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第23讲 函数的零点问题 · 分类练习（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
见解析 D A A A
6 7 8 9 10
（1）1个 （2） （1） （2） D （1） （2）① ② B
11 12 13 14 15
C （1）见解析 （2） （1）见解析 （2） 或 （1） （2） （3）证明见解析 （1） （2）
16 17 18 19 20
BCD （1）3 （2）3 （3）证明见解析 C
21 22 23 24 25
A D C （1） （2）① ②
26 27 28 29 30
（1）1个 （2）① ②证明见解析 （1）见解析 （2） （3）0 A D
考点一：一个零点问题
考法1：利用导数几何意义求切线方程及证明零点唯一性
1.（2025·安徽淮北淮南·二模）已知函数 .
（1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由；
（2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1） 当 时，.
因为 ，当 时，，所以 在 上单调递减.
又 ，
所以 在 上恒成立，即 在 上单调递减.
又 ，所以 在 上没有零点.
（2） ①当 时，由（1）知 ，与当 时 矛盾，故 不满足题意.
②当 时，，.
令 ，则 ，所以 在 上单调递增.
（i） 若 ，即 ，则 ，所以 在 上单调递增，则 ，符合题意.
（ii） 若 ，即 ，则存在唯一的 ，使得 .
当 时，，所以 在 上单调递减；当 时，，所以 在 上单调递增.
所以 ，满足题意.
③当 时，，，所以 在 上单调递减.
又 ，若 ，即 ，则存在 ，使得 ，当 时，，不合题意.
若 ，即 ，则 ，符合题意.
综上， 的取值范围为 .
【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点个数及恒成立问题，需对参数进行分类讨论，并结合零点存在性定理与极值分析.
考法2：利用导数分析单调性判断零点个数或求参数
2.（2026·衡水中学·4月检测）若函数 有且只有一个零点，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知 .
因为 有且只有一个零点，所以方程 没有实数根，或有两个相等的实数根且根为 .
若方程 没有实数根，则 ，解得 .
若方程 有两个相等的实数根且根为 ，则 且 ，显然不成立.
综上所述， 的取值范围为 .
【点拨】本题考查函数零点个数问题，通过因式分解将三次函数零点问题转化为二次方程根的分布问题是解题关键.
考法3：利用端点值符号与零点存在性定理求参数范围
3.（2025·江西三新·5月模拟）若函数 在 上有零点，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减.
因为 在 上有零点，
所以 ，即 ，
即 ，解得 .
【点拨】本题考查利用零点存在性定理求参数范围，判断出函数的单调性是解题的基础.
考法4：结合导数零点求函数最值或比较大小
4.（2026·河南新乡·三模）已知函数 的零点分别为 ，则 的大小顺序为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ，得 ，即 ，设 ，画出图象，交点横坐标为 ，由图可知 .
由 ，得 ，设 ，画出图象，交点横坐标为 ，由图可知 .
由 ，得 ，解得 .
所以 .
【点拨】本题考查函数零点的判定与比较，利用函数的单调性及零点存在性定理确定零点所在的区间是解题关键.
5.（2026·江西赣州·一模）已知 ，函数 的最大值为 0，则 的最小值为（ 　　）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】依题意可得函数 的定义域为 ，由函数 的最大值为 0，即 在 上恒成立，即 的图象在 的下方，结合图象可得，当函数 的图象过原点，且 与 相切时， 取得最小值，根据对称性，不妨只考虑 的情况，即当 与 相切时， 取得最小值，即 在 上恒成立，令 ，即 时， 取得最小值，则 ，令 ，则 ，又 时，，即 在 上单调递增； 时，，即 在 上单调递减，所以 ，解得 .
【点拨】本题考查利用导数求函数的最值及参数的范围，通过数形结合将问题转化为切线问题是解题的关键.
考法5：零点存在性与不等式证明综合
6.（2026·石家庄一中·一模）已知函数 .
（1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由；
（2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） 1个；（2）
【解析】（1） 当 时，.
因为 ，所以 在 上单调递增.
又 ，，
所以存在唯一的 ，使得 .
当 时，， 在 上单调递减.
当 时，， 在 上单调递增.
又 ，所以 .
又 ，所以当 时， 在 上有且只有一个零点.
（2） ①当 时，，与当 时 矛盾，故 不满足题意.
②当 时，，.
令 ，则 ，.
记函数 ，，则 .
当 时，，所以 在 上单调递增.
当 时，，所以 在 上单调递减.
所以 ，所以 .
又因为 在 上单调递增，所以 ，所以 在 上单调递增.
（i） 若 ，则 ，所以 在 上单调递增，则 ，符合题意.
（ii） 若 ，则 ，使得 ，即 ，使得 .
因为 ，且 在 上单调递增，所以存在唯一的 ，使得 .
当 时，，所以 在 上单调递减.
当 时，，所以 在 上单调递增.
其中 ，且 .
所以 .
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以 ，满足题意.
结合①②可知，当 时，满足题意.
综上， 的取值范围为 .
【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点个数及恒成立问题，需对参数进行分类讨论，并结合零点存在性定理与极值分析.
考点二：二个零点问题
考法7：利用导数分析单调性判断两个零点或求参数
7.（2026·安徽淮北·二模）已知函数 .
（1） 当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 若方程 有两个不同的根，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） 当 时，，，得 ，又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2） ，当 时，， 在 上单调递增，方程 至多有一个实根，不符合题意舍去；当 时，令 解得 ，当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减； 时，； 时，.要使方程 有两个不同的根则 ，即 ，所以 ，即 ，令 ，，故 在 上单调递增，又 ，所以 .综上： 的取值范围是 .
【点拨】本题考查导数的几何意义及利用导数研究方程的根的个数，分离参数或构造函数是常用方法.
8.（2025·江西高三·4月联考）已知函数 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令 ，得 ，即 ，令 ，则 ，则 .令 在区间 上单调递增；令 在区间 上单调递减.又 ，，则 有且只有两个根，分别为 0，1.当 时，函数 恰有 2 个零点等价于 的图象与直线 和 各有 1 个交点，符合题意.当 时，函数 恰有 2 个零点，等价于函数 的图象与直线 的图象共有 2 个交点，临界情况为两条直线分别与 的图象相切.如图 1，当 与 相切，设对应切点为 ，则相应切线方程为 ；如图 2，当 与 相切，设对应切点为 ，则相应切线方程为 .综上 .故选 D.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点问题，通过换元将复杂方程转化为两个简单方程的根的个数问题是解题的关键.
考法8：结合参变分离与恒成立问题求参数范围
9.（2026·河北金科·2月联考）已知函数 .
（1） 若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围；
（2） 设 在 处的切线方程为 .
① 求 的解析式；
② 当 时， 恒成立，求 的取值集合.
【答案】（1） ；（2） ① ；②
【解析】（1） .当 时，， 无极值点.当 时，令 ，得 .因为对于 ，，对于 ，，所以 是 的极小值点.这时 的值域为 .由 有零点得 ，解得 .综上， 的取值范围为 .
（2） ① ，，所以 在 处的切线方程为 ，即 .② 当 时， 恒成立，即当 时，；当 时，.令 ，则 .当 时，，当 时，， 单调递增，所以 ，不合题意.当 时，令 ，得 或 .若 ，即 ，当 时，， 单调递增，所以 ，不合题意.若 ，即 或 ，当 时，， 单调递减，所以 ，不合题意.若 ，即 ，当 时，， 单调递减，所以当 时，；当 时，，符合题意.综上， 的取值集合为 .
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，构造函数并利用极值点处的导数特征是解题的关键.
考法9：分段函数或绝对值函数的零点问题
10.（2026·广东江门·二模）已知函数 ，，若 恰有 2 个零点，则 的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当 时，，则 ，所以当 时，，函数 在 上单调递增.当 时，，所以当 时，，函数 在 上单调递减；当 时，，函数 在 上单调递增.所以当 时，函数 的取值范围为 .作出 的大致图象，如图所示.由 ，得 ，由图可知，当 时，直线 与 的图象恰有 2 个交点，即 恰有 2 个零点.所以 的取值范围是 .故选 B.
【点拨】本题考查分段函数的零点问题，通过求导分析函数的单调性并作出函数的大致图象，数形结合是解决此类问题的有效方法.
考法10：已知两个零点求参数范围或零点之和
11.（2026·广东佛山·二模）设函数 和 的零点分别为 ，其中 . 当 时，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 ，得 ，设 的图象与 的图象的交点为 ，由 ，得 ，设 的图象与 的图象的交点为 ，而 的图象与 的图象关于直线 对称，函数 的图象也关于直线 对称，因此点 与点 关于直线 对称，则 ，，而当 时，；当 时，，函数 在 上单调递减，所以 .故选 C.
【点拨】本题考查反函数图象的对称性及函数零点的综合应用，利用对称性得到两个零点之间的关系是解题的关键.
12.（2026·山东临沂·一模）已知函数 .
（1） 求 的单调区间；
（2） 已知 在 上有且仅有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1） 见解析；（2）
【解析】（1） 函数的定义域为 ，.当 时，，所以 在 上单调递增.当 时，由 得 ，当 时 ，当 时 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.综上，当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） 由（1）知，当 时不合题意.当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，故 在 上取得极大值，也是最大值，最大值 .要满足 有且仅有两个零点，则 ，得 .当 时，，又由 ，得 .综上可知，所求 的取值范围为 .
【点拨】本题考查利用导数求函数的单调区间及根据零点个数求参数范围，分类讨论及端点效应是解题的常用技巧.
考法11：两个零点背景下的极值点偏移问题
13.（2025·江西新余·二模）已知函数 .
（1） 讨论函数 的单调性；
（2） 设函数 ，若存在唯一实数 使函数 的最小值为 0，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 见解析；（2） 或
【解析】（1） 由 得 .当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2） 令 ，由（1）可知， 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .依题，存在唯一实数 使函数 的最小值为 0，所以存在唯一实数 使 .令 ，则 .（i） 当 时， 恒成立，故函数 在 单调递增，又因为 ，所以存在唯一实数 使得 ，符合题意；（ii） 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，故函数 在 单调递增，在 单调递减，所以 ，解得 .综上，实数 的取值范围是 或 .
【点拨】本题考查导数在研究函数最值及参数范围中的应用，通过构造函数并分类讨论是解题的关键.
考法12：两个零点背景下的双变量不等式证明
14.（2026·山东聊城·二模）已知函数 .
（1） 若 有极值点，无零点，求 的取值范围；
（2） 若 的图象在区间 内存在两条互相垂直的切线，求 的取值范围；
（3） 设 ，若方程 有两个实数根 ，且 ，求证：，且 .
【答案】（1） ；（2） ；（3） 证明见解析
【解析】（1） .当 时，， 无极值点.当 时，令 ，得 .因为对于 ，，对于 ，，所以 是 的极小值点.这时 的值域为 .由 无零点得 ，解得 .综上， 的取值范围为 .
（2） 由 的图象在区间 内存在两条互相垂直的切线，得 使 .当 ，则 ，不符合题意.当 时， 在 上单调递减.所以 在 内的值域为 .所以，由题意可得 ，解得 .因此， 的取值范围为 .
（3） 设 ，则 .因为 ，所以 .当 时，， 在 上单调递增，不合题意，所以 .由 ，得 .设 ，则 .因为 ，所以 在 上单调递增.又因 ，所以 ，所以 .所以 .设 ，则 .因为当 时，，所以 在 上单调递减，又因为 ，所以当 时，.即 .因为 ，所以 ，即 .又因 ，所以 ，所以 .又因为 ，，所以 .
