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人教版2025-2026学年八年级数学下学期期末仿真模拟试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．1、1、 C．5、12、13 D．9、12、20
3．某体育用品专卖店在一段时间内销售了双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表，则这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是（ ）
尺码
销售量/双 1 3 4 2
A． B． C． D．
4．一组数据的方差为，则该组数据的总和是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若，，则点到点的距离是（ ）
A． B．2.5 C． D．
6．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A．12 B．15 C．20 D．
7．下面的三个问题中都有两个变量：
①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x与它的面积y；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；
③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数
其中，变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，其方差分别为和，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．5
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．一组数据，，，，的平均数是，则的值为________．
12．如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________．
13．已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为___________．
14．如图，点为正方形边上一点，若，，则该正方形的对角线长为______．
15．已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为__________．
16．如图，在等腰中，，，点在上，点在外，，，是的中点，连接，，则的最小值是__________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)请添加一个条件：______，使四边形为菱形．
19．3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．

信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是_________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是_________分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为_________人．
20．已知直线经过点．
(1)求直线的解析式；
(2)若将直线向左平移个单位长度，直接写出平移后直线的解析式．
21．某出租车公司决定购买A，B两种品牌车共20台．A品牌车比B品牌车的单价多2万元，若购买4台A品牌车比购买3台B品牌车多花18万元．
(1)求A，B两种品牌车的单价是多少万元；
(2)已知每台A，B两种品牌车的月运营收益分别为3.6万元，3万元．该出租车公司计划购买这两种品牌的车的总费用不超过220万元，并要求月运营总收益不低于64万元．设购买A品牌车x（台），月运营总收益为y（万元），
①求y与x的函数关系式以及自变量x可以取哪几个值；
②请设计一种月运营总收益最大的购车方案，并求出月运营总收益的最大值是多少万元．
22．如图，在的网格线中，已知、、、是格点，是与网格线的交点仅用无刻度的直尺完成下列作图画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示（每个任务的画线不得超过三条）
(1)在图中，先画，再在上画点，使；
(2)在图中，作点关于的对称点；
(3)在图中，分别在、上找点、，连接、，使得最小．
23．已知两地相距千米，甲于某日下午时骑车从地出发前往地，乙也于同日下午开车按相同路线从地出发前往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程和时间的关系．
根据图象解答下列问题：
(1)甲和乙比较，谁先出发，谁先到达地，先到多少时间？
(2)求乙的行驶速度；
(3)求甲在行驶过程中，行驶的路程关于时间的函数解析式；
(4)甲、乙在下午什么时间相遇？并求相遇地点到地的距离．
24．阅读理解：
【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”．
【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．
(1)已知个点：、、、，以上这四个点中______是线段的“等距点”，______是线段的“完美等距点”（填写大写字母）；
(2)若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标；
(3)若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围______．
25．已知正方形和等腰直角三角形．连接、．
(1)点P为线段的中点，连接
① 如图所示，当点、分别在边、上时，请直接写出与之间的关系；
② 将绕点旋转到图的位置，请写出与之间的数量关系并证明；
(2)将△绕点旋转到图的位置，作于点，设、的长分别为、，则的值是 （用含，的式子表示）．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D D D A A C C
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15．6
16．
三、解答题
17．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【详解】（1）（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵分别是的中点，
∴四边形是平行四边形；
（2）添加，
，
，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形，
故答案为：．
19．【详解】（1）第二组人数为：50-4-12-20-4=10（人）
补全统计图如下：

（2）第三组竞赛成绩中76分出现次数最多，出现了3次，故众数为76分；
50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，对应的分数为：77分和79分，它们的平均数为：（分），故中位数为78（分）；
故答案为：76；78；
（3）1500×=720（人），
故答案为：720．
20．【详解】（1）解：把点代入，
，
，，
直线的解析式为；
（2）将直线向左平移个单位长度，
直线的解析式为，
直线的解析式为．
21．【详解】（1）解：设A品牌的新能源小轿车每台需要a万元，B品牌的新能源小轿车每台需要b万元，
由题意得，
解得，
答：A品牌的新能源小轿车每台需要12万元，B品牌的新能源小轿车每台需要10万元．
（2）解：①由题意得，，
∵，
∴，
∵x为正整数，
∴，8，9，10；
故自变量x可以取7，8，9，10；
②由①知，，
∵，x可以取7，8，9，10，
∴当，y有最大值，
最大值为．
此时（辆）．
故当购买10辆A品牌车，10辆B品牌车时，月运营总收益最大，最大收益是66万元．
22．【详解】（1）解：如图，即为所求．
连接，相交于点，连接并延长交于点，
则点即为所求．
（2）解：如图，取点关于的对称点，连接，取与网格线的交点，
则点即为所求．
（3）解：如图，在点下方取格点，过点作的平行线，取与网格线的交点，连接并延长，交于点，交于点，
此时，为最小值，
则点，即为所求．
23．【详解】（1）解：由函数图象可知，甲先出发，乙先到达地，先到小时；
（2）解：千米/时，
答：乙的行驶速度为千米/时；
（3）解：甲在段的速度为千米，则；
甲在段的速度为千米/时，则；
∴甲在行驶过程中，行驶的路程关于时间的函数解析式为；
（4）解：线段对应的函数关系式为，
当甲、乙相遇时，由，
解得，
∵小时时分，
∴甲、乙在下午时分相遇，
此时相遇地点到地的距离为千米．
24．【详解】（1）解：线段端点、，“等距点”满足 ，
因此等距点在的垂直平分线上，
四个点中横坐标为的是、 、 ，
∴这三个是等距点，
“完美等距点”还需要满足 ，
由勾股定理逆定理：点： ，，，，符合；
同理可得：
： ，不符合；
： ，不符合；
∴完美等距点只有；
（2）解：∵在上，
∴，
∵在第三象限，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
，
解得：，
∴ ，即 ，
设 ，是的等距点，
∴，即：，
整理，得 ，
解得：，
∴坐标为；
（3）解：∵点是直线上，
∴ （，第一象限），
∵点是线段的“完美等距点”，
∴满足，，
此时四边形为正方形，
∵是轴上一个动点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．
如图：是的垂直平分线，是的垂直平分线，交于点，
∴点在过且与轴成的两条互相垂直的直线上，
当点与点重合时，
∵，点的坐标为，
∴，，
∴
∴,
∴，
∴当正方形与过且与轴成的两条互相垂直的直线有交点时，
∴.
25．【详解】（1）解：①∵四边形是正方形，
∴，
∵等腰直角三角形
∴
∴
∴
∴，
∵点P为线段的中点，
∴
∴；
∵
∴
如图，延长交于点，
设，则，
∴，
∴，
∴；
②略
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴
又∵等腰直角三角形
∴，
∴
∴
∴，
∴
即
又∵，
∴
∴
∴，
设，,，则
在中， ，即
在中，，即
∴
∴
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