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上海市南汇中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知为虚数单位，则__________．
2．函数的最小正周期是_____________.
3．已知点、，若点满足，则点的坐标为__________．
4．已知两点，则向量的单位向量的坐标为__________．
5．设，且为奇函数，则__________.
6．已知均为非零向量，且，则向量与的夹角为____________．
7．若直线是函数的一条对称轴，则__________．
8．函数，的值域是___________．
9．已知非零向量，，满足，．若为在上的投影向量，则向量，夹角的大小为______．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．
11．已知函数．若存在，使得，则的最大值为__________．
12．已知函数，、、为三个不同的平面向量，且．若，则的取值范围是__________．
二、单选题
13．设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的最大值为1
C．将的图象向左平移单位后得的图象
D．将的图象向左平移单位后得的图象
16．如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
17．已知为实数，向量，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
18．已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位．
(1)求复数；
(2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
19．某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆的半个圆弧（为此圆弧的中点）和直径构成，已知圆的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形；喷泉观景区的形状为．要求端点、均在直径上，端点、均在圆弧上．设．

(1)试用分别表示矩形和的面积；
(2)若在矩形两侧线段、的位置架起两座观景桥，已知建造荷花池的总费用为10万元，建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用为每平方千米16万元．问：当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．
20．如图，在中，为线段上一点（包含端点），且．
(1)若，求、的值；
(2)若，，，且与的夹角为，求的值；
(3)若，，，且与的夹角为，求的取值范围．
21．设向量，函数，则称函数为向量的友好函数，称向量为函数的友好向量．
(1)设 ，且函数的友好向量为，求的单调增区间；
(2)设 ，函数的友好向量为，且的最小正周期为，若在上恰有5个零点，求实数 的取值范围；
(3)如果函数的定义域为 ，若对于任意 ，， ，，，分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”．现已知 ，且函数的友好向量为，记 ，当定义域为时，为“三角形函数”，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《上海市南汇中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷》参考答案
题号 13 14 15 16
答案 B A D D
1．
2．
3．
4．
5．/0.5
6．/
7．
8．
9．
10．
11．
12．
17【详解】（1）由题意可得，化简得 ，
解得 ，或 .
（2）由题意可得 ，解得 ，故，
因此，
故.
18．【详解】（1）设复数，
由是实数知，即，
所以．
又因为是纯虚数，则为纯虚数，
即且，
所以，
所以．
（2）由（1）知，
则，
所以，，
因为向量与的夹角为钝角，
所以，且与不共线，
即，且
解得且.
19．【详解】（1）由题可得，则；
如图连接与交于E，因为此圆弧中点，由圆弧对称性，可得，，
从而，；
（2）由（1）及题设可得：建造该景区总费用为：，.
令，则.
又，则.
从而，
因在(]上单调递减，则，
则建造该景区总费用最低费用为（万元），此时.

20．
【详解】（1）若，则， 整理得，即，
又， 所以；
（2）若，则， 整理得，即，
所以 ，
因为，，且夹角为， 所以，
代入得；
（3）因为与的夹角为，
以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，
则，，， 所以，
由，得，
所以， 则，，
所以 ，
因为为线段上一点，所以，
当时，取得最小值，
当或时，取得最大值，
所以的取值范围为.
21．
【详解】（1）由题意得 ，且函数的友好向量为，
则 ，
令，解得 ，
可得的单调增区间为 .
（2）由题意得函数的友好向量为，
则 ，
而的最小正周期为，得到 ，解得 ，
则 ，令 ，
解得 ，再列举出 时，
当 时，得到，当 时，得到，
当时，得到，当 时，得到，
当 时，得到，当 时，得到，
而在上恰有5个零点，可得.
（3）由题意得 ，且函数的友好向量为，
可得 ，而 ，
得到 ，
当时，可得，
依题意， 为“三角形函数”，当且仅当，
当 时， ，恒有 ， ，
满足，则 ；
当时， ，显然有 ，
由，得 ，解得 ，因此 ；
当时， ，必有 ，即 ，
由，得 ，解得，因此 ，
故实数的取值范围是 .
答案第1页，共2页
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