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期末考试学情自测卷（一）——2025-2026学年人教版七年级下册（含答案）
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列实数，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）．
A．随机选取一个班的学生 B．随机选取一个体育队的学生
C．在全校女生中随机选取人 D．在全校学生中随机选取人
3．若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（　　）
A．∠1＝∠4 B．∠3＝∠4 C．∠2+∠3＝180° D．∠1+∠D＝180°
6．若是关于的方程的一个解，则的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
8．把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则a的值是（ ）
A．130 B．1300 C．169 D．1690
10．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．若点在轴上，则________．
12．如图，已知，若，，则____°．
13．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵．
14．直线交于点O，，，则____．
15．当光线从空气斜射入某种透明液体中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图，为液面，于点，一束光线沿斜射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为___________．
16．如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，，则下列结论：①；②；③FD平分；④．其中正确的结论是_______．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．（1）解方程组：；
（2）计算：．
18．解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来．
19．若，
(1)求的值；
(2)求的平方根．
20．如图，在直角坐标系中，点．
(1)若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出的坐标，并在图中画出平移后图形；
(2)求出的面积．
21．某市教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是___________，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为___________；
(2)补全条形统计图：
(3)学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有1000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
22．对x，y定义一种新运算T，
规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
(1)已知，．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
23．综合与实践：某校组织七年级师生去历史博物馆参观，需要联系客运公司租用客车前往．通过市场调研获得以下信息：
【信息1】客运公司有两种型号的客车可供租用．租用2辆A型客车和1辆B型客车满载能坐师生136人；租用1辆A型客车和2辆B型客车满载能坐师生152人．
【信息2】本次参加参观活动的师生共571人；A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金1200元．
【信息3】学校计划租用11辆客车，在保证一次性将全部师生送到目的地的前提下，租车费用不超过13200元．
【探究任务】
(1)求每辆A型客车和B型客车的载客量；
(2)有哪几种租车方案？哪种方案的租金最低？
24．在平面直角坐标系中，对于给出如下定义：
记是的“半影点”，例如的“半影点”是它自己．
对平面内两点，，记，，如果称和为“单位邻点”，例如和是“单位邻点”．
(1)已知，点是点的“半影点”．
点的坐标是_____________；
下列三个点中，是的“单位邻点”的有_____________（填字母）：
． ． ．
若点在轴上，且的半影点与是“单位邻点”，直接写出的坐标．
(2)如图，四边形是以原点为中心的边长为，且四边分别与坐标轴平行的正方形．
请直接在图中画出点的所有单位邻点组成的图形；
对于一个四边分别与坐标轴平行的正方形，如果正方形边上的任何一点，其“半影点”都可以在四边形的边上找到其单位邻点，直接写出正方形的面积的最大值为_____________．
25．如图，平面直角坐标系中，已知点，，其中，满足．
(1)求点和点的坐标；
(2)如图1，点为线段上一动点．
①用含有的式子表示；
②连接，如果把三角形分成两部分的面积比为，求点的坐标．
(3)如图2，将点向左平移个单位长度得到点，线段上的动点以个单位长度/秒的速度从点向点运动，同时线段上的动点以个单位长度/秒的速度从点向点运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止．设运动时间为秒，连接交于点，记三角形的面积为，记三角形的面积为，当不大于时，求的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C A A B B B C
11．6
12．40
13．1600
14．
15．
16．①②④
17．【详解】（1）
得
解得，
把代入，得，
解得
∴方程组的解是；
（2）
18．【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
在数轴上表示如下：
19．【详解】（1）解：∵，，
∴或，，
当，时，；
当，时，；
综上，的值为2或．
（2）解：由（1）得的值为2或．
当时，的平方根为；
当时，无平方根．
综上，的平方根为．
20．【详解】（1）解：由题意，，
即：；
画出如图：
（2）的面积为：．
21．(1)500；
(2)
补全条形统计图如下：
(3)100人
22．【详解】（1）解：①根据题意得：
，
解得：，
②由题意得：，
则可以化为，
解得：，
恰有2个整数解，
故
解得
（2）∵对任意实数x，y都成立
即对任意实数都成立
即
23．【详解】（1）解：设每辆A型客车的载客量为人，每辆B型客车的载客量为人，
根据题意得：，
解得：，
答：每辆A型客车的载客量为40人，每辆B型客车的载客量为56人．
（2）解：设学校租用A型客车辆，则租用B型客车辆，
根据题意得：，
解得：
∵为非负整数，
∴或1或2，
故有三种租车方案：
①租用B型客车11辆，租金为（元）；
②租用A型客车1辆，B型客车10辆，租金为（元）；
③租用A型客车2辆，B型客车9辆，租金为（元）．
答：共有三种租车方案：①租用B型客车11辆②租用A型客车1辆，B型客车10辆，③租用A型客车2辆，B型客车9辆，方案③租金最低．
24．【详解】（1）解：点是点的“半影点”,
∴，即，
故答案为：；
由得，
．，
∴，，
∴，
∴点是的“单位邻点”；
．，
∴，，
∴，
∴点不是的“单位邻点”；
．，
∴，，
∴，
∴点不是的“单位邻点”；
故选：；
设，则的“半影点”为，
∴，，
∴，
∴或，
∴或，
解得：或或或，
∴或或或；
（2）解：由题意得，设的“单位邻点”为，
∴，，
∴，
∴，
画图如图，
设边上任意点的“半影点”为，
∵所有半影点，“半影点”都可以在四边形的边上找到其单位邻点，且或且，
∴“半影点”正方形最大范围为，，
∴原正方形坐标，，
∴正方形边长最大为，此时面积最大为，
故答案为：．
25．【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∴，；
（2）解：连接．
①，，
，，
∵，且点在第二象限，
∴，整理得：．
②当时，，即．
于是，解得：．
此时．
当时，，即．
于是，解得：．
此时．
综上，或．
（3）解：如图，连接．
由题意可知，，，
∴，．
∵，
∴，
即．
∵，
∴，
解得：．
又∵，解得：．
∴当时，．
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