【点拨】本题考查导数在研究函数极值、切线及双变量不等式证明中的综合应用，构造函数并利用对数平均不等式放缩是证明的关键.
考点三：三个零点问题
考法13：利用导数分析单调性判断三个零点或求参数
15.（2024·深圳光明·5月模拟）已知函数 .
（1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 若 恰有三个零点，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） 时，，所以 ，所以 ，，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2） 因为 ，所以 是 的一个零点，因为 恰有三个零点，所以方程 有两个不为 2 的实数根，即方程 有两个不为 2 的实数根，令 ，所以 ，令 ，得 ，令 ，得 ，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，当 时， 的值域为 ；当 时， 的值域为 ，所以 ，且 ，所以 ，且 ，所以 的取值范围是 .
【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点个数，通过分离参数将问题转化为两个函数图象的交点问题是解题的常用方法.
考法14：三次函数或复合函数的三个零点问题
16.（2026·江苏镇江·零模）（多选）已知函数 有三个不同零点 ，其中 ，则（ 　　）
A. 的取值范围为
B. 若 成等差数列，则
C.
D.
【答案】BCD
【解析】， 或 2， 在 单调递减， 单调递增， 单调递减，， 有三个不同的零点，则 ，，A 错. 是 的三个根，则 .对于 B， 成等差数列，则 ，，，B 对.对于 D，，D 对.对于 C，如图，，，由 知 ，，选 BCD.
【点拨】本题考查三次函数的图象与性质、零点问题及韦达定理的应用，结合图象分析极值点是解题关键.
17.（2025·河南驻马店·3月月考）设 为自然对数的底数，若函数 存在三个零点，则实数 的取值范围是__．
【答案】
【解析】设 ，故 ，即 .对函数 ，其函数图象单调递增，且过点 .令 ，故要满足题意，只需 在 内有一个实数根，且另一个根为 0；或 在 内有一个实数根，且在 内也有一个实数根.所以 或 或 .即 或 或 .解得 .
【点拨】本题考查复合函数的零点问题，通过换元将问题转化为二次方程根的分布问题是解题的有效策略.
考法15：分段函数、绝对值函数或图象交点的三个零点问题
18.（2026·宜春十校·二模）已知函数 ，若函数 恰有 3 个零点，则实数 的取值范围是__.
【答案】
【解析】由函数 恰有 3 个零点，则方程 ，即 有 3 个不同的实数根，等价于 图象有 3 个交点，.如图由 图象要有 3 个交点，根据图象可知：，当 时，所以 ，即 .当直线 与 相切时，，设切点为 ，且 ，所以 ，可得 ，所以 ，可得 或 （舍），所以可知 .
【点拨】本题考查分段函数与绝对值函数的零点问题，通过数形结合将零点问题转化为函数图象交点问题，并利用导数处理相切临界状态是解题关键.
考法18：三个零点背景下的不等式证明
19.（2026·湖南邵阳·一模）已知函数 .
（1） 若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值；
（2） 若 对 恒成立，求整数 的最小值；
（3） 当 时，证明： 在 上存在唯一零点 和唯一极小值点 ，且 .
【答案】（1） 3；（2） 3；（3） 证明见解析
【解析】（1） 由 ，可得 .因为曲线 在点 处的切线方程为 ，所以 ，解得 .
（2） 由 ，且 ，由 ，可得 .当 时，，，不符合，故 .当 时，.当 时，.令 ，可得 .所以 在 递增，在 递减.又 ，，所以 ，即 .当 时，可得 ，所以 .所以当 时，均有 对 恒成立.综上所述，整数 的最小值为 3.
（3） 证明：由 ，可得 .令 ，可得 .当 时， 在 上递增.而 ，，所以存在 ，使得 .所以 在 单调递减，在 单调递增.又 ，，所以存在 ，使得 .所以 在 递减，在 递增.所以 是 在 上的唯一极小值点.此时 ，，所以在 ，即 上存在唯一零点 ，使得 .下证：.因为 ，所以 ，又因为 在 递增，只需证 .因为 是 的唯一极小值点，可得 ，即 ，可得 .又因为 ，即 .因为 ，只需证明：.令 ，其中 ，则 .所以 在 上单调递增，.所以 成立，证毕.所以 在 上存在唯一零点 和唯一极小值点 ，且 .
【点拨】本题考查导数在研究函数零点及极值点偏移中的应用，通过构造函数并利用三角函数的性质进行放缩是证明不等式的关键.
考点四：零点问题之三角函数
考法19：利用数形结合与周期性求解三角函数零点个数
20.（2026·长沙雅礼·模拟）当 时，函数 的零点个数为（ 　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】令 ，即 ，移项可得 .对于 ，其周期 ；对于 ，其周期 .当 时，画出两个函数的图象为：
由图象可以看出，方程 在给定区间 内的解的个数为 6，所以函数 的零点个数为 6.
【点拨】本题考查三角函数的零点个数问题，通过移项转化为两个三角函数图象的交点问题，利用数形结合思想是解题的直观方法.
21.（2024·吉安六校·5月联考）已知函数 在区间 上的极值点个数为（ 　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】由函数 ，可得 ，令 ，即 ，可得 或 ，因为 ，可得 ，当 时，，所以 ， 单调递增；当 时，，所以 ， 单调递减；当 时，，所以 ， 单调递增；当 时，，所以 ， 单调递增；当 时，，所以 ， 单调递减；当 时，，所以 ， 单调递增，所以 在 上递增，在 上递减，在 上递增，在 上递增，在 上递减，在 上递增，其中 两侧函数的单调性相同，可得 不是函数 的极值点，所以 在区间 的极值点为 ，共有 4 个.故选：A.
【点拨】本题考查利用导数研究三角函数的极值点个数，准确判断导函数在各区间的符号是解题的关键.
考法20：三角函数零点求和与参数求解
22.（2026·湖北十一校·二模）已知函数 和 的图象的对称轴完全相同，令 ，则下列结论错误的是（ 　　）
A. 的一个周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 的一个零点为
D. 在 单调递减
【答案】D
【解析】令 ，则 为 的对称轴方程.令 ，则 为 的对称轴方程.由 与 的对称轴完全相同，则 ，即对称轴为 .所以 .且 ，则 .所以 ，其最小正周期 ，故 也是一个周期，A 对；，故 的图象关于直线 对称，B 对；，当 时，，所以 的一个零点为 ，C 对；，则 ，显然 在给定区间内不单调，D 错.故选 D.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，利用对称轴重合求出参数是解题的关键.
23.（2026·湖北十堰·一模）已知向量 . 若 （其中 表示不超过 的最大整数），则 的取值范围为__.
【答案】
【解析】因为 ，所以 .当 时，，显然不成立；当 时，，显然成立；当 时，，显然不成立；当 时，，显然不成立；当 时，，显然不成立；当 时，，显然不成立；当 时，，显然不成立；当 时，，显然不成立.所以 ，，.因为 ，所以 的取值范围为 .
【点拨】本题考查平面向量的数量积及取整函数的应用，通过分类讨论确定角 的范围是解题的关键.
考点五：零点问题之同构法与取点技巧
考法21：利用同构法求解零点个数或证明不等式
24.（2026·湖北黄冈·4月调研）设 分别是函数 与 的正零点，则 的最大值为（ 　　）
A. B. C. 6 D.
【答案】C
【解析】已知 是 的正零点，，代入 得：，通分整理得：.即点 同时在第一象限的圆 和曲线 上.再代入 （ 是 的正零点）得：，两边平方整理得：，即点 同时在第一象限的圆 和曲线 上.又 与 互为反函数，图象关于直线 对称，且圆 也关于 对称，因此点 关于 的对称点 ，一定在 上，且仍在圆 上.因为 时 单调递增，与圆只有一个第一象限交点，即点 就是 ，因此：，代入 得：.设 ，代入得：.正弦最大值为 1，因此 的最大值为 6.
【点拨】本题考查反函数图象的对称性及三角换元求最值，通过同构发现两个零点对应的点关于 对称是解题的核心.
25.（2026·山东淄博·二模）已知函数 .
（1） 若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围；
（2） 设 在 处的切线方程为 .
① 求 的解析式；
② 当 时， 恒成立，求 的取值集合.
【答案】（1） ；（2） ① ；②
【解析】（1） .当 时，， 无极值点.当 时，令 ，得 .因为对于 ，，对于 ，，所以 是 的极小值点.这时 的值域为 .由 有零点得 ，解得 .综上， 的取值范围为 .
（2） ① ，，所以 在 处的切线方程为 ，即 .② 当 时， 恒成立，即当 时，；当 时，.令 ，则 .当 时，，当 时，， 单调递增，所以 ，不合题意.当 时，令 ，得 或 .若 ，即 ，当 时，， 单调递增，所以 ，不合题意.若 ，即 或 ，当 时，， 单调递减，所以 ，不合题意.若 ，即 ，当 时，， 单调递减，所以当 时，；当 时，，符合题意.综上， 的取值集合为 .
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，构造函数并利用极值点处的导数特征是解题的关键.
考法22：结合导数证明零点差不等式
26.（2025·河北五个一·4月联考）已知曲线 ，直线 .
（1） 若 ，判断直线 与曲线 公共点的个数；
（2） 已知直线 与曲线 相交于 两点.
① 求 的取值范围；
② 证明：.
【答案】（1） 1个；（2） ① ；② 证明见解析
【解析】（1） 解：令 ，则 .
由 ，得 .
当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.
则 ，从而直线 与曲线 的公共点个数为 1.
（2） ① 解：令 ，则 .
由 ，得 .当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.
则 ，且当 时，，当 时，.
因为直线 与曲线 相交于 两点，所以 ，得 .
故 的取值范围为 .
② 证明：由题可知 是 的零点，不妨设 ，则 ，.
从而要证 ，只需证 ，即证 .
由①可知 在 上单调递减，则只需证 .
因为 ，所以只需证 ，即证 .
令 ，则 .
因为 ，且当仅当 时，等号成立.所以 在 上恒成立.
则 在 上单调递增，则 .
从而 .
所以 .
【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点及极值点偏移问题，通过构造对称函数证明不等式是解题的常用技巧.
考法23：利用零点存在性定理的取点技巧证明零点存在
27.（2026·湖南永州·二模）已知函数 和 .
（1） 设函数 ，讨论 的单调性；
（2） 若函数 与 的图象有三条公切线，求实数 的取值范围；
（3） 求函数 的最小值.
【答案】（1） 见解析；（2） ；（3） 0
【解析】（1） ，.
当 时，，， 在 上单调递减；
当 时，令 ，得 ；令 ，得 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2） 设公切线 与 相切于点 ，与 相切于点 .
由 得公切线 的方程为 ，整理得 ①
由 得公切线 的方程为 ，整理得 ②
由①②得 ，整理得 .
设 ，则 .
所以 ，得 或 ；，得 .
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
又 时，， 时，，，.
故要使 有三个不同的根，需 ，即 .
综上可得， 的取值范围为 .
（3） 因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增.
又因为 ，，所以 存在唯一零点 ，且 .
故当 时，；当 时，.
即 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 的最小值为 .
因为 ，所以 .
又因为 ，令 ，则 .
因为 ，所以 在 上单调递增，所以 ，即 .
故 的最小值 .
