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2025-2026学年八年级数学下册期末考试练习卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
1．如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件中，确定事件是（ ）
A．上海明天太阳从西边升起
B．任意两个非零实数，它们的积为正
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
3．函数的自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．前三个都是
6．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7．请写出一个使二次根式有意义的x的值________．
8．化简__________．
9．如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，则的周长是___________．
10．从一副扑克牌中抽出一张牌记下花色再放回洗匀，抽了50次，出现梅花的次数有12次，则出现梅花的频率为___．
11．已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________．
12．如图，在中，点为斜边上的动点，于点于点，那么线段的最小值是___________．
13．因式分解：________．
14．如图，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点，表示的数分别为，．化简为___________．
15．某校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x千米/时，则根据题意可列方程为______．
16．如图，在正方形中，F为上任意一点，连接，取中点M，过点M作交于点G，交于点H，连接交于点N，若，则为____．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．）
17．（本题6分）计算：
(1)， (2)
18．（本题4分）解方程：
19．（本题4分）先化简，再求值：，其中x是方程的解．
20．（本题6分）我校为加强学生安全意识，组织全校学生参加了安全知识竞赛，为了解此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题．
安全知识竞赛成绩统计表
组别 成绩x/分 频数/人
甲组 10
乙组 a
丙组 14
丁组 8
(1)求一共抽取了多少个参赛学生的成绩；
(2)表中________，在图中补全频数分布直方图（用阴影呈现）；
(3)计算图中“甲”对应的圆心角度数；
(4)若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”，则在所抽取学生中，成绩为“优”的学生人数所占百分比是多少？
21．（本题6分）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求证：．
22．（本题6分）方法探究：
已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．
我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”．
问题解决：
(1)用“试根法”分解因式：．
(2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中．
23．（本题6分）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆；
(1)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？
(2)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？
24．（本题8分）已知，将其分母有理化．
小明同学是这样解答的：
请你参考小明的化简方法，解决如下问题：
(1)直接写答案：________
(2)计算：；
(3)若，求的值．
25．（本题10分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：
(1)在图1中，画出一个平行四边形，使其面积为6；
(2)在图2中，以为对角线画平行四边形（非矩形）；
(3)在图3中，画出一个矩形，使其邻边不等，且都是无理数．
26．（本题12分）（1）在中，，分别是边，上的点，连接，将绕点顺时针旋转，点落在边上的处，设旋转角为．
①如图①，若，求证：．
②如图②，已知点，，求作点，，使.（要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
（2）如图③，在正方形中，，分别是边，上的点，连接，将绕点顺时针旋转，点恰好落在边上的处．若，，则正方形的边长为______．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵在中，对角线与相交于点O，
∴，，，
无法判断，
∴结论错误的是B．
2．A
解：A、太阳一定从东方升起，不可能从西边升起，该事件一定不发生，故是确定事件，符合题意；
B、两个非零实数相乘，同号得正异号得负，积可能为正也可能为负，故是随机事件，不符合题意；
C、抛掷质地均匀的硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故是随机事件，不符合题意；
D、只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，非平行直线被截时同位角不相等，故是随机事件，不符合题意．
3．A
解：∵是分式，分式有意义的条件是分母不为0，
∴，
解得．
4．C
解：∵四边形是平行四边形，平行四边形邻角互补，
∴，
又∵平行四边形对角相等，
∴．
∵，
设，，
∴，
解得，
∴，
∴．
5．B
解：、该变形是整式的乘法，是因式分解的逆运算，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
、，是因式分解，故本选项符合题意；
、等式右边不是整式积的形式，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
、本选项不符合题意．
6．D
解：如图，补全折叠前的矩形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，故A选项正确，不符合题意；
过点B作交于点E，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，故B选项正确，不符合题意；
∵，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
化简得，故C选项正确，不符合题意；
由于点M，N位置不确定，因此不一定是，
∴不一定是，
∴不一定平行，故D选项错误，符合题意．
二、填空题
7．3（答案不唯一）
解：二次根式有意义，
，
解得：，
取（满足的任意实数均可）．
8．
解：
．
9．20
解：∵在中，，，
∴，
∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∴的周长为.
10．0.24
解：抽牌总次数为50次，出现梅花12次，
因此频率为．
故答案为：0.24．
11．5、4、2、1
解：去分母，得：，
移项，合并同类项，得：，
∵解为非负数，
∴，
∴，
∵原分式方程有可能产生增根，
∴，
∴，
∴正整数的值为5、4、2、1．
故答案为：5、4、2、1．
12．
解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得：时，线段的长最小，
在中，，
∴，
当时，
∵，
∴，
解得：，
即的最小值为．
13．
解：
．
故答案为：．
14．
解：由图可知，根据勾股定理：
，
，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．
解：训练前速度为千米/时，跑3千米所需时间为小时；
比赛时速度为千米/时，所需时间为小时．
由于比赛时少用3分钟，即小时，
因此有．
故答案为：．
16．2
解：连接，，
∵，且点M是中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
作于点，作于点，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵点M是中点，
∴，
作于点，
∵正方形，∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．解：，
，
，
，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
19．解：原式
，
，
解得，
经检验是原分式方程的解，
当时，
原式．
20．（1）解：（人），
答： 共抽取了40个参赛学生的成绩．
（2）解：（人），补全频数分布直方图如下：
故答案为：8．
（3）解：，
答：图中“甲”对应的圆心角度数为．
（4）解：，
答：在所抽取学生中，成绩为“优”的学生人数所占百分比是．
21．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
22．（1）解：将代入多项式，得
，
∴多项式含有因式，
设，
∴
∴一次项系数：
解得，
常数项：，
∴；
（2）解：由题意得，
，
∴二次项系数：
解得，
常数项：
解得．
23．（1）解：设B型自行车的进货单价为元，则A型自行车的进货单价为 元． 根据题意，
得．
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
则 (元)．
答：A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元．
（2）解：由题意得，每辆A型车的利润为 (元)，每辆B型车的利润为 (元)．
设售出A型车辆，则售出B型车辆，总利润为元．
则 ．
根据题意得 ．
解不等式 得 ．
解不等式得．
因为为正整数，所以的取值为．
中，，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时 (元)，(辆)．
答：售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润是10700元．
24．（1）解：．
（2）解：原式
．
（3）解：∵，
∴
．
25．（1）解：如图，平行四边形即为所求；
理由：∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，平行四边形即为所求；
理由：∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图，矩形即为所作：
理由：∵，，,
∴，
∴四边形是矩形．
26．解：（1）①证明：由旋转的性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
②点和点如图所示，
步骤如下：
1．过点作的垂线，交的延长线于点；
2．在线段上截取；
3．在射线上截取；
则点和点为所作，且.
（2）如图，在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，作，垂足为，设正方形边长为，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在直角中，，，
∴，
同理，，
由勾股定理可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
∴正方形的边长为．
故答案为：．

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