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上海市第四中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．函数的最小正周期是___________．
2．在等差数列中，，公差，则_______．
3．已知，若，则__．
4．已知角满足，则________．
5．已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为__________.
6．函数的振幅是，最小正周期是，初始相位是，则它的函数表达式为________.
7．已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则_____
8．在中，已知三边之比为，则该三角形最大角的余弦值为___．
9．若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为__________.
10．已知是等比数列，若、是函数的两个零点，则________
11．在平行四边形中，是边上的动点，则的最大值是__．
12．在中，，，分别是角，，的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为________.
二、单选题
13．设复数和分别是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知等差数列的前项和为，，且，则（ ）
A．24 B．20 C．16 D．12
15．已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
16．对于实数，记表示不超过的最大整数，例如，．已知，．有下列三个命题：①是周期函数；②函数的图象关于对称；③方程有且仅有2个实根．则真命题的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题
17．已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且成等比数列：
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证数列是等比数列.
18．已知向量，，函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求的面积.
19．已知复数满足，的虚部为2.
（1）求复数；
（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.
20．“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且.
(1)当米时，求的长；
(2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值.
21．对于平面向量，定义“ 变换”： ，其中，，表示、中较大的一个数，表示、中较小的一个数．若，则．记．
(1)若，求及；
(2)已知，将经过次变换后，最小，求的最小值；
(3)证明：对任意，经过若干次变换后，必存在，使得．
试卷第1页，共3页
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《上海市第四中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷》参考答案
题号 13 14 15 16
答案 A B D A
1．
2．13
3．
4．
5．3
6．
7．81
8．/
9．直角三角形
10．
11．28
12．/
17．(1)（1）设等差数列的公差为，，
因为数列的前四项和为10，且成等比数列，
则，，
即，化简得，解得.
故数列的通项公式为.
(2)由（1）知，则，
所以，
所以数列是等比数列，且等比数列的首项为，公比为.
18．【详解】（1）由题意可知，
，
由，
解得
所以函数的单调增区间为.
（2）由，
所以，即，又因为，
所以.又因为，所以由余弦定理得，
即，解得或（舍去），故的面积为.
19．【详解】（1）设,由题,可得,,
的虚部为2
则 或
故或
（2）由（1）可知,即为,
当时,即为,,此时,即为,
当时,即为,,此时,即为,
综上,
20．
【详解】（1）由，故，
由余弦定理可得，
即，即有，
即，故（舍去）或，
即；
（2）由，故，，又，
由正弦定理可得，即，
则，
令，，
则
，
有最大值，此时，即时取得，
此时平方米.
21．【详解】（1）因为，
，，，
，，，
所以．
（2）因为，
令是方程的两根，即，
所以或，
所以，，
即，
由题意得，，
由规律分析得且，
由且可以得到的最大值为674，所以，
所以，此后进入循环，
所以当时，；
当时，；
当时，．
所以最小时，的最小值为1349．
(3)对当，时，当，时，当，时，
三种不同的情况进行分析，
当，时，显然存在，使得，
当，时，，即，
存在，使得．
同理，当，时，存在，使得．
当，时，若，则，
存在，使得．
若，设，
假设对任意，所以、均不为0．
因为、，所以．
如果，则，
如果，则，所以，
所以，即．
因为，
所以，所以，
与矛盾，故假设错误，存在，使得，
综上所述，对于任意，经过若干次 变换后，必存在，使得．
答案第1页，共2页
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