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江苏省南菁高级中学2025-2026学年高二下学期数学期末模拟2
一、单选题
1．若集合，是小于的正整数，则的子集个数为（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．的展开式中的系数为（ ）
A．0 B．10 C． D．20
5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）．
A．14种 B．16种 C．18种 D．20种
6．随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：
超市 A B C D E
广告支出x 1 2 4 6 7
销售额y 20 30 40 44 46
（参考公式：，，参考数据：样本相关系数），则下列判断正确的是（ ）
A．y与x呈负相关关系 B．经验回归直线经过点
C．经验回归方程为 D．y与x的线性相关程度较强
7．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为2%，1%，3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，70%，10%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，该次品来自第（ ）台车床的概率最大
A．1 B．2 C．3 D．无法判断
二、多选题
9．若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（ ）
（参考数据：，，）
A．
B．
C．
D．为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间
11．已知函数的定义域为，其导函数为，且，则对任意的，，下列不等式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若正实数，满足，则的最大值是______．
13．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
14．现有8个外观相同的逻辑信号模块（分别编号为1至8，视为8个不同的元素），其中，有且仅有2个模块内部的信号流向为“向左”，记其特征值为-1，其余6个模块的信号流向“向右”，记其特征值为+1．现将这8个模块全部分配到、两个不同的运行系统中，系统中的模块无需排序，且必须同时满足以下两个条件：
①系统的特征值之和的绝对值与系统的特征值之和的绝对值相等（一个系统的特征值之和定义为该系统内所有模块的特征值相加）；
②系统中必须至少包含一个信号流向为“向左”的模块．
符合条件的分配方案共有________种．
四、解答题
15．为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了250件，对两台机床的产品进行检验，得到如下列联表：
机床类型 产品质量 合计
良品 次品
新型国产机床 175 75 250
原有进口机床 150 100 250
合计 325 175 500
(1)以频率估计概率，估计新型国产机床的次品率；
(2)根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关．
附：，其中．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
16．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．
(3)求集合B．
17．已知函数（）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，在上单调递增，求实数的取值范围．
18．2024年3月14日，某班级为纪念“国际圆周率日”，特举办数学题答题比赛．已知赛题共6道（各不相同），其中3道为高考题，另3道为竞赛题，参赛者依次不放回地从6道赛题中随机抽取一题进行作答，答对则继续，答错或者6道题都答完即停止并记录答对题数．
(1)举办方进行模拟抽题，设第X次为首次抽到竞赛题，求X的分布列；
(2)A同学数学成绩优异，但没有参加过竞赛培训，高考题答对的概率为，竞赛题答对的概率为．
①求A同学停止答题时答对题数为1的概率；
②已知A同学停止答题时答对题数为2，求这两题抽到竞赛题题数Y的均值．
19．我们可以利用切割线放缩的方法解决导数中的不等式问题，阅读以下材料并解决后面的问题：（1）如图1，对于函数 ，若在其图象上任取两点，，除端点外，线段 始终在函数 的图象的上方，在 的图象上任取点，函数 在点C处的切线除切点外，始终在 图象的下方，我们称 为下凸函数，对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，，当时，．（2）如图2，对于函数 ，若在其图象上任取两点，，除端点外，线段 始终在函数 的图象的下方，在 的图象上任取点，函数 在点C处的切线除切点外，始终在 图象的上方，我们称 为上凸函数，对于上凸函数，可利用切割线进行放缩，，当时，.
已知函数．
(1)当 时，求曲线在点处的切线方程；
(2) 在上是否存在极值点，请说明理由；
(3)若 在上存在两个不同的零点，，证明：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《江苏省南菁高级中学2025-2026学年高二下学期数学期末模拟2》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D A C D B B ACD BD
题号 11
答案 BCD
12．
13．
14．55
15【详解】（1）样品中，新型国产机床的次品频率为，
利用样本估计总体，得新型国产机床的次品率约为．
（2）零假设为：产品的质量与使用机床的类型无关．
由列联表可得，，
依据的独立性检验，推断不成立，
即认为产品的质量与使用机床的类型有关．
16．【详解】（1）当 时， ，
则或.
而，
所以.
（2）当时，.
由（1）知 ，由“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，
得集合A是集合B的真子集，
则或，解得 或 .
所以正实数m的取值范围为 ．
（3）当时，；
当 时，；
当 时，B为 .
17．
【详解】（1）由题意得，
①当时，在单调递减；
②当时，，在单调递减；
③当时，令；解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，在递增；
综上：时，在单调递减；
时，在递增，在递减，在递增；
（2）在上单调递增，
则对恒成立，
令，，则
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，
故，故，
即实数m的取值范围为.
18．
【详解】（1）由题意知：可能取
，.
，，
所以的分布列为：
1 2 3 4
（2）①设“A同学停止答题时答对题数为1”为事件
“A同学第一次抽中高考题，第二次抽中竞赛题并答错”为事件，
“A同学第一次抽中竞赛题并答对，第二次还抽中竞赛题并答错”为事件，
则，，
所以.
②由A同学停止答题时答对题数为2，
设事件“第次选中竞赛题没答对”，“第次选中竞赛题并答对”，“第次选中选中高考题”，
答题结束时答对 2 题的概率为：
，
易知可能取，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
所以
19．
【详解】（1）当 时，.
所以.
所以 .
又因为 ，
所以 在 处的切线方程为 .
（2）由 ，
则.
令，
则
因为对任意的 ，所以 ，， .
所以对任意的 ， 恒成立.
所以在 上单调递减.
而 ， ，
由零点存在性定理，存在 ，使得 .
于是 ， ， ， ，
因此 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 存在唯一极大值点．
（3）(3)证明：由（2） 可得在取到极大值，且.
又因为， 在上存在两个不同的零点，
所以，.
所以当且仅当时， 在上和上各恰有一个零点，即为，，不妨设.
因为，所以在点处的切线方程为，即.
令，则.
令，
则.
所以在单调递减.
而，
所以对任意的，，所以在单调递减.
又因为，所以对任意的，．
即当时，.
∴，即.所以.
因为，所以在点处的切线方程为，即.
令，
则.
令，
则.
所以在单调递减.
而，
所以对任意的，，所以在单调递增.
又因为，所以对任意的，．
即当时，.
∴，即.
所以.
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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