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四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期期末冲刺（模拟考）（二）数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知一组数据为，若为这组数据的中位数，则的展开式中的系数为（ ）
A．-80 B．-24 C．24 D．80
3．某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（ ）
A．240种 B．480种 C．540种 D．720种
4．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据：
3 4 5 6
标准煤 2.5 3 m 4.5
根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（ ）
A．x与y负相关 B．
C．回归直线过点 D．时的残差为0.05
5．新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（ ）

A．在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人
B．在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人
C．依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于
D．依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于
6．若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（ ）
A．2或3 B．2 C．3 D．4
7．若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．生物的性状是由遗传因子决定的.每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状的为高茎遗传因子，用大写字母（如）来表示；决定隐性性状的为矮茎遗传因子，用小写字母（如）来表示.如图，在孟德尔豌豆试验中，的基因型为，子二代的基因型为，且这三种基因型的比为.如果在子二代中任意选取2颗踠豆进行杂交试验，则子三代中高茎的概率为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．若，则下列结论正确的是（ ）
A．展开式中第1014项的二项式系数最大
B．
C．
D．被16除的余数是15
10．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．
D．若有两个不同的实根，则a的取值范围是
11．一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测.若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止.则（ ）
A．最多需要检测4次可确定患病者
B．第2次检测后就可确定患病者的概率为
C．第3次检测后就可确定患病者的概率为
D．检测次数的期望为3
三、填空题
12．正八边形的对角线条数为____________.（用数字作答）
13．我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为12，若不计壁厚，则该粮仓容积的最大值为____．
14．已知函数，，若，其中，的最大值为__________．
四、解答题
15．数列中，，满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和.
16．如图，三棱锥中，底面，，，，点满足，是的中点．

(1)请写出的一个值使得平面，并给予证明；
(2)若二面角大小为，且，求点到平面的距离．
17．调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答.
(1)共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；
(2)现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题.
（i）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率；
（ii）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为，并且都相互独立.物业每解决一个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位业主？
18．已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标．
19．已知函数，.
(1)当时，求的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：（，）
试卷第1页，共3页
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《四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期期末冲刺（模拟考）（二）数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A C C A B C ABC AC
题号 11
答案 ACD
12．20
13．
14．/
15．【详解】（1）由，得，又，
所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得（，.
所以
.
16【详解】（1）当时，平面，证明如下：
，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
（2）方法一：过作于，
平面，平面，，
又，平面，平面，
，点到平面的距离，
，点到平面的距离

方法二：，，，；
平面，平面，，
又，，平面，平面，
又平面，，
是二面角的平面角，即，
以为坐标原点，正方向为轴正方向，作轴平行于，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
点到平面的距离.
17．【详解】（1）记：事件“业主对物业工作表示满意”，则，
所以，（人），
故该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人；
（2）（i）由已知得，每位代表投赞同票的概率均为，
方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，所以，
故某个问题能够被解决的概率；
（ii）设至少要访谈位业主，由（1）知，该小区业主对物业工作满意的概率为，
要使业主满意的比例提高到80%，则有
，
故至少要访谈48位业主．
18．【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得，
，平方得：，
当时，上式化简可得：，
当时，上式化简可得：，
即曲线的轨迹方程是或；
(2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交，
可设点，直线的方程为：，
联立，得，
所以，即．
因为，所以，
代入得：，整理得：，
即或．
当时，直线的方程：过定点，舍去；
当时，直线的方程：过定点．
所以直线过定点．
19．
【详解】（1）当时，函数 ，定义域为，，
所以当时，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，且最小值为.
（2）当时，恒成立等价于恒成立，
令，求导得，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则，即恒成立，
所以当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以a的取值范围为.
（3）由（2）知，（），即（），所以，
则，当且仅当时取等号，
所以，，…，，
将以上个不等式左右两边分别相加得
，
即（，）.
答案第1页，共2页
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