【点拨】本题考查导数在研究函数单调性及公切线问题中的应用，通过构造函数并利用同构思想求解最值是解题的关键.
考法24：结合复合函数与取点技巧分析零点个数
28.（2026·湖南邵阳·5月三模）已知函数 ，若函数 有 8 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】作出 的大致图象如下，
设 ，则关于 的方程 有 2 个不同的根 和 ，且关于 的方程 分别有 4 个不同的根.
不妨设 ，易知关于 的方程 的判别式 ，，.
（1） 若 ，则 ，所以 ，且 ，即 ，得 .
（2） 若 ，则 ，此时 ，符合题意.
故 ，选 A.
【点拨】本题考查复合函数的零点问题，通过换元将问题转化为二次方程根的分布，并结合函数图象分析交点个数是解题的有效方法.
考法25：绝对值函数零点背景下的等差数列问题
29.（2026·广东华南师大附中·5月测试）已知函数 ，其四个零点 恰好成递增的等差数列，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 ，定义域为 .
又 ，所以函数 为偶函数.
当 时，，
令 ，得 ，显然 ，，解得 或 .
由 有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为 .
因零点成递增等差数列，故排序为 ，
设公差为 ，则：，，
即 ，化简得 ，两边同乘 得 ，故 .
故选：D.
【点拨】本题考查函数的零点与等差数列的综合，利用函数的偶偶性求出零点的表达式，再结合等差数列的定义求解是关键.
30.（2025·江西萍乡实验大联考·一模）已知函数 ，若 恒成立，则实数 __．
【答案】
【解析】当 时，，则 ，
由于 恒成立，则 .
当 时，，其对称轴为：，
由于 ，所以当 时，，
则 ，解得：，
由于 ，则 .
当 时， 时，，满足条件，
时，，满足 恒成立.
综上，.
【点拨】本题考查分段函数的最值及恒成立问题，通过分类讨论并结合二次函数的性质求出最值是解题的关键.
第 2 页，共 17 页第23讲 函数的零点问题 · 分类练习
考点一：一个零点问题
考法1：利用导数几何意义求切线方程及证明零点唯一性
1.（2025·安徽淮北淮南·二模）已知函数 .
（1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由；
（2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围.
考法2：利用导数分析单调性判断零点个数或求参数
2.（2026·衡水中学·4月检测）若函数 有且只有一个零点，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
考法3：利用端点值符号与零点存在性定理求参数范围
3.（2025·江西三新·5月模拟）若函数 在 上有零点，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
考法4：结合导数零点求函数最值或比较大小
4.（2026·河南新乡·三模）已知函数 的零点分别为 ，则 的大小顺序为（ 　　）
A. B. C. D.
5.（2026·江西赣州·一模）已知 ，函数 的最大值为 0，则 的最小值为（ 　　）
A. B. C. 1 D.
考法5：零点存在性与不等式证明综合
6.（2026·石家庄一中·一模）已知函数 .
（1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由；
（2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围.
考点二：二个零点问题
考法7：利用导数分析单调性判断两个零点或求参数
7.（2026·安徽淮北·二模）已知函数 .
（1） 当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 若方程 有两个不同的根，求 的取值范围.
8.（2025·江西高三·4月联考）已知函数 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围为（ 　　）
A. B.
C. D.
考法8：结合参变分离与恒成立问题求参数范围
9.（2026·河北金科·2月联考）已知函数 .
（1） 若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围；
（2） 设 在 处的切线方程为 .
① 求 的解析式；
② 当 时， 恒成立，求 的取值集合.
考法9：分段函数或绝对值函数的零点问题
10.（2026·广东江门·二模）已知函数 ，，若 恰有 2 个零点，则 的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
考法10：已知两个零点求参数范围或零点之和
11.（2026·广东佛山·二模）设函数 和 的零点分别为 ，其中 . 当 时，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
12.（2026·山东临沂·一模）已知函数 .
（1） 求 的单调区间；
（2） 已知 在 上有且仅有两个零点，求 的取值范围.
考法11：两个零点背景下的极值点偏移问题
13.（2025·江西新余·二模）已知函数 .
（1） 讨论函数 的单调性；
（2） 设函数 ，若存在唯一实数 使函数 的最小值为 0，求实数 的取值范围.
考法12：两个零点背景下的双变量不等式证明
14.（2026·山东聊城·二模）已知函数 .
（1） 若 有极值点，无零点，求 的取值范围；
（2） 若 的图象在区间 内存在两条互相垂直的切线，求 的取值范围；
（3） 设 ，若方程 有两个实数根 ，且 ，求证：，且 .
考点三：三个零点问题
考法13：利用导数分析单调性判断三个零点或求参数
15.（2024·深圳光明·5月模拟）已知函数 .
（1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 若 恰有三个零点，求 的取值范围.
考法14：三次函数或复合函数的三个零点问题
16.（2026·江苏镇江·零模）（多选）已知函数 有三个不同零点 ，其中 ，则（ 　　）
A. 的取值范围为
B. 若 成等差数列，则
C.
D.
17.（2025·河南驻马店·3月月考）设 为自然对数的底数，若函数 存在三个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
考法15：分段函数、绝对值函数或图象交点的三个零点问题
18.（2026·宜春十校·二模）已知函数 ，若函数 恰有 3 个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
考法18：三个零点背景下的不等式证明
19.（2026·湖南邵阳·一模）已知函数 .
（1） 若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值；
（2） 若 对 恒成立，求整数 的最小值；
（3） 当 时，证明： 在 上存在唯一零点 和唯一极小值点 ，且 .
考点四：零点问题之三角函数
考法19：利用数形结合与周期性求解三角函数零点个数
20.（2026·长沙雅礼·模拟）当 时，函数 的零点个数为（ 　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
21.（2024·吉安六校·5月联考）已知函数 在区间 上的极值点个数为（ 　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
考法20：三角函数零点求和与参数求解
22.（2026·湖北十一校·二模）已知函数 和 的图象的对称轴完全相同，令 ，则下列结论错误的是（ 　　）
A. 的一个周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 的一个零点为
D. 在 单调递减
23.（2026·湖北十堰·一模）已知向量 . 若 （其中 表示不超过 的最大整数），则 的取值范围为＿＿＿＿＿＿．
考点五：零点问题之同构法与取点技巧
考法21：利用同构法求解零点个数或证明不等式
24.（2026·湖北黄冈·4月调研）设 分别是函数 与 的正零点，则 的最大值为（ 　　）
A. B. C. 6 D.
25.（2026·山东淄博·二模）已知函数 .
（1） 若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围；
（2） 设 在 处的切线方程为 .
① 求 的解析式；
② 当 时， 恒成立，求 的取值集合.
考法22：结合导数证明零点差不等式
26.（2025·河北五个一·4月联考）已知曲线 ，直线 .
（1） 若 ，判断直线 与曲线 公共点的个数；
（2） 已知直线 与曲线 相交于 两点.
① 求 的取值范围；
② 证明：.
考法23：利用零点存在性定理的取点技巧证明零点存在
27.（2026·湖南永州·二模）已知函数 和 .
（1） 设函数 ，讨论 的单调性；
（2） 若函数 与 的图象有三条公切线，求实数 的取值范围；
（3） 求函数 的最小值.
考法24：结合复合函数与取点技巧分析零点个数
28.（2026·湖南邵阳·5月三模）已知函数 ，若函数 有 8 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
考法25：绝对值函数零点背景下的等差数列问题
29.（2026·广东华南师大附中·5月测试）已知函数 ，其四个零点 恰好成递增的等差数列，则 （ 　　）
A. B. C. D.
30.（2025·江西萍乡实验大联考·一模）已知函数 ，若 恒成立，则实数 ＿＿＿＿＿＿．
第 2 页，共 17 页第23讲 函数的零点问题 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精讲 3
考点一：一个零点问题 3
考点二：二个零点问题 7
考点三：三个零点问题 12
考点四：零点问题之三角函数 15
考点五：零点问题之同构法与取点技巧 17
四、高考真题 22
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第7题 单选 5分 直接 三角函数图象交点个数问题
2024 第18题 解答 17分 直接 利用导数研究函数不等式解集与零点问题
2025 第8题 单选 5分 间接 指对数方程根的大小比较，转化为函数图象交点
2026 — — — —
近三年全国一卷对函数的零点问题考查较为频繁，既有客观题中的图象交点与根的大小比较，也有解答题压轴位置的综合探究，分值占比较大.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查利用数形结合判断图象交点个数、利用导数研究函数单调性进而分析零点个数，以及零点与不等式解集的等价转化.
（2） 命题趋势：常与三角函数、指对数函数、抽象函数等深度融合，强调同构变形、数形结合思想的应用，解答题中常结合恒成立问题综合考查.
（3） 试题特点：思维跨度大，综合性强.客观题侧重直观想象与代数变形，解答题要求具备严密的逻辑推理能力和分类讨论思想.
3. 备考策略
（1） 扎实掌握利用导数研究函数单调性、极值与最值的基本方法，熟练运用零点存在性定理判断零点所在区间.
（2） 强化数形结合思想的训练，熟练绘制常见基本初等函数及分段函数的图象，能够将方程根的问题灵活转化为图象交点问题.
（3） 注重知识交汇，提升在复杂背景（如三角函数、指对数同构）下剥离出零点本质的能力，刻意培养严密的逻辑推理与分类讨论习惯.
二、知识清单
1. 函数零点的概念与意义
（1） 零点的定义：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点.
（2） 零点的意义（三个等价关系）：方程 有实数根等价于函数 的图象与 轴有交点，等价于函数 有零点.
（3） 拓展转化：函数 的零点个数等价于方程 的实数根个数，等价于函数 与 图象的交点个数.
2. 零点存在性定理
（1） 定理内容：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根.
（2） 唯一性条件：在零点存在性定理的条件下，若函数 在区间 上还是单调函数，则该函数在 内存在且只有一个零点.
3. 函数零点问题的常见题型与求解步骤
（1） 常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.
（2） 求解步骤：
① 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与 轴（或直线 ）在某区间上的交点问题.
② 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图象.
③ 第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数.
4. 函数零点的求解与判断方法
（1） 直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.
（2） 零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.
（3） 利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
5. 利用导数研究零点问题
（1） 确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.
（2） 方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题.
（3） 利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：
① 利用最值或极值研究.
② 利用数形结合思想研究.
③ 构造辅助函数研究.
三、典题精讲
考点一：一个零点问题
考法1：利用导数几何意义求切线方程及证明零点唯一性
例1.（文档23-17）（2025·淮北淮南·二模）已知函数 .
（1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由；
（2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） 0个，理由见解析；（2）
【思路】第一问求导后，二次求导判断一阶导的单调性，进而判断原函数的单调性与零点.第二问恒成立问题，转化为函数最小值大于等于0，对参数a进行分类讨论.
【解析】（1） 当 时，.
∵，当 时，，∴ 在 上单调递减.
又 ，
∴ 在 上恒成立，即 在 上单调递减.
又 ，∴ 在 上没有零点.
（2） ①当 时，由（1）知 ，与当 时 矛盾，故 不满足题意.
②当 时，，.
令 ，则 ，∴ 在 上单调递增.
（i） 若 ，即 ，则 ，∴ 在 上单调递增，则 ，符合题意.
（ii） 若 ，即 ，则存在唯一的 ，使得 .
当 时，，∴ 在 上单调递减；当 时，，∴ 在 上单调递增.
∴，满足题意.
③当 时，，，∴ 在 上单调递减.
