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重庆市铁路中学校2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数的共轭复数为，且，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．是 或的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（ ）
A． B． C．19 D．9
4．已知，都是锐角，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6． （ ）
A． B． C． D．
7．如图，在直角梯形中，，，，E为的中点，若，则（ ）
A．65 B． C．2 D．
二、多选题
8．已知m、n是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
9．在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．，则的外接圆半径是
C．若，则
D．若，则有两解
10．如图，在正方体中，M为中点，P为线段BD上一点，记平面MPC截正方体所得截面为．当A，P，C三点共线时，，则（ ）．
A．当AB的中点在上时，截面图形的面积为
B．截面形状可能是五边形
C．记BD的中点为O，当P在线段OB上时，截面图形是四边形
D．的最小值为
三、填空题
11．在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______．
12．某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析， 先将全体900名学生编号为001， 002， 003， …， 900， 从中抽取60个样本， 并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为____________.
95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623
92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925
13．如图，四面体ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为，则MN的长为_________

四、解答题
14．年月日至月日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的值；
(2)估计这名学生这次竞赛成绩的中位数；
(3)在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数．
15．已知函数 .
(1)求在的单调递减区间；
(2)当 时，求的最大值和最小值.
16．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积.
17．已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若，，求的周长；
(2)若的面积为，为边的中点，求长的最小值；
(3)若，求锐角周长的取值范围.
18．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，．

(1)求证：平面；
(2)当时，求点到平面的距离；
(3)当时，求二面角正切值的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《重庆市铁路中学校2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C C B B AB AC BCD
11．
12．175
或
【详解】（1）解：由频率分布直方图性质，各矩形面积和为，组距为，可得：
，即，解得.
（2）解：设中位数为，
因为，而，
所以中位数在内，根据中位数的定义可得：，
解得. 因此，这名学生这次竞赛成绩的中位数为.
（3）解：由的频率为：，可得人数为：人，
由的频率为：，可得人数为：人，
所以内总人数为人，可得分层抽样的比为，
因此，这名学生这次竞赛成绩在内被抽到的人数为人.
15．【详解】（1）.
令，解得，
又，取得单调递减区间为.
（2）当时，，则，
因此，
即函数最大值为，最小值为.
16．(1)取的中点，连接，
由，得四边形为平行四边形，所以.
由， ，
得四边形为平行四边形，所以 .
因为平面，平面，
所以平面.
同理可得， 平面.
因为平面，
所以平面平面.
又平面，所以平面；
（2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角，
，
，
，
所以，所以.
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为.
（3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为
.
三棱锥的体积.
17．【详解】（1），
由 ，
由，因此，
其中，则，故，
由，可得，
由，则，可得，
所以或，又，则，即，
综上，，故三角形的周长为；
（2）由已知，又的面积为，则，解得，
又，则
当且仅当时，等号取到，所以；
即边上中线长的最小值为．
（3）由正弦定理可知：，
因此有
，
由于，故，则，
可得，因此.
18．(1)由，，，得，则.
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.
因为平面，所以.又因为，所以.
又因为，平面，所以平面.
（2）在四边形中，，平面，平面，
则平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
如图，在平面内过点作于点.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
在中，，，，
则，所以，
所以点到平面的距离为.
（3）如图，在平面内，过点作于点；在平面内，作于点，连接.
由(1)得，平面，又平面，所以平面平面.
又因为平面平面，所以平面.
又因为平面平面，所以.
又因为平面，所以平面.
又因为平面，所以.
则即为二面角的平面角.
设.
由(1)得，则.
在中，由，得.
在中，由，得；
在中，
所以.
由，得，则
所以二面角的正切值的取值范围为.

答案第1页，共2页
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