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黑龙江哈尔滨市第五中学校2025-2026学年高三下学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．2或 C． D．
2．设向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，内角，，的对边分别为，，，其中为钝角，，，点是的重心，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，M是的中点，，点P在上且满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在多面体中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，E到平面ABCD的距离为3，，.若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
8．已知、表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，则（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
二、多选题
9．，是复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是纯虚数
B．若，则
C．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称
D．若，则
10．如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积为
B．圆锥的侧面积为
C．四面体的体积的取值范围是
D．若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为
11． “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
三、填空题
12．将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________．
13．平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球O的体积为______.
14．已知的边，且，则的面积的最大值为___________.
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，
(1)求证：平面；
(2)若，分别为棱，的中点，求证：∥平面；
(3)设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小．
16．已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，函数，求的值域.
17．如图，在四棱锥中，，.
(1)若点为的中点，为的中点，求证：平面平面.
(2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由.
18．已知内角的对边为，点是的内心，若．
(1)求角；
(2)延长交于点，若，求的周长；
(3)求的取值范围．
19．如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱，的中点.

(1)证明：平面.
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为.
①求四棱柱的体积；
②求平面与平面的夹角的余弦值.
试卷第1页，共3页
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《黑龙江哈尔滨市第五中学校2025-2026学年高三下学期期中考试数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A D A D B C AC ACD
题号 11
答案 ABC
12．
13．
14．
15．(1)证明：因为底面为矩形，所以，
因为侧面底面，侧面底面，底面，
所以平面.
(2)证明：取中点，连接，，
因为是中点，所以，，
又因为矩形，所以，，且是中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（3）由（1）可知平面，
因为平面，
所以平面平面，
又平面平面，
因为为等边三角形，
所以，平面，
所以平面，
连接，所以是直线与平面所成角，
在矩形中，，
在正中，，
所以，
因为，
因此，
即直线与平面所成角为
16．【详解】（1）解：向量，，，
即，
，
.
（2），，
，
设，
则，
，，设，，由二次函数性质可得：
，.故的值域为.
17．【详解】（1）因为，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又点为的中点，为的中点，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，
所以平面平面；
（2）存在，，
过作交与，再过作，交于，连接，
则即为所求，
由，所以，
所以，
在直角，，
所以，
所以，
由得，
证明：当时，得，
由平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，平面，
，平面，平面，
所以平面平面，因为平面，
所以平面.
18．【详解】（1）因为，所以根据正弦定理得，
化简得.
因为，所以.
所以，因为，所以.
（2）如图，，
所以，
化简得：①.
根据余弦定理得②，
①②联立方程组解得：.
解得，又，所以.
所以的周长为.
（3）令三角形内切圆半径为.
因为.
.
所以，解得.
因为，所以.
根据余弦定理得：，
即，故‘
又，解得，
故，
综上，的取值范围为.
19．(1)证明：在梯形中，，，则，
在中，，，
则，，而，平面，
所以平面.
（2）①由，平面，得平面，
取中点，连接，由是的中点，得，
由（1）知，平面，则是直线与平面所成的角，
即，，，
所以四棱柱的体积.

②连接，由①知平面，，则平面，
平面，则，而，于是，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
由是的中点，得，共面，
因此是平面与平面的夹角，
，
所以平面与平面的夹角的余弦值是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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