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上海市光明中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷
一、填空题
1．抛物线的准线方程是_______
2．若直线的一个法向量为，则实数的值为__________．
3．一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为______．
4．已知随机变量X的分布为，则期望_________．
5．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断_________原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．）
6．若随机变量满足，则__________.
7．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+ =______．
8．一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率________．
9．函数有两个极值点，则实数的取值范围为______．
10．已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为________.
11．掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）.

12．2026年10月，光明中学将迎来140周年华诞．现将矩形操场分割为40个单位正方形，五个点在正方形的顶点处，构成字母“”，四个标记为的点也在正方形的顶点处，设集合，点，过点作直线，使得不在上的的点分布在的两侧．用和分别表示一侧和另一侧的的点到的距离之和．若过点的直线中有且仅有一条直线满足，则中所有这样的为________．

二、单选题
13．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（ ）
A．两种证券的收益有反向变动的倾向
B．两种证券的收益有同向变动的倾向
C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的
D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌
14．函数的导函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．在处切线的斜率大于零
B．点是函数的极值点
C．在区间上单调递增
D．点是函数的极小值点
15．已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角（ ）
A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值
C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值
16．椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题：
①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则
②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为；
则以下说法正确的是（ ）
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题
三、解答题
17．某公司为了解用电量（单位：）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：
气温
用电量（）
由表中数据可得回归方程中．试预测当气温为时的用电量，并求在气温为时的残差．
18．已知椭圆：，为坐标原点．
(1)求的离心率e；
(2)设点，点在上，求的最大值和最小值；
19．某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为.
(1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率；
(2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望；
(3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
20．已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限．
(1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e；
(2)若，为直角三角形，求点M的坐标；
(3)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围．
21．若定义在上的函数和分别存在导函数和，且对任意x均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”．
(1)试问函数是否为函数的“导控函数”？
(2)若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”；
(3)已知函数和都是定义在上的偶函数，且是函数的“导控函数”，证明：恒成立（为常数）．
试卷第1页，共3页
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《上海市光明中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷》参考答案
题号 13 14 15 16
答案 B B A A
1．
2．
3．
4．
5．拒绝
6．5.4
7．
8．
9．
10．/
11．
12．
17．
【详解】由条件可得，，样本点的中心为，
代入回归方程，，
则线性回归方程为，
取，得；
取，得，故此时残差为．
因此，当气温为时的用电量为（），用电量在的残差为（）.
18．.
【详解】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为，
则，，，所以的离心率．
（2）依题意，设，则，，
因此，
则当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
所以的最大值为，最小值为.
19．
【详解】（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”，
设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”，
由全概率公式，知，
所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为；
（2）的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为
0 1 2 3
随机变量服从超几何分布，且，，，所以；
（3）由题意得，，
，
，，，
所以的数学期望为8，方差为7．
20．
【详解】（1）由题，，得
故
（2）因为点M在第一象限，故不可能为直角；
若，将代入曲线，得符合题意，；
若，设点，则，
则
又因为点M满足，可得，此时，
DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去．
综上，点M的坐标；
（3）由题可得，双曲线 ，
当直线l的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足，
所以直线l的斜率一定存在，
又，说明三点共线，且都在双曲线的右支上，所以直线l的斜率不为0，，
设直线l的方程为，、，且，，
联立方程，可得
显然，，
，，故
由，可得，且．
故
因此 ，
根据对勾函数的性质：在上单调递减，
可知，
又，
故，可得．
所以，直线l斜率的取值范围为，
直线l倾斜角的取值范围为.
21．
【详解】（1）由，得，由，得，
因为，所以函数是函数的“导控函数”；
（2）由，得，
由，得，
由，得，
由题意可得恒成立，
令，解得，
故，从而有，所以，
又恒成立，
即恒成立，
所以，所以，
故，且“导控点”为2；
（3）函数和都是定义在上的偶函数，
且是函数的“导控函数”，
因此，又，，
因此函数是函数的“导控函数”，
，即，
用代换x有，
综上可知，
记，
则，
因此存在常数c使得恒成立，
综上可得，恒成立（c为常数）．
答案第1页，共2页
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