资源简介

江西省临川第一中学2025-2026学年高二下学期6月阶段性测试（I卷）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面不是离散型随机变量的是（ ）
A．某旅游景点6月的日游客数量 B．任意抽取一袋标有10 kg的大米，其实际重量
C．抛掷2枚骰子，所得点数之和 D．某外卖员6月的日送餐次数
2．下列求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．为研究睡前阅读与睡眠质量是否有关联，某机构采取随机抽样的方法抽取80名学生进行调查，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示．依据小概率值的独立性检验，分析睡前阅读是否会有助于睡眠质量．
睡眠质量良好 睡眠质量一般 合计
坚持睡前阅读 30 10 40
不睡前阅读 10 30 40
合计 40 40 80
，临界值表：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
则下列说法正确的是（ ）
A．依据，有把握认为的人睡前阅读会有助于睡眠质量
B．依据，有把握认为的人睡前阅读会有助于睡眠质量
C．依据，有的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量
D．依据，有的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量
4．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与平面，，满足且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．某快递店每天的快递量（单位：个），记T表示200天内快递量介于420至540的天数，则T的均值约为（ ）（附：若随机变量，则，，）
A．154 B．164 C．174 D．184
7．某航天任务计划从5名备选航天员（包括甲、乙）中选派4人执行空间站作业，分别负责机械臂操作、舱外维护、数据监测三项不同的工作，其中数据监测需要2人负责，机械臂操作与舱外维护各需要1人负责．若甲、乙必须入选且不能从事同一项工作，则不同的安排方案共有（ ）
A． 30种 B．45种 C．60种 D．90种
8．已知数列：1，2，3，…，2026，从中任选三项组成一个新数列，则所有新数列中的最小项之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ）
A． B．的单调递减区间为
C．的极小值为1 D．在上的最大值为3
10．某社团开展百科知识竞赛答题活动，参与者在道试题（有道文史题和道理科题）中不放回地依次随机抽取道题作答，设事件为“第次抽到理科题”，事件为“第次抽到理科题”，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与轴交于点，与直线交于点，为坐标原点，则（）
A．的准线方程为 B．
C．当时，的面积为 D．
三、填空题
12．已知随机事件，满足，，则______．
13．某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司n名员工，通过专用系统进行综合评级得出优秀有3人，良好有a人，及格有b人，若从中任选两人则两人都是优秀的概率为．现从中任选3人，记其中优秀的人数为，则的期望________
14．已知数列的前项和为，且，设为数列的前项和，则=________．（符号表示不超过的最大整数，例如）
四、解答题
15．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，数列的前项和为，求当时的最小值．
16．已知，其中，，，，且的展开式中各二项式系数的和为256．
(1)求n的值及展开式中二项式系数最大的项；
(2)求的值．
17．作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛.
(1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率；
(2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值；
18．已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，，在椭圆上，且轴，，．直线交椭圆于，两点，与关于原点对称，与关于轴对称，直线与轴的交点为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)若过作轴的垂线，其垂线平分．
（ⅰ）求证：直线的斜率为定值．
（ⅱ）当与的面积相等时，求直线的方程．
19．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：存在唯一的极值点；
(3)当恒成立时，证明：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《江西省临川第一中学2025-2026学年高二下学期6月阶段性测试（I卷）数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B B B A C BCD ACD
题号 11
答案 BCD
12．/0.25
13．/
14．
15．【详解】（1），
．
，．
当时，．
当时，．
经检验，当时，也符合此式，
．
（2），
．
又，，解得．
，的最小值为16．
16
【详解】（1）二项展开式的所有二项式系数之和为，由题意得，解得（）.
因为为偶数，故展开式中二项式系数最大的项为第项.
由二项展开式通项公式（），得
.
（2）由（1）知，. 令，代入原式得，解得.
令，代入原式得，即
.
因此.
17．【详解】（1）依题意，样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人，
在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛，
在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛，
因此样本中，观看了这场苏超联赛的频率为，
所以从全市居民中随机抽取1人，估计此人观看了这场苏超联赛的概率为.
（2）由（1）得，
因此；
又，
因此，所以.
18．【详解】（1），
，
，则．
又轴，，
，即．
，．
点在椭圆上，，
，，
故椭圆的标准方程为．
(2)（ⅰ）证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，，．
联立，消去并整理，得．
则，即，
，．
如图，过点作轴，则线段平分，
，即．
又，，
，
，即，
或．
当时，，此时直线过点，舍去，
．故直线的斜率为定值．
（ⅱ）解：由（ⅰ）可知，，且，，
直线．
令，得，
．
与的面积相等，
，到直线的距离相等，
与的交点为的中点，且的中点坐标为．
，
，
化简，得，解得．
直线的方程为或．
19．【详解】（1）当时，，
则，
所以，，
所以在点处的切线方程为，
即；(2)证明：，
当时，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以为函数的唯一极值点且为极小值点；
当时：，
当时，，，所以，
所以在上单调递增，无极值点.
当时，，
设，恒成立，所以在上单调递增，
令得，所以，
所以，所以，
设，易知在上单调递增，
，
令，设，，
当时，，单调递减，所以，所以，
而，根据函数零点存在定理可知，存在唯一的，
使得，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
故是函数唯一的极值点且为极小值点，
综上所述，存在唯一的极值点且为极小值点；
(3)证明：设的极小值点为，由（2）可知在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
又，所以，所以，
若恒成立，则，
令，则，要证，
即证，
设，，，在上单调递减，
所以，
令，则，
令，因为，
仅当时，“”成立，所以单调递增，
所以当时，，单调递增，，所以，
所以，
所以，所以在上单调递增，所以，
所以，所以成立．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