函数的表达式；
（2）解：当时，表示函数的图象位于函数的图象上方，不包含交点，
∴由图象可知，或；
（3）解：过B点作轴，垂足为H；过E点作轴，垂足为F，如图1，
∵点，
∴，，
把点代入反比例函数中得： ，
∴点，
∴，，
对于一次函数，
当时，得：，解得：，
∴点，
∴，
∴，
∴．
B卷（60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______．
【答案】
【详解】解：由题意得：
，，，，，
可得的指数每4个一循环，且一个循环的和为，
，
即共有506个完整循环，剩余2项为和，
，，
23．如果一个多位数各个数位上的数字之和为的整数倍，则称这个数为“向阳数”．例如是“向阳数”，因为．若一个四位“向阳数”，十位上的数字是千位上的倍，个位上的数字比百位上的小．设该四位“向阳数”的千位上的数字为，百位上的数字为．
（1）这个四位数可以表示为______；
（2）若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的倍，则满足条件的四位“向阳数”为______．
【答案】
【详解】（1）∵该四位“向阳数”的千位上的数字为，百位上的数字为，则十位上的数字为，个位上的数字为，
∴这个四位数可以表示为；
（2）由题意得，，
∵，
∴，则或，
∴四位数为或，
∵，，
∴满足条件的四位向阳数为．
24．如图，中，，，D、E分别在边和的延长线上，若，则____．
【答案】
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
．
25．如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】解：∵点为矩形内一个动点，且，
∴点在以为直径的圆上（矩形内部的一段弧），如图，
设的中点为O，则O是圆心，半径，连接
∵M、N分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
因此，要求的最小值，即求的最小值，
当三点共线时，的值最小，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即的最小值为．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
26．阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号．
阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值．
阅读上述内容，解答下列问题：
(1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________；
(2)已知，，求的最小值．
(3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数）
【详解】（1）解：由题意得，当 即时，取最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
∴当，即时，取最小值为，
∴的最小值为；
（3）解：设参加活动的同学人数为人，则人均投入为，
当，即时，取最小值为，
∴最低费用是(元)，
答：当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元．
27．如图，在△ABC中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
(3)连接，若，求的值．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵点E为的中点，
∴，
∵，∴，
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵是的直径，∴，
在中，，
设，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
28．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：存在最大值；
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接、、，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，
∴最大值为：．
（3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
设点M的坐标为：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
综上分析可知：点M坐标为：或或或．

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