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2025-2026学年人教版七年级数学下册核心素养真题卷(一)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．36的平方根是（ 　 ）
A．6 B． C． D．18
2．在平面直角坐标系中，点（﹣2，4）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A．调查神舟号火箭的零件安全情况．
B．公司质检部门要了解一批电子产品的防水性能
C．河务部门要了解7月份流经某水文站的黄河河水的泥沙含量
D．公园管理部门要了解市民对园区内健身器材的喜好程度．
4．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．两直线平行，内错角相等
C．相等的角是对顶角
D．互为相反数的两数和为零
5．已知，，则点在第（ ）象限
A．四 B．三 C．二 D．一
6．如图，丫丫用一张正方形纸片折出了“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线(即)，步骤如下，其中的依据是( )
A．过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
B．平行于同一直线的两条直线互相平行
C．两直线平行，同旁内角互补
D．同位角相等，两直线平行
7．若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余2辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？可设共有人，辆车，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．定义：对于一个四位数，若满足，则称该四位数为“阶特征数”．例如，满足，则为“阶特征数”．依据以上定义，下列说法中错误的是（ ）
A．
B．记“阶特征数”的最大值为，最小值为，则
C．若能被整除，则也只能等于
D．个数最多的“阶特征数”是“阶特征数”或“阶特征数”
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．已知点的坐标为，则点到轴的距离为______．
12．一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组分别有10个、5个、7个、6个，第5组所占的百分比为，则第6组数据有___________个．
13．一个正数m的两个不同的平方根分别是和，则a的值是__________．
14．在平面直角坐标系中，已知线段轴，且，点的坐标是，则点的坐标为_______．
15．关于，的二元一次方程组，则下列四个结论：
①若，则上述方程组的解为；
②若x，y都为正数，则；
③无论k为何值，始终有x+y=4成立；
④若，则的最大值为．
其中正确的结论是______（请填写正确结论的序号）．
16．若关于x的不等式 的最小整数解为3，则m的取值范围是_____．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
19．解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
20．某校为了解学生对“运动与健康”知识的掌握情况，开展了以“我运动，我健康”为主题的知识测试，并随机抽取了50名学生的测评成绩（百分制，分数均为整数），对他们的测评数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．50名学生得分x（单位：分）的频数分布直方图如图所示：（数据分成5组：，，，，）；
b．学生得分在这一组的是：
21，81，81，82，82，83，84，85，85，86，86，86，86，87，87，88，90，
c．所有测评学生的得分平均数为81.26分；
d．小明在这次知识测评中得分为88分．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)小明的得分在抽取的50名学生得分中，从高到低排第 名；
(2)本校三个年级共有900人参加了此次测试，请估计测试成绩超过平均分81.26分的人数；
(3)请对该校学生“运动与健康”知识的掌握情况进行合理评价．
21．由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，D四点为格点，其中D点坐标为，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图或解答相关问题．
(1)画平面直角坐标系，并画原点O，并直接写出A，B，C点坐标；
(2)画出将平移后的对应，使E与A对应，D与C对应，并直接写出线段扫过的面积．
22．某汽车销售公司计划购买并销售A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆．这两款汽车每辆车的进价和售价如表格所示．
类型 进价（单位：万元/辆） 售价（单位：万元/辆）
A型 27
B型
(1)若该公司购买A，B这两种型号的车刚好用去501万元，求购买A，B两种型号汽车各多少辆？
(2)为了保证将这20辆车全部售出后，所得利润不低于万元又不超过22万元，公司共有几种购车方案，并说明使公司能获得最大利润的购车方案及最大的利润是多少万元？
23．已知关于的不等式组．
(1)若该不等式组有解，求的取值范围；
(2)若该不等式组有且恰有四个整数解，求的取值范围．
24．如图1，在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，点和在x轴上，其中负数b的立方根等于它本身，又．
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)已知线段与y轴交于点，点P为y轴正半轴上一点，且满足，请直接写出点P的坐标；
(3)点M为线段上一点（不与A，B两点重合），点N为线段上一点（不与A，C两点重合）．
①如图2，若，点Q是线段上一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点E，试探究与的数量关系并证明；
②如图3，若，，连接，交于点F．记的面积为，的面积为，的面积为，已知，求出n的值．
25．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义：若，则点与点的“识别距离”为；若，则与点的“识别距离”为；
（1）已知点，为轴上的动点，
①若点与的“识别距离”为3，写出满足条件的点的坐标．
②直接写出点与点的“识别距离”的最小值．
已知点坐标为，，写出点与点的“识别距离”的最小值．及相应的点坐标．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C C D D A B D
二、填空题
11．1
12．8
13．
14．或
15．①②③
16．7≤m<10
三、解答题
17．【详解】解：
．
18．【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
解集表示在数轴上，如图，
19．【详解】（1）解：，
把①代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
所以原方程组的解是；
（2）解：，
，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以原方程组的解是．
20．【详解】（1）由频数分布直方图可知：
学生得分在的有9人，
又∵学生得分在这一组的是：
81，81，81，82，82，83，84，85，85，86，86，86，86，87，87，88，90，
∴88分从高到低排第11名，
故答案为：11；
（2）由频数分布直方图和得分在这一组具体数据，
可知：样本中50名学生测试成绩中超过平均分81.26分有：（人），
∴（人），
答：估计测试成绩超过平均分81.26分的有414人；
（3）从频数分布直方图中可以看出，成绩高于80.8的26人；但低于平均分的有27人，说明大部分成绩有待提高．
21．【详解】（1）解：画平面直角坐标系如图，
由图可得的坐标为；的坐标为；的坐标为．
（2）解：如图，
22．【详解】（1）解：设购买A种型号的汽车x辆，购买B种型号的汽车y辆，
由题意得，，
解得，
答：购买A种型号的汽车5辆，购买B种型号的汽车15辆；
（2）解：设购买A种型号的汽车m辆，则购买B种型号的汽车辆，
由题意得，，
解得，
∵m为正整数，
∴m的值为10或11或12，
当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴一辆B种型号的汽车比一辆A种型号的汽车的利润大，
∴要使总利润最大，则B种型号的汽车要最多，
∴当当，时，总利润最大，最大为万元；
答：一共有三种方案：方案一、购买A种型号的汽车10辆，购买B种型号的汽车10辆；方案二、购买A种型号的汽车11辆，购买B种型号的汽车9辆；方案一、购买A种型号的汽车12辆，购买B种型号的汽车8辆；当购买A种型号的汽车10辆，购买B种型号的汽车10辆时所获利润最大，最大为22万元．
23．【详解】（1）
解：解不等式①，得：．
解不等式②，得：，
∵不等式组有解，
∴，
解得：．
（2）由（1）知：，，
∵该不等式组有且恰有四个整数解，故整数解为：，
∴，
解得：．
24．【详解】（1）解：∵负数b的立方根等于它本身，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由A，B，C坐标可知，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∵P在y轴正半轴上，
∴；
（3）①；证明如下：
∵，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．【详解】（1）①设点B的坐标为
点与的“识别距离”为
解得
则点B的坐标为或；
②由得：
因此，分以下两种情况：
当时，
则点与点的“识别距离”为
当或时，
则点与点的“识别距离”为
综上，点与点的“识别距离”大于或等于2
故点与点的“识别距离”的最小值为2；
（2）由得：或
解得或
因此，分以下三种情况：
当时，
则点与点的“识别距离”为
此时
当时，
则点与点的“识别距离”为
当时，
则点与点的“识别距离”为
由此可知，点与点的“识别距离”的最小值为
此时，
则点C的坐标为．
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