又 ，若 ，即 ，则存在 ，使得 ，当 时，，不合题意.
若 ，即 ，则 ，符合题意.
综上， 的取值范围为 .
【规律】处理含参函数的零点与恒成立问题时，常需对参数进行分类讨论.若一阶导数符号不易判断，可考虑求二阶导数，利用二阶导数确定一阶导数的单调性，进而找到极值点或最值.
考法2：利用导数分析单调性判断零点个数或求参数
例2.（文档190-7）（2026·衡水中学·4月检测）若函数 有且只有一个零点，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】三次函数只有一个零点，可先尝试因式分解.分解出一个一次因式和一个二次因式后，转化为二次方程无实根或有与一次因式相同的重根.
【解析】由题意知 .
∵ 有且只有一个零点，∴方程 没有实数根，或有两个相等的实数根且根为 .
若方程 没有实数根，则 ，解得 .
若方程 有两个相等的实数根且根为 ，则 且 ，显然不成立.
综上所述， 的取值范围为 .
【规律】三次函数零点问题，若能猜根或因式分解，优先降次转化为二次方程的根的分布问题，利用判别式求解，避免复杂的导数讨论.
考法3：利用端点值符号与零点存在性定理求参数范围
例3.（文档127-4）（2025·江西三新·5月模拟）若函数 在 上有零点，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】先判断函数在定义域内的单调性，再利用零点存在性定理，即区间端点函数值异号，列出关于参数的不等式求解.
【解析】∵ 在 上单调递增， 在 上单调递减，
∴ 在 上单调递减.
∵ 在 上有零点，
∴，即 ，
即 ，解得 .
【规律】对于单调函数的区间零点问题，直接利用零点存在性定理（端点值乘积小于0）即可转化为解参数不等式.
考法4：结合导数零点求函数最值或比较大小
例4.（文档207-6）（2026·河南新乡·三模）已知函数 的零点分别为 ，则 的大小顺序为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】分别令三个函数为0，转化为两个基本初等函数图象的交点问题.通过画出指数函数、对数函数与一次函数的图象，利用数形结合确定交点横坐标所在的区间.
【解析】由 ，得 ，即 ，设 ，画出图象，交点横坐标为 ，由图可知 .
由 ，得 ，设 ，画出图象，交点横坐标为 ，由图可知 .
由 ，得 ，解得 .
∴.
【规律】判断不同方程根的大小关系时，常将方程转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.利用函数的单调性及特殊点（如-1, 0, 1）的函数值，确定交点所在的具体区间，从而比较大小.
考法5：零点存在性与不等式证明综合
例5.（文档183-18）（2026·石家庄一中·一模）已知函数 .
（1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由；
（2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） 1个；（2）
【思路】第一问利用二阶导数判断一阶导数单调性，结合端点值异号确定极值点，再由极值符号判断零点个数.第二问恒成立问题，对参数a分类讨论，结合极值点处导数为0的条件进行代换化简.
【解析】（1） 当 时，.
∵，∴ 在 上单调递增.
又 ，，
∴存在唯一的 ，使得 .
当 时，， 在 上单调递减.
当 时，， 在 上单调递增.
又 ，∴.
又 ，∴当 时， 在 上有且只有一个零点.
（2） ①当 时，，与当 时 矛盾，故 不满足题意.
②当 时，，.
令 ，则 ，.
记函数 ，，则 .
当 时，，∴ 在 上单调递增.
当 时，，∴ 在 上单调递减.
∴，∴.
又∵ 在 上单调递增，∴，∴ 在 上单调递增.
（i） 若 ，则 ，∴ 在 上单调递增，则 ，符合题意.
（ii） 若 ，则 ，使得 ，即 ，使得 .
∵，且 在 上单调递增，∴存在唯一的 ，使得 .
当 时，，∴ 在 上单调递减.
当 时，，∴ 在 上单调递增.
其中 ，且 .
∴.
∵，∴.
又∵，∴，∴，满足题意.
结合①②可知，当 时，满足题意.
综上， 的取值范围为 .
【规律】在处理复杂的恒成立问题时，若极值点无法显式求出，常利用“隐零点”代换，即利用导数为0的等式将指数或对数式替换为多项式，从而将极值转化为关于隐零点的多项式函数求最值.
【考点一 方法总结】
1. 处理含参函数的零点与恒成立问题时，常需对参数进行分类讨论.若一阶导数符号不易判断，可考虑求二阶导数，利用二阶导数确定一阶导数的单调性，进而找到极值点或最值.
2. 三次函数零点问题，若能猜根或因式分解，优先降次转化为二次方程的根的分布问题，利用判别式求解，避免复杂的导数讨论.
3. 对于单调函数的区间零点问题，直接利用零点存在性定理（端点值乘积小于0）即可转化为解参数不等式.
4. 判断不同方程根的大小关系时，常将方程转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.利用函数的单调性及特殊点（如-1, 0, 1）的函数值，确定交点所在的具体区间，从而比较大小.
5. 在处理复杂的恒成立问题时，若极值点无法显式求出，常利用“隐零点”代换，即利用导数为0的等式将指数或对数式替换为多项式，从而将极值转化为关于隐零点的多项式函数求最值.
考点二：二个零点问题
考法7：利用导数分析单调性判断两个零点或求参数
例6.（文档25-16）（2026·安徽淮北·二模）已知函数 .
（1） 当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 若方程 有两个不同的根，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【思路】第一问常规求导代入求切线.第二问分离参数或直接求导，判断函数的单调性与极值，要使方程有两个不同根，只需极大值大于0或极小值小于0，并结合端点极限分析.
【解析】（1） 当 时，，，得 ，又 ，∴曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2） ，当 时，， 在 上单调递增，方程 至多有一个实根，不符合题意舍去；当 时，令 解得 ，当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减； 时，； 时，.要使方程 有两个不同的根则 ，即 ，∴，即 ，令 ，，故 在 上单调递增，又 ，∴.综上： 的取值范围是 .
【规律】判断函数有两个零点或求参数范围时，核心是求出函数的极值，并令极值与0建立不等关系.同时需注意分析函数在区间端点或无穷远处的极限趋势，确保图象能穿过x轴.
考法8：结合参变分离与恒成立问题求参数范围
例7.（文档194-19）（2026·河北金科·2月联考）已知函数 .
（1） 若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围；
（2） 设 在 处的切线方程为 .
① 求 的解析式；
② 当 时， 恒成立，求 的取值集合.
【答案】（1） ；（2） ① ；②
【思路】第一问转化为函数存在负值，求出极小值令其小于0即可.第二问求出切线方程后，将不等式恒成立转化为新函数在不同区间上的符号问题，通过求导并对参数分类讨论，寻找满足条件的参数值.
【解析】（1） .当 时，， 无极值点.当 时，令 ，得 .∵对于 ，，对于 ，，∴ 是 的极小值点.这时 的值域为 .由 有零点得 ，解得 .综上， 的取值范围为 .
（2） ① ，，∴ 在 处的切线方程为 ，即 .② 当 时， 恒成立，即当 时，；当 时，.令 ，则 .当 时，，当 时，， 单调递增，∴，不合题意.当 时，令 ，得 或 .若 ，即 ，当 时，， 单调递增，∴，不合题意.若 ，即 或 ，当 时，， 单调递减，∴，不合题意.若 ，即 ，当 时，， 单调递减，∴当 时，；当 时，，符合题意.综上， 的取值集合为 .
【规律】处理切线放缩或恒成立问题时，常构造差函数.若差函数在某点处的值为0，则该点往往是极值点，其导数在该点处必为0，由此可作为必要条件先求出参数的疑似值，再进行充分性检验.
考法9：分段函数或绝对值函数的零点问题
例8.（文档95-6）（2026·广东江门·二模）已知函数 ，，若 恰有 2 个零点，则 的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【思路】分段函数零点问题，先分别求出各段函数的值域和单调性，画出函数的大致图象.将方程g（x）=0转化为f（x）=a，即水平直线与f（x）图象的交点个数问题.
【解析】当 时，，则 ，∴当 时，，函数 在 上单调递增.当 时，，∴当 时，，函数 在 上单调递减；当 时，，函数 在 上单调递增.∴当 时，函数 的取值范围为 .作出 的大致图象，如图所示.由 ，得 ，由图可知，当 时，直线 与 的图象恰有 2 个交点，即 恰有 2 个零点.∴ 的取值范围是 .故选 B.
【规律】分段函数的零点或方程解的个数问题，最有效的方法是数形结合.通过求导或基本初等函数性质，准确画出各段函数的图象，明确极值点、端点值及渐近线，再平移直线观察交点个数.
考法10：已知两个零点求参数范围或零点之和
例9.（文档93-8）（2026·广东佛山·二模）设函数 和 的零点分别为 ，其中 . 当 时，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】观察两个函数的解析式，发现它们涉及指数函数和对数函数，且底数相同.通过变形找到它们对应的方程，利用反函数图象关于y=x对称的性质，得出两个零点之间的关系，再代入目标式求最值.
【解析】由 ，得 ，设 的图象与 的图象的交点为 ，由 ，得 ，设 的图象与 的图象的交点为 ，而 的图象与 的图象关于直线 对称，函数 的图象也关于直线 对称，因此点 与点 关于直线 对称，则 ，，而当 时，；当 时，，函数 在 上单调递减，∴.故选 C.
【规律】当题目中同时出现同底的指数函数和对数函数，且结构相似时，应高度敏感于反函数的对称性.通过对称性找到两个零点（或交点）的代数关系，可将双变量问题转化为单变量函数求最值.
考法11：两个零点背景下的极值点偏移问题
例10.（文档147-18）（2025·江西新余·二模）已知函数 .
（1） 讨论函数 的单调性；
（2） 设函数 ，若存在唯一实数 使函数 的最小值为 0，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 见解析；（2） 或
【思路】第一问常规求导判断单调性.第二问将g（x）最小值为0转化为f（x）的最小值等于a^m.由第一问知f（x）的单调性，结合条件构造关于a的新函数，利用导数分析其零点唯一性，从而求出m.
【解析】（1） 由 得 .当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.∴ 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2） 令 ，由（1）可知， 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，∴.依题，存在唯一实数 使函数 的最小值为 0，∴存在唯一实数 使 .令 ，则 .（i） 当 时， 恒成立，故函数 在 单调递增，又∵，∴存在唯一实数 使得 ，符合题意；（ii） 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，故函数 在 单调递增，在 单调递减，∴，解得 .综上，实数 的取值范围是 或 .
【规律】已知函数最值求参数时，先通过导数求出函数的最值表达式，将其转化为关于参数的方程.若方程有唯一解，可再次构造函数，利用导数研究其单调性与极值，寻找满足唯一零点的条件.
考法12：两个零点背景下的双变量不等式证明
例11.（文档68-19）（2026·山东聊城·二模）已知函数 .
（1） 若 有极值点，无零点，求 的取值范围；
（2） 若 的图象在区间 内存在两条互相垂直的切线，求 的取值范围；
（3） 设 ，若方程 有两个实数根 ，且 ，求证：，且 .
【答案】（1） ；（2） ；（3） 证明见解析
【思路】第一问求导找极值点，令极小值大于0.第二问转化为导数值乘积小于-1有解.第三问证明双变量不等式，先将等式变形，利用单调性放缩，再构造对数平均不等式相关的函数进行证明.
