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上海市青浦区第一中学2025-2026学年高一下学期期末学业质量调研数学试卷
一、填空题
1．设，则______．
2．在中，______．
3．已知，则__________．
4．已知函数，则其最小正周期是___________.
5．在复数范围内分解因式______．
6．已知向量，且，则实数的值为_________．
7．已知的三边，，，则角A的大小是 ________．
8．已知i为虚数单位，若，则的取值范围为__________.
9．若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________.
10．若向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________
11．若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为__________.
12．已知平面上、、、、五个点，满足，，求的取值范围为______．
二、单选题
13．虚数的平方是（ ）
A．正实数 B．虚数 C．负实数 D．虚数或负实数
14．已知均为非零向量，则成立的充要条件是（ ）
A． B．同向 C． D．
15．已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
16．已知圆O的半径为2，弦AB的长度为.若动点P在圆O上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
17．已知向量，
(1)求；
(2)若，求实数的值．
18．已知方程有两个根，.
(1)若是此方程的一个虚根，分别求实数的值；
(2)若且，求实数的值.
19．已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
20．已知点、、．
(1)求；
(2)若C在以原点为圆心的单位圆上，求的取值范围；
(3)若动点C满足，求的最小值及的值．
21．在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足．
(1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径．
(2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程．
(3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《上海市青浦区第一中学2025-2026学年高一下学期期末学业质量调研数学试卷》参考答案
题号 13 14 15 16
答案 D B C D
1．
2．
3．/
4．
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．
12．
17．
【详解】（1），；
（2），
，因为，
所以，
即.
18．【详解】（1）因为是方程的一个虚根，
所以，
，
所以，
解得.
（2）方程两个根为，
因为，
所以，
，进而，
所以，
解得：或.
19．【详解】（1）由题意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
20．（1）由题可得，，
则；
（2）设，由，
注意到，故，又，
则 ，
因为，则；
（3）设，因，则，
即，解得，则，
当取最小值时，表示B到直线AP距离，此时，
所以，
则，解得，则，
即，则.
21．(1)证明：设，则，，
由，则，
即，又，
整理得，配方得，
故点P的曲线C为圆，
则圆心，半径为；
（2）若，则圆C为，圆心，半径为，
若切线斜率不存在，则为，此时圆心C到的距离为，不符；
若切线斜率存在，设过点A且与曲线C相切的直线方程为，
则有，化简得，解得，
故过点A且与曲线C相切的直线方程为；
（3）由题意可得，又，则，
故为等腰直角三角形，
则点到直线的距离为，
即有，整理得，解得.
答案第1页，共2页
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