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上海市桃浦中学2025-2026学年高二第二学期期末数学试卷
一、填空题
1．直线的倾斜角为______．
2．焦点为的抛物线的标准方程为___________．
3．若直线与平行，则_______．
4．已知数列为等比数列，且 ，公比 ，则该数列的前5项的和等于______.
5．从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________．
6．过点且与直线垂直的直线方程为_______.
7．现从编号为01 ， 02 ，... ，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第5支水笔的编号为______________.
39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263
8．过点的直线被圆截得的最短弦长为________
9．抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点.设抛物线的方程为 ，一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线 于一点，这点的纵坐标为8.则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为 ______.
10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为__________．

11．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______．
12．关于曲线，则以下结论正确的为 ______（填序号）.
①曲线关于原点对称；
②曲线中；
③曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形；
④曲线是不封闭图形，且它与圆无公共点.
二、单选题
13．下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
14．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是
A．或 B． C．或 D．或
15．在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（ ）．
A．一条线段 B．一条射线 C．一个椭圆 D．双曲线的一支
16．已知数列的前项和为，设（为正整数）.若存在常数，使得任意两两不相等的正整数，都有，则称数列为“轮换均值数列”.现有下列两个命题：①任意等差数列都是“轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列是“轮换均值数列”.则下列说法正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．① ②都是真命题
D．① ②都是假命题
三、解答题
17．某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示.

花费时间 （分钟）
时间等级 一级 二级 三级
(1)试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数；
(2)已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数；
(3)求男生上学路上花费时间的第25百分位数与第50百分位数.
18．著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 .
(1)求的面积；
(2)若直线交于两点，求.
19．王老师将全班40名学生的高二数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将 记作第一组，、、、 分别记作第二、三、四、五组.已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
(1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
(2)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差.
20．已知抛物线，，直线交抛物线于点、，交抛物线于点、，其中点、位于第一象限．
(1)若点到抛物线焦点的距离为2，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离；
(3)若，求与的面积之比．
21．已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点．
(1)求的方程；
(2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标；
(3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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《上海市桃浦中学2025-2026学年高二第二学期期末数学试卷》参考答案
题号 13 14 15 16
答案 D D B A
1．
2．
3．
4．93
5．11
6．
7．31.
8．
9．与 平行的向量均可
10．
11．
12．①④
17．【详解】（1）极差为 ，中位数为 ，
故这10名女生上学路上花费时间的极差为37，中位数为29.
（2）高二年级中男生共有 人，由茎叶图知，上学路上花费时间不超过40分钟的男生占，
所以可估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为 人.
（3）因为 ，所以第25百分位数即为从小到大排列数中第3个数，即17.
因为 ，所以第50百分位数即为从小到大排列数中第5个与第6个的平均值，即 .
18．【详解】（1）椭圆 的方程为 ，所以 ，则 .所以椭圆 的面积 .
（2）联立，得 .
设，则.
所以.
19．
【详解】（1）由题意得 ，解得 .
所以此次考试成绩的平均值为.
（2）由题意，第二组、第四组分别有10人和8人.设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为 ，
则，，
所以成绩在第二组和第四组的所有学生成绩的平均数为 .
方差为 .
则可估计成绩在第二组和第四组所有学生成绩的方差是.
20．
【详解】（1）
抛物线的准线为，
因为点到抛物线焦点的距离为2，
所以点到抛物线准线的距离为2，
所以点的横坐标为1，
代入方程的，解得，
因为点位于第一象限，
故点的坐标为.
（2）设，则线段AC的中点坐标为
因为线段的中点在轴上，
所以，故，
代入方程得，解得，所以，
所以直线的方程为：，整理得：
所以原点O到直线l的距离
（3）由题意，直线的斜率显然存在且，
设直线的方程为，
设
由，得，
由，得：，
因为直线与抛物线交于点、，
所以，即，且，，
同理，，，
所以，，
由①，②得：，代入③得，代入②得
设原点到直线的距离为，
所以.
21．
【详解】（1）依题意，，解得，
所以的方程为.
（2）联立，消去并化简得，
由题意可得，解得，因为，
所以，代入上式，解得，
所以，设，
因为为直角，
所以，
解得或，
所以或.
（3），设，，
联立，消去并化简得，
，
，
联立，解得，
所以，
，
代入点坐标及韦达定理得
，
，
所以，使得.
答案第1页，共2页
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