【解析】（1） .当 时，， 无极值点.当 时，令 ，得 .∵对于 ，，对于 ，，∴ 是 的极小值点.这时 的值域为 .由 无零点得 ，解得 .综上， 的取值范围为 .
（2） 由 的图象在区间 内存在两条互相垂直的切线，得 使 .当 ，则 ，不符合题意.当 时， 在 上单调递减.∴ 在 内的值域为 .∴，由题意可得 ，解得 .因此， 的取值范围为 .
（3） 设 ，则 .∵，∴.当 时，， 在 上单调递增，不合题意，∴.由 ，得 .设 ，则 .∵，∴ 在 上单调递增.又因 ，∴，∴.∴.设 ，则 .∵当 时，，∴ 在 上单调递减，又∵，∴当 时，.即 .∵，∴，即 .又因 ，∴，∴.又∵，，∴.
【规律】双变量不等式证明中，若无法直接消元，常通过等式条件将参数与变量分离，或利用已知的不等式（如对数平均不等式、三角函数放缩）进行放缩替换，将双变量转化为单变量函数的最值问题.
【考点二 方法总结】
1. 判断函数有两个零点或求参数范围时，核心是求出函数的极值，并令极值与0建立不等关系.同时需注意分析函数在区间端点或无穷远处的极限趋势，确保图象能穿过x轴.
2. 处理切线放缩或恒成立问题时，常构造差函数.若差函数在某点处的值为0，则该点往往是极值点，其导数在该点处必为0，由此可作为必要条件先求出参数的疑似值，再进行充分性检验.
3. 分段函数的零点或方程解的个数问题，最有效的方法是数形结合.通过求导或基本初等函数性质，准确画出各段函数的图象，明确极值点、端点值及渐近线，再平移直线观察交点个数.
4. 当题目中同时出现同底的指数函数和对数函数，且结构相似时，应高度敏感于反函数的对称性.通过对称性找到两个零点（或交点）的代数关系，可将双变量问题转化为单变量函数求最值.
5. 已知函数最值求参数时，先通过导数求出函数的最值表达式，将其转化为关于参数的方程.若方程有唯一解，可再次构造函数，利用导数研究其单调性与极值，寻找满足唯一零点的条件.
6. 双变量不等式证明中，若无法直接消元，常通过等式条件将参数与变量分离，或利用已知的不等式（如对数平均不等式、三角函数放缩）进行放缩替换，将双变量转化为单变量函数的最值问题.
考点三：三个零点问题
考法13：利用导数分析单调性判断三个零点或求参数
例12.（文档100-15）（2024·深圳光明·5月模拟）已知函数 .
（1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 若 恰有三个零点，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【思路】第一问求导求切线.第二问提取公因式发现x=2是一个零点，从而转化为剩余部分构成的方程有两个不为2的根.分离参数后，构造函数求导画图，观察水平直线与图象的交点.
【解析】（1） 时，，∴，∴，，∴曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2） ∵，∴ 是 的一个零点，∵ 恰有三个零点，∴方程 有两个不为 2 的实数根，即方程 有两个不为 2 的实数根，令 ，∴，令 ，得 ，令 ，得 ，∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，当 时， 的值域为 ；当 时， 的值域为 ，∴，且 ，∴，且 ，∴ 的取值范围是 .
【规律】处理含公因式的函数零点问题，先提取公因式确定一个显式零点，将问题降阶.对于剩余的方程，优先考虑分离参数法，将参数孤立，转化为研究不含参函数图象与水平直线的交点个数.
考法14：三次函数或复合函数的三个零点问题
例13.（文档216-14）（2025·河南驻马店·3月月考）设 为自然对数的底数，若函数 存在三个零点，则实数 的取值范围是__．
【答案】
【思路】观察函数解析式，含有e^x，可采用换元法，令t=e^x-1，将原超越函数转化为关于t的二次函数（含绝对值）.结合t的范围，将三个零点问题转化为二次方程根的分布问题.
【解析】设 ，故 ，即 .对函数 ，其函数图象单调递增，且过点 .令 ，故要满足题意，只需 在 内有一个实数根，且另一个根为 0；或 在 内有一个实数根，且在 内也有一个实数根.∴ 或 或 .即 或 或 .解得 .
【规律】对于复合函数的零点问题，换元法是核心技巧.换元后，必须明确新变量的取值范围以及新旧变量的对应关系（如一个t对应几个x），从而将复杂的零点个数转化为简单多项式方程的根的分布.
考法15：分段函数、绝对值函数或图象交点的三个零点问题
例14.（文档124-14）（2026·宜春十校·二模）已知函数 ，若函数 恰有 3 个零点，则实数 的取值范围是__.
【答案】
【思路】将方程g（x）=0转化为a|x| = f（x）+2，即绝对值函数图象与分段函数图象的交点个数问题.画出分段函数的图象，通过旋转直线y=a|x|，观察交点个数，注意相切时的临界状态.
【解析】由函数 恰有 3 个零点，则方程 ，即 有 3 个不同的实数根，等价于 图象有 3 个交点，.如图由 图象要有 3 个交点，根据图象可知：，当 时，∴，即 .当直线 与 相切时，，设切点为 ，且 ，∴，可得 ，∴，可得 或 （舍），∴可知 .
【规律】含有绝对值或分段函数的零点问题，常转化为两个函数图象的交点问题.作图时需准确标出端点和顶点，利用导数求出相切时的斜率作为临界值，结合图象直观确定参数范围.
考法18：三个零点背景下的不等式证明
例15.（文档286-19）（2026·湖南邵阳·一模）已知函数 .
（1） 若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值；
（2） 若 对 恒成立，求整数 的最小值；
（3） 当 时，证明： 在 上存在唯一零点 和唯一极小值点 ，且 .
【答案】（1） 3；（2） 3；（3） 证明见解析
【思路】第一问利用切线斜率和切点坐标求参数.第二问将恒成立问题转化为求函数最小值，通过求导放缩寻找参数的整数最小值.第三问求导后二次求导，判断一阶导的零点，进而确定极值点和零点，最后通过构造函数证明不等式.
【解析】（1） 由 ，可得 .∵曲线 在点 处的切线方程为 ，∴，解得 .
（2） 由 ，且 ，由 ，可得 .当 时，，，不符合，故 .当 时，.当 时，.令 ，可得 .∴ 在 递增，在 递减.又 ，，∴，即 .当 时，可得 ，∴.∴当 时，均有 对 恒成立.综上所述，整数 的最小值为 3.
（3） 证明：由 ，可得 .令 ，可得 .当 时， 在 上递增.而 ，，∴存在 ，使得 .∴ 在 单调递减，在 单调递增.又 ，，∴存在 ，使得 .∴ 在 递减，在 递增.∴ 是 在 上的唯一极小值点.此时 ，，∴在 ，即 上存在唯一零点 ，使得 .下证：.∵，∴，又∵ 在 递增，只需证 .∵ 是 的唯一极小值点，可得 ，即 ，可得 .又∵，即 .∵，只需证明：.令 ，其中 ，则 .∴ 在 上单调递增，.∴ 成立，证毕.∴ 在 上存在唯一零点 和唯一极小值点 ，且 .
【规律】在证明零点存在且满足特定不等关系时，先利用导数确定函数的单调区间和极值点，结合零点存在性定理确定零点位置.对于零点间的不等式，常利用函数的单调性，将自变量的大小比较转化为函数值的大小比较.
【考点三 方法总结】
1. 处理含公因式的函数零点问题，先提取公因式确定一个显式零点，将问题降阶.对于剩余的方程，优先考虑分离参数法，将参数孤立，转化为研究不含参函数图象与水平直线的交点个数.
2. 对于复合函数的零点问题，换元法是核心技巧.换元后，必须明确新变量的取值范围以及新旧变量的对应关系（如一个t对应几个x），从而将复杂的零点个数转化为简单多项式方程的根的分布.
3. 含有绝对值或分段函数的零点问题，常转化为两个函数图象的交点问题.作图时需准确标出端点和顶点，利用导数求出相切时的斜率作为临界值，结合图象直观确定参数范围.
4. 在证明零点存在且满足特定不等关系时，先利用导数确定函数的单调区间和极值点，结合零点存在性定理确定零点位置.对于零点间的不等式，常利用函数的单调性，将自变量的大小比较转化为函数值的大小比较.
考点四：零点问题之三角函数
考法19：利用数形结合与周期性求解三角函数零点个数
例16.（文档296-7）（2026·长沙雅礼·模拟）当 时，函数 的零点个数为（ 　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【思路】将方程移项，转化为两个三角函数图象的交点问题.分别确定两个三角函数的周期和振幅，在给定区间内画出它们的大致图象，通过观察交点个数得出结论.
【解析】令 ，即 ，移项可得 .对于 ，其周期 ；对于 ，其周期 .当 时，画出两个函数的图象为：
由图象可以看出，方程 在给定区间 内的解的个数为 6，∴函数 的零点个数为 6.
【规律】三角函数的零点个数问题，若直接解方程困难，常移项构造两个熟悉的三角函数.利用周期性、振幅和特殊点，画出它们在指定区间内的图象，数形结合寻找交点个数.
考法20：三角函数零点求和与参数求解
例17.（文档246-6）（2026·湖北十一校·二模）已知函数 和 的图象的对称轴完全相同，令 ，则下列结论错误的是（ 　　）
A. 的一个周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 的一个零点为
D. 在 单调递减
【答案】D
【思路】根据两个三角函数图象的对称轴完全相同，列出对称轴的表达式并令其相等，结合参数的范围求出未知参数.然后写出目标函数的解析式，逐项验证周期、对称轴、零点和单调性.
【解析】令 ，则 为 的对称轴方程.令 ，则 为 的对称轴方程.由 与 的对称轴完全相同，则 ，即对称轴为 .∴.且 ，则 .∴，其最小正周期 ，故 也是一个周期，A 对；，故 的图象关于直线 对称，B 对；，当 时，，∴ 的一个零点为 ，C 对；，则 ，显然 在给定区间内不单调，D 错.故选 D.
【规律】处理三角函数对称轴重合问题，直接利用公式求出各自的对称轴方程，令其相等并比较系数，求出周期和初相.判断三角函数的性质时，整体代入法是最基本且有效的方法.
【考点四 方法总结】
1. 三角函数的零点个数问题，若直接解方程困难，常移项构造两个熟悉的三角函数.利用周期性、振幅和特殊点，画出它们在指定区间内的图象，数形结合寻找交点个数.
2. 处理三角函数对称轴重合问题，直接利用公式求出各自的对称轴方程，令其相等并比较系数，求出周期和初相.判断三角函数的性质时，整体代入法是最基本且有效的方法.
考点五：零点问题之同构法与取点技巧
考法21：利用同构法求解零点个数或证明不等式
例18.（文档264-8）（2026·湖北黄冈·4月调研）设 分别是函数 与 的正零点，则 的最大值为（ 　　）
A. B. C. 6 D.
【答案】C
【思路】分别将两个零点代入对应的方程，通过代数变形，发现两个零点对应的点分别在指数函数和对数函数的图象上，且同时在一个圆上.利用反函数图象的对称性得出两个零点的关系，再用三角换元求最值.
【解析】已知 是 的正零点，，代入 得：，通分整理得：.即点 同时在第一象限的圆 和曲线 上.再代入 （ 是 的正零点）得：，两边平方整理得：，即点 同时在第一象限的圆 和曲线 上.又 与 互为反函数，图象关于直线 对称，且圆 也关于 对称，因此点 关于 的对称点 ，一定在 上，且仍在圆 上.∵ 时 单调递增，与圆只有一个第一象限交点，即点 就是 ，因此：，代入 得：.设 ，代入得：.正弦最大值为 1，因此 的最大值为 6.
【规律】当题目中出现结构复杂的指数与对数方程，且难以直接求解时，尝试通过同构变形，将其转化为点在已知曲线（如圆、直线）与指对数函数图象上的交点.利用反函数的对称性寻找变量间的联系.
考法22：结合导数证明零点差不等式
例19.（文档161-18）（2025·河北五个一·4月联考）已知曲线 ，直线 .
（1） 若 ，判断直线 与曲线 公共点的个数；
（2） 已知直线 与曲线 相交于 两点.
① 求 的取值范围；
② 证明：.
【答案】（1） 1个；（2） ① ；② 证明见解析
【思路】第一问构造函数求导判断单调性，确定交点个数.第二问将交点问题转化为方程有两个根，求出参数范围.证明不等式时，将目标不等式转化为两根之和小于0，利用函数的单调性及构造对称差函数进行证明.
【解析】（1） 解：令 ，则 .
由 ，得 .
当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.
则 ，从而直线 与曲线 的公共点个数为 1.
（2） ① 解：令 ，则 .
由 ，得 .当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.
则 ，且当 时，，当 时，.
∵直线 与曲线 相交于 两点，∴，得 .
故 的取值范围为 .
② 证明：由题可知 是 的零点，不妨设 ，则 ，.
从而要证 ，只需证 ，即证 .
由①可知 在 上单调递减，则只需证 .
∵，∴只需证 ，即证 .
令 ，则 .
∵，且当仅当 时，等号成立.∴ 在 上恒成立.
则 在 上单调递增，则 .
从而 .
∴.
【规律】极值点偏移或双零点不等式证明中，常需证明两根之和小于0（或大于0）.一般方法是构造对称差函数，利用导数判断其单调性与符号，进而比较函数值的大小，结合原函数的单调性得出结论.
考法23：利用零点存在性定理的取点技巧证明零点存在
例20.（文档280-19）（2026·湖南永州·二模）已知函数 和 .
（1） 设函数 ，讨论 的单调性；
（2） 若函数 与 的图象有三条公切线，求实数 的取值范围；
（3） 求函数 的最小值.
【答案】（1） 见解析；（2） ；（3） 0
【思路】第一问常规求导讨论单调性.第二问设出两个切点，分别写出切线方程，比较系数得到关于切点横坐标的方程，转化为新函数与水平直线的交点问题.第三问求导后，利用隐零点代换，结合同构思想求出最小值.
【解析】（1） ，.
当 时，，， 在 上单调递减；
当 时，令 ，得 ；令 ，得 .
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2） 设公切线 与 相切于点 ，与 相切于点 .
由 得公切线 的方程为 ，整理得 ①
由 得公切线 的方程为 ，整理得 ②
由①②得 ，整理得 .
设 ，则 .
∴，得 或 ；，得 .
∴ 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
又 时，， 时，，，.
故要使 有三个不同的根，需 ，即 .
综上可得， 的取值范围为 .
（3） ∵，∴.
又∵，∴，∴ 在 上单调递增.
又∵，，∴ 存在唯一零点 ，且 .
故当 时，；当 时，.
即 在 上单调递减，在 上单调递增.
∴ 的最小值为 .
∵，∴.
又∵，令 ，则 .
∵，∴ 在 上单调递增，∴，即 .
故 的最小值 .
【规律】处理公切线问题，标准步骤是“设两切点、写两切线、同系数联立”.在求最值遇到无法解出的极值点时，利用导数为0的条件进行整体代换，常结合常见同构形式化简目标式.
考法24：结合复合函数与取点技巧分析零点个数
例21.（文档288-8）（2026·湖南邵阳·5月三模）已知函数 ，若函数 有 8 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】将复合函数g（x）=0转化为关于f（x）的二次方程.画出f（x）的图象，观察水平直线与f（x）交点个数.要使总共有8个零点，二次方程的两个根必须落在f（x）图象能产生4个交点的区间内，由此列出根的分布不等式.
【解析】作出 的大致图象如下，
设 ，则关于 的方程 有 2 个不同的根 和 ，且关于 的方程 分别有 4 个不同的根.
不妨设 ，易知关于 的方程 的判别式 ，，.
（1） 若 ，则 ，∴，且 ，即 ，得 .
（2） 若 ，则 ，此时 ，符合题意.
故 ，选 A.
【规律】复合方程的零点问题，采用“由外及内”的换元法.先解外层方程确定内层函数的值（即水平直线的高度），再结合内层函数的图象，根据总交点个数逆推外层方程根的分布范围.
考法25：绝对值函数零点背景下的等差数列问题
例22.（文档86-8）（2026·华师附中·5月测试）已知函数 ，其四个零点 恰好成递增的等差数列，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】先判断函数的奇偶性，发现其为偶函数，因此零点关于原点对称.求出x>0时的两个零点，结合等差数列的性质（相邻两项差相等）列出方程，解出参数m.
【解析】函数 ，定义域为 .
又 ，∴函数 为偶函数.
当 时，，
令 ，得 ，显然 ，，解得 或 .
由 有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为 .
因零点成递增等差数列，故排序为 ，
设公差为 ，则：，，
即 ，化简得 ，两边同乘 得 ，故 .
故选：D.
【规律】遇到绝对值函数或对数平方等具有对称性的函数零点问题，优先考察函数的奇偶性.利用对称性可大幅减少计算量，将四个零点简化为求正半轴的两个零点，再结合等差数列定义求解.
【考点五 方法总结】
1. 当题目中出现结构复杂的指数与对数方程，且难以直接求解时，尝试通过同构变形，将其转化为点在已知曲线（如圆、直线）与指对数函数图象上的交点.利用反函数的对称性寻找变量间的联系.
2. 极值点偏移或双零点不等式证明中，常需证明两根之和小于0（或大于0）.一般方法是构造对称差函数，利用导数判断其单调性与符号，进而比较函数值的大小，结合原函数的单调性得出结论.
3. 处理公切线问题，标准步骤是“设两切点、写两切线、同系数联立”.在求最值遇到无法解出的极值点时，利用导数为0的条件进行整体代换，常结合常见同构形式化简目标式.
4. 复合方程的零点问题，采用“由外及内”的换元法.先解外层方程确定内层函数的值（即水平直线的高度），再结合内层函数的图象，根据总交点个数逆推外层方程根的分布范围.
5. 遇到绝对值函数或对数平方等具有对称性的函数零点问题，优先考察函数的奇偶性.利用对称性可大幅减少计算量，将四个零点简化为求正半轴的两个零点，再结合等差数列定义求解.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）当 时，曲线 与 的交点个数为（ 　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】∵函数 的的最小正周期为 ，函数 的最小正周期为 ，∴在 上函数 有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
2.（2024·全国一卷）已知函数 .
（1） 若 ，且 ，求 的最小值；
（2） 证明：曲线 是中心对称图形；
（3） 若 当且仅当 ，求 的取值范围.
【答案】（1） -2；（2） 证明见解析；（3）
【解析】（1） 时，，其中 ，则 ，∵，当且仅当 时等号成立，∴，而 成立，∴ 即 ，∴ 的最小值为-2.
（2） 的定义域为 ，设 为 图象上任意一点， 关于 的对称点为 ，∵ 在 图象上，∴，而 ，∴ 也在 图象上，由 的任意性可得 图象为中心对称图形，且对称中心为 .
（3） ∵ 当且仅当 ，∴ 为 的一个解，∴ 即 ，先考虑 时， 恒成立.此时 即为 在 上恒成立，设 ，则 在 上恒成立，设 ，则 ，当 ，，∴ 恒成立，∴ 在 上为增函数，∴ 即 在 上恒成立.当 时，，∴ 恒成立，∴ 在 上为增函数，∴ 即 在 上恒成立.当 ，则当 时，，∴在 上 为减函数，∴，不合题意，舍；综上， 在 上恒成立时 .而当 时，由上述过程可得 在 递增，∴ 的解为 ，即 的解为 .
3.（2025·全国一卷）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设 ，∴.根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数 的图象，以上方程的根分别是函数 的图象与直线 的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着 的变化可能出现：，，，.故选B.
第 2 页，共 17 页第23讲 函数的零点问题 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精练 3
考点一：一个零点问题 3
考点二：二个零点问题 4
考点三：三个零点问题 6
考点四：零点问题之三角函数 7
考点五：零点问题之同构法与取点技巧 7
四、高考真题 9
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第7题 单选 5分 直接 三角函数图象交点个数问题
2024 第18题 解答 17分 直接 利用导数研究函数不等式解集与零点问题
2025 第8题 单选 5分 间接 指对数方程根的大小比较，转化为函数图象交点
2026 — — — —
近三年全国一卷对函数的零点问题考查较为频繁，既有客观题中的图象交点与根的大小比较，也有解答题压轴位置的综合探究，分值占比较大.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查利用数形结合判断图象交点个数、利用导数研究函数单调性进而分析零点个数，以及零点与不等式解集的等价转化.
（2） 命题趋势：常与三角函数、指对数函数、抽象函数等深度融合，强调同构变形、数形结合思想的应用，解答题中常结合恒成立问题综合考查.
（3） 试题特点：思维跨度大，综合性强.客观题侧重直观想象与代数变形，解答题要求具备严密的逻辑推理能力和分类讨论思想.
3. 备考策略
（1） 扎实掌握利用导数研究函数单调性、极值与最值的基本方法，熟练运用零点存在性定理判断零点所在区间.
（2） 强化数形结合思想的训练，熟练绘制常见基本初等函数及分段函数的图象，能够将方程根的问题灵活转化为图象交点问题.
（3） 注重知识交汇，提升在复杂背景（如三角函数、指对数同构）下剥离出零点本质的能力，刻意培养严密的逻辑推理与分类讨论习惯.
二、知识清单
1. 函数零点的概念与意义
（1） 零点的定义：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点.
（2） 零点的意义（三个等价关系）：方程 有实数根等价于函数 的图象与 轴有交点，等价于函数 有零点.
（3） 拓展转化：函数 的零点个数等价于方程 的实数根个数，等价于函数 与 图象的交点个数.
2. 零点存在性定理
（1） 定理内容：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根.
（2） 唯一性条件：在零点存在性定理的条件下，若函数 在区间 上还是单调函数，则该函数在 内存在且只有一个零点.
3. 函数零点问题的常见题型与求解步骤
（1） 常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.
（2） 求解步骤：
① 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与 轴（或直线 ）在某区间上的交点问题.
② 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图象.
③ 第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数.
4. 函数零点的求解与判断方法
（1） 直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.
（2） 零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.
（3） 利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
5. 利用导数研究零点问题
（1） 确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.
（2） 方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题.
（3） 利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：
① 利用最值或极值研究.
② 利用数形结合思想研究.
③ 构造辅助函数研究.
三、典题精练
考点一：一个零点问题
考法1：利用导数几何意义求切线方程及证明零点唯一性
例1.（2025·淮北淮南·二模）已知函数 .
（1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由；
（2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围.
考法2：利用导数分析单调性判断零点个数或求参数
例2.（2026·衡水中学·4月检测）若函数 有且只有一个零点，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
考法3：利用端点值符号与零点存在性定理求参数范围
例3.（2025·江西三新·5月模拟）若函数 在 上有零点，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
考法4：结合导数零点求函数最值或比较大小
例4.（2026·河南新乡·三模）已知函数 的零点分别为 ，则 的大小顺序为（ 　　）
A. B. C. D.
考法5：零点存在性与不等式证明综合
例5.（2026·石家庄一中·一模）已知函数 .
（1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由；
（2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【考点一 方法总结】
1. 处理含参函数的零点与恒成立问题时，常需对参数进行分类讨论.若一阶导数符号不易判断，可考虑求二阶导数，利用二阶导数确定一阶导数的单调性，进而找到极值点或最值.
2. 三次函数零点问题，若能猜根或因式分解，优先降次转化为二次方程的根的分布问题，利用判别式求解，避免复杂的导数讨论.
3. 对于单调函数的区间零点问题，直接利用零点存在性定理（端点值乘积小于0）即可转化为解参数不等式.
4. 判断不同方程根的大小关系时，常将方程转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.利用函数的单调性及特殊点（如-1, 0, 1）的函数值，确定交点所在的具体区间，从而比较大小.
5. 在处理复杂的恒成立问题时，若极值点无法显式求出，常利用“隐零点”代换，即利用导数为0的等式将指数或对数式替换为多项式，从而将极值转化为关于隐零点的多项式函数求最值.
考点二：二个零点问题
考法7：利用导数分析单调性判断两个零点或求参数
例6.（2026·安徽淮北·二模）已知函数 .
（1） 当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 若方程 有两个不同的根，求 的取值范围.
考法8：结合参变分离与恒成立问题求参数范围
例7.（2026·河北金科·2月联考）已知函数 .
（1） 若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围；
（2） 设 在 处的切线方程为 .
① 求 的解析式；
② 当 时， 恒成立，求 的取值集合.
考法9：分段函数或绝对值函数的零点问题
例8.（2026·广东江门·二模）已知函数 ，，若 恰有 2 个零点，则 的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
考法10：已知两个零点求参数范围或零点之和
例9.（2026·广东佛山·二模）设函数 和 的零点分别为 ，其中 . 当 时，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
考法11：两个零点背景下的极值点偏移问题
例10.（2025·江西新余·二模）已知函数 .
（1） 讨论函数 的单调性；
（2） 设函数 ，若存在唯一实数 使函数 的最小值为 0，求实数 的取值范围.
考法12：两个零点背景下的双变量不等式证明
例11.（2026·山东聊城·二模）已知函数 .
（1） 若 有极值点，无零点，求 的取值范围；
（2） 若 的图象在区间 内存在两条互相垂直的切线，求 的取值范围；
（3） 设 ，若方程 有两个实数根 ，且 ，求证：，且 .
【考点二 方法总结】
1. 判断函数有两个零点或求参数范围时，核心是求出函数的极值，并令极值与0建立不等关系.同时需注意分析函数在区间端点或无穷远处的极限趋势，确保图象能穿过x轴.
2. 处理切线放缩或恒成立问题时，常构造差函数.若差函数在某点处的值为0，则该点往往是极值点，其导数在该点处必为0，由此可作为必要条件先求出参数的疑似值，再进行充分性检验.
3. 分段函数的零点或方程解的个数问题，最有效的方法是数形结合.通过求导或基本初等函数性质，准确画出各段函数的图象，明确极值点、端点值及渐近线，再平移直线观察交点个数.
4. 当题目中同时出现同底的指数函数和对数函数，且结构相似时，应高度敏感于反函数的对称性.通过对称性找到两个零点（或交点）的代数关系，可将双变量问题转化为单变量函数求最值.
5. 已知函数最值求参数时，先通过导数求出函数的最值表达式，将其转化为关于参数的方程.若方程有唯一解，可再次构造函数，利用导数研究其单调性与极值，寻找满足唯一零点的条件.
6. 双变量不等式证明中，若无法直接消元，常通过等式条件将参数与变量分离，或利用已知的不等式（如对数平均不等式、三角函数放缩）进行放缩替换，将双变量转化为单变量函数的最值问题.
考点三：三个零点问题
考法13：利用导数分析单调性判断三个零点或求参数
例12.（2024·深圳光明·5月模拟）已知函数 .
（1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 若 恰有三个零点，求 的取值范围.
考法14：三次函数或复合函数的三个零点问题
例13.（2025·河南驻马店·3月月考）设 为自然对数的底数，若函数 存在三个零点，则实数 的取值范围是__．
考法15：分段函数、绝对值函数或图象交点的三个零点问题
例14.（2026·宜春十校·二模）已知函数 ，若函数 恰有 3 个零点，则实数 的取值范围是__.
考法18：三个零点背景下的不等式证明
例15.（2026·湖南邵阳·一模）已知函数 .
（1） 若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值；
（2） 若 对 恒成立，求整数 的最小值；
（3） 当 时，证明： 在 上存在唯一零点 和唯一极小值点 ，且 .
【考点三 方法总结】
1. 处理含公因式的函数零点问题，先提取公因式确定一个显式零点，将问题降阶.对于剩余的方程，优先考虑分离参数法，将参数孤立，转化为研究不含参函数图象与水平直线的交点个数.
2. 对于复合函数的零点问题，换元法是核心技巧.换元后，必须明确新变量的取值范围以及新旧变量的对应关系（如一个t对应几个x），从而将复杂的零点个数转化为简单多项式方程的根的分布.
3. 含有绝对值或分段函数的零点问题，常转化为两个函数图象的交点问题.作图时需准确标出端点和顶点，利用导数求出相切时的斜率作为临界值，结合图象直观确定参数范围.
4. 在证明零点存在且满足特定不等关系时，先利用导数确定函数的单调区间和极值点，结合零点存在性定理确定零点位置.对于零点间的不等式，常利用函数的单调性，将自变量的大小比较转化为函数值的大小比较.
考点四：零点问题之三角函数
考法19：利用数形结合与周期性求解三角函数零点个数
例16.（2026·长沙雅礼·模拟）当 时，函数 的零点个数为（ 　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
考法20：三角函数零点求和与参数求解
例17.（2026·湖北十一校·二模）已知函数 和 的图象的对称轴完全相同，令 ，则下列结论错误的是（ 　　）
A. 的一个周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 的一个零点为
D. 在 单调递减
【考点四 方法总结】
1. 三角函数的零点个数问题，若直接解方程困难，常移项构造两个熟悉的三角函数.利用周期性、振幅和特殊点，画出它们在指定区间内的图象，数形结合寻找交点个数.
2. 处理三角函数对称轴重合问题，直接利用公式求出各自的对称轴方程，令其相等并比较系数，求出周期和初相.判断三角函数的性质时，整体代入法是最基本且有效的方法.
考点五：零点问题之同构法与取点技巧
考法21：利用同构法求解零点个数或证明不等式
例18.（2026·湖北黄冈·4月调研）设 分别是函数 与 的正零点，则 的最大值为（ 　　）
A. B. C. 6 D.
考法22：结合导数证明零点差不等式
例19.（2025·河北五个一·4月联考）已知曲线 ，直线 .
（1） 若 ，判断直线 与曲线 公共点的个数；
（2） 已知直线 与曲线 相交于 两点.
① 求 的取值范围；
② 证明：.
考法23：利用零点存在性定理的取点技巧证明零点存在
例20.（2026·湖南永州·二模）已知函数 和 .
（1） 设函数 ，讨论 的单调性；
（2） 若函数 与 的图象有三条公切线，求实数 的取值范围；
（3） 求函数 的最小值.
考法24：结合复合函数与取点技巧分析零点个数
例21.（2026·湖南邵阳·5月三模）已知函数 ，若函数 有 8 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
考法25：绝对值函数零点背景下的等差数列问题
例22.（2026·华师附中·5月测试）已知函数 ，其四个零点 恰好成递增的等差数列，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【考点五 方法总结】
1. 当题目中出现结构复杂的指数与对数方程，且难以直接求解时，尝试通过同构变形，将其转化为点在已知曲线（如圆、直线）与指对数函数图象上的交点.利用反函数的对称性寻找变量间的联系.
2. 极值点偏移或双零点不等式证明中，常需证明两根之和小于0（或大于0）.一般方法是构造对称差函数，利用导数判断其单调性与符号，进而比较函数值的大小，结合原函数的单调性得出结论.
3. 处理公切线问题，标准步骤是“设两切点、写两切线、同系数联立”.在求最值遇到无法解出的极值点时，利用导数为0的条件进行整体代换，常结合常见同构形式化简目标式.
4. 复合方程的零点问题，采用“由外及内”的换元法.先解外层方程确定内层函数的值（即水平直线的高度），再结合内层函数的图象，根据总交点个数逆推外层方程根的分布范围.
5. 遇到绝对值函数或对数平方等具有对称性的函数零点问题，优先考察函数的奇偶性.利用对称性可大幅减少计算量，将四个零点简化为求正半轴的两个零点，再结合等差数列定义求解.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）当 时，曲线 与 的交点个数为（ 　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
2.（2024·全国一卷）已知函数 .
（1） 若 ，且 ，求 的最小值；
（2） 证明：曲线 是中心对称图形；
（3） 若 当且仅当 ，求 的取值范围.
3.（2025·全国一卷）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（ 　　）
A. B. C. D.
第 2 页，共 17 页第23讲 函数的零点问题 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
C C C A B
6 7 8 9 10
B C B BCD ACD
11 12 13 14 15
ABCD 、 1、 （1）证明见解析 （2）① ②证明见解析
16 17 18 19
（1） （2）（i） （ii）证明见解析 （1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 （1）证明见解析 （2）证明见解析 （1）单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为 （2） （3）证明见解析，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·浙江北斗星盟·5月联考）已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以为偶函数.
若函数有唯一零点，则该零点必为.
所以，即.
又因为，所以.
当且仅当，即，解得时，等号成立.
所以的最小值为，故选C.
【点拨】本题考查函数的零点问题，利用函数的奇偶性确定零点位置，再结合基本不等式求最值.
2.（2026·江西八所重点中学·4月联考）已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】.
在上单增，，当时，时，，故.
，即.
令.
故函数在上递增，上递减，则，所以.
【点拨】本题考查函数的零点与导数的综合应用，通过构造函数并利用导数研究其单调性与最值是解题的关键.
3.（2026·江西赣州·一模）已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数且有三个零点，则方程有三个根.
即方程有三个根，即方程有三个根，易知.
所以方程有三个根，所以与函数有三个交点.
当时，，则.
则当时，，当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为.
令得.
又无限趋向于0且时，趋向于负无穷大.
无限趋向于正无穷大时，趋向于0.
当时，，则.
则当时，，当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以的最大值为，令得.
又无限趋向于0且时，趋向于正无穷大.
无限趋向于负无穷大时，趋向于0.
作出与函数的示意图：
由图可知，或，所以或.
所以实数的取值范围是.
【点拨】本题考查函数的零点问题，通过分离参数并构造函数，利用导数研究函数的单调性与极值，结合数形结合思想是解题的关键.
4.（2026·湖北圆创联盟·一模）已知函数. 若存在正实数，使得仅有1个零点，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】的定义域为.
.
当时，由，得.
由，得.
函数在上单调递减，在上单调递增.
令，则在上单调递减，在上单调递增.
若仅有1个零点，则，即.
又，即.
代入得，化简得：.
令，则.
所以在上单调递增，且.
所以方程的解为，从而，解得.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点问题，通过求导确定函数的单调性与极值，再结合极值点处的函数值为零建立方程是解题的关键.
5.（2026·安徽淮北·二模）已知函数. 若方程有两个不同的根，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的导函数.
当时，，单调递增，方程至多有一个实根，不符合题意舍去.
当时，令，解得.
当时，单调递增.
当时，单调递减.
时，时，.
要使方程有两个不同的根则.
即.
所以，即.
令，.
故在上单调递增，又.
所以时，.
综上：的取值范围是.
【点拨】本题考查利用导数研究方程的根的个数问题，通过求导确定函数的单调性与极值，再结合极值小于零建立关于参数的不等式是解题的关键.
6.（2026·广东深圳·一模）已知函数. 若有两个零点，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于.
若，，，于是在上单调递增，至多与轴只有一个交点，矛盾.
于是，令，则等价于.
易得，因为，则.
令，则在上单调递增，在上单调递减.
则.
因为即，.
所以.
显然不符合题意，故，即.
令，.
则在上单调递增，且.
由于，所以.
由于，令，在上单调递增，则.
于是，.
由零点存在定理，存在使得.
当时，易证，则即.
由于.
取，且，则.
由零点存在定理，存在使得.
所以当时，在上有两个零点.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点问题，通过求导确定函数的单调性与极值，再结合极值大于零以及端点效应寻找异号区间是解题的关键.
7.（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为. 则的零点个数为（ 　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】求导得到，根据函数在点处的切线方程为，得到.
把代入得.
因为，所以，即.
，算出.
由前可知，.
令，求导得.
当，，在递减.
当，，在递增.
，，所以存在唯一使，即.
当，，在递减.
当，，在递增，所以.
.
又，.
根据零点存在定理，在和各有一个零点，共两个零点.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点个数，先利用切线方程求出参数，再通过二次求导确定函数的单调性与极值，结合零点存在定理即可得解.
8.（2026·福建泉州·一模）已知函数. 则的极值点个数为（ 　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】因为.
所以.
设，.
所以，其中恒成立.
令，.
则.
因为，所以.
所以当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
又，.
，，.
所以，使得，即.
故对于有.
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
所以是函数的极大值点，无极小值点，故有且仅有一个极值点.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值点，通过多次求导并结合三角函数的性质确定导函数的符号变化是解题的关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·安徽淮北·一模）已知实数，函数，数列的前项和为，若，且，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 当时，
B. 若时，，则
C.
D.
【答案】BCD
【解析】当时，，则.
所以，.
所以，所以，A错误.
由题可知，因为，所以原不等式等价于.
即.
设，因为，.
令，，.
当时，，所以在上单调递减.
，也即在上单调递减，，所以不符题意.
当时，又，令，解得.
则时，，所以在上单调递减.
又因为，所以必存在，使得时，.
也即在上单调递减，，所以不符题意.
当时，.
则时，，所以在上单调递增.
，也即在上单调递增，，所以符合题意.
综上所述，的取值范围为，B正确.
因为，所以.
即，又.
所以，.
也即当时，.
又，所以，C正确.
由（2）可知，当时，，也即.
令，则.
即.
所以，D正确.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及数列的递推关系与不等式的证明，综合性较强，需要灵活运用构造函数法和放缩法.
10.（2026·河南南阳·一模）已知函数，函数，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若对恒成立，则
B. 若有2个零点，则
C. 若有2个零点，则
D. 若有2个零点，则
【答案】ACD
【解析】当时，，因为，所以，所以，在上单调递增，恒成立.
当时，令，得，则，当时，，在上单调递减，，不合题意.
综上，，的取值范围为.A正确.
，若有2个零点，即方程有2个根.
令，，在上单调递增，在上单调递减，且时，，，解得.B错误.
由（i）知，，，，，即.
要证，即证，.
令，；，在上单调递增，，故.C正确.
对于D，，所以D正确.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及极值点偏移问题，通过构造函数并利用对数平均不等式的思想是解题的关键.
11.（2026·安徽滁州·一模）我们把称为区间的长度．若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间．已知函数，．则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若，任取的一个自映射区间，其区间的长度的概率为
B. 若存在自映射区间，则
C. 若存在自映射区间，则
D. 若存在自映射区间，则的长度
【答案】ABCD
【解析】因为恒成立，则在上单调递增，若存在自映射区间，则，即方程，即至少有两个不同实数解.
则的解集为，所以区间的选择共有种.
若，共有6种选择，所以区间的长度的概率为.A正确.
因为在上单调递增，若存在自映射区间，则，即至少有两个零点.
因为时，单调递增；时，单调递减.
若要存在两个零点，则，即.
此时，使得.
因为当时，，即函数单调递减，所以，又，所以，则，使得.
所以的取值范围为.B正确.
因为，所以.
下证：.记，则，则在上单调递增，则，即，即，所以.
所以，所以.C正确.
记，则，时，单调递减；时，单调递增；所以，即，则，即，同理.
因为函数的，且对称轴为，则方程存在两根，且，又，且，所以，则，所以区间的长度.D正确.
【点拨】本题考查新定义“自映射区间”的理解与应用，结合导数研究函数的单调性、极值与零点，以及极值点偏移问题，综合性强，难度较大.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2024·广东新南方联盟·4月联考）设函数的零点为，则当的取值为__时，的最大值为__.
【答案】、
【解析】.
令，则.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以当时，取得最大值.
【点拨】本题考查函数的零点问题，通过解方程求出零点的表达式，再利用导数求其最大值.
13.（2026·福建厦门·第二次质量检测）若函数恰有两个零点，则的取值范围是__.
【答案】
【解析】设，依题意，即有两个非负实数根.
所以或（舍）.
所以，解得或.
故填.
【点拨】本题考查函数的零点问题，通过换元法将问题转化为一元二次方程根的分布问题，利用判别式或配方法求解.
14.（2026·河北百师联盟·一模）已知函数，若函数，则的所有零点之积为__；方程有三个不同的解，则实数的范围为__.
【答案】1、
【解析】由题，函数的零点即方程的根，作出函数的图象，如图，与的图象共4个交点，从右到左依次是.
当时，，则，得，故，即.
同理，可得，所以，即的所有零点之积为1.
作出函数的图象如图，方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点.
当时，，则，设切点为，所以曲线过原点的切线斜率，解得.
所以曲线过原点的切线斜率，要使得与的图象有三个不同的交点，则，即.
所以实数的取值范围为.
【点拨】本题考查函数的零点问题，利用函数的对称性求零点之积，再结合导数的几何意义研究切线斜率，利用数形结合思想求参数范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·河北邯郸·一模）已知函数.
（1） 若，证明：.
（2） 设有两个零点.
①求的取值范围；
②证明：.
【答案】（1） 证明见解析
（2） ①；②证明见解析
【解析】（1） 证明：因为，所以.
令，则.
当时，单调递增，当时，单调递减，
则，则. 5 分
（2） ①解：由，可得.
令，则.
令，显然在上单调递增，且，
则当时，单调递减，当时，单调递增，
则.当时，，且当时，.
因为，所以由有两个零点，可知的取值范围为. 10 分
②证明：由①可知，，要证，需证，
即，即.
令，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
则，即，
则.
令，则，
则在上单调递减，则，从而. 15 分
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数的零点问题，通过分离参数并构造函数，利用导数研究其性质是解题的关键.
16.（2026·河南湘豫名校·5月预测）已知函数.
（1） 若时，恒成立，求实数的最大值.
（2） 当时，有两个极值点，且.
（i） 用表示；
（ii） 证明：所有零点之和大于.
【答案】（1） 2
（2） （i） ；（ii） 证明见解析
【解析】（1） 由题易得，所以当时，，所以.
而，所以，可得.
当时，令，得.
所以函数有两个零点，且.
又函数图象的对称轴，所以当时，.
即在上单调递增，所以存在，使得，矛盾.
以下证的充分性：，
，所以为减函数，.
故的最大值为2. 5 分
（2） （i） 由（1）知.
令，即，可得的两个极值点. 9 分
（ii） 因为，当时，，又分别为的单调递减、单调递增、单调递减区间.
当时，；当时，，
所以在区间上分别有一个零点.
因为，则.
所以.易知在上单调递减，且，
所以. 15 分
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及函数的零点问题，通过求导确定函数的单调区间，结合零点的性质进行代数变形是解题的关键.
17.（2026·河南百师联盟·5月联考）已知函数有两个不同的零点.
（1） 证明：；
（2） 当时，求的最大值；
（3） 若，数列满足，证明：.
【答案】（1） 证明见解析
（2）
（3） 证明见解析
【解析】（1） 的定义域为，.
由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，
要使有2个零点，只需，所以，即，得证. 4 分
（2） 由已知得.
设，由，可得.
将代入，得，
结合，可得.
设，则.
设，则，
因为，所以在上单调递增，.
所以在上单调递增，则，
即的最大值为. 9 分
（3） 由题意知.
设函数，则，
由不等式可知，所以在上单调递增.
所以，以此类推，可得.
从而，
整理得，
所以当时，，
所以（仅当时等号成立）.
于是. 15 分
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及数列的递推关系与不等式的证明，综合性较强，需要灵活运用极值点偏移的处理方法和放缩法.
18.（2026·湖北黄冈·4月调研）已知函数.
（1） 证明：的导函数有且仅有一个极值点；
（2） 证明：的所有零点之和大于.
【答案】（1） 证明见解析
（2） 证明见解析
【解析】（1） 证明：因为，
所以.
设，，所以，其中恒成立，
令，，
则，
因为，所以，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减；
又，，
，，，
所以，使得，即，
故对于有，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以是函数的极大值点，无极小值点，故有且仅有一个极值点. 7 分
（2） 证明：因为函数，其导函数，
，使得当时，单调递增，当时，函数单调递减，
又，所以，
因为，所以，所以，
又，故，使得，，使得，
于是可得：当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，故，
则，，所以存在使得，
所以，又，所以，
则存在使得，又，所以函数在区间上无零点；
故函数在上有两个零点，且，
由可得：，
所以，
又，
所以，
根据，可得：，
并且函数在上单调递减，所以，即，
故的两个零点之和大于. 15 分
【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值点与零点，通过多次求导确定导函数的符号变化，再结合三角函数的性质和零点存在定理是解题的关键.
19.（2026·安徽师大附中·适应性检测）已知函数.
（1） 求函数的单调区间与最小值；
（2） 若，且有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（3） 设，且，证明：，并求使不等式恒成立的最大整数.
【答案】（1） 单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为
（2）
（3） 证明见解析，
【解析】（1） 可知，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，取得极小值，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为. 4 分
（2） 若，则，
令，得，
令，依题意与有两个不同的交点，
，令，
因为和均为减函数，所以也是减函数，又，
所以当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
在处取得极大值也即最大值，
且当时，，当时，，
由图像可知实数的取值范围为. 9 分
（3） 证明：原不等式两边取对数得，
依题意，令，
当时，，
所以即在上单调递增，
令，则，
由前述分析可知当时，即，递减；
当时，即，递增，
所以在取得最小值，
从而即在上恒成立，
代入并求和得，证毕；
对不等式两边取对数得，
两边再除以得，依题意该不等式对所有正整数成立，
令，则有，解得，所以整数，
接下来证明时不等式恒成立，令，
则，
令得，
当时，当时，
因此对于所有正整数，只能在或处取得最小值，
已知，对于，
先证明一个不等式，
令，则，
在上单调递增，从而，故不等式成立，
因此，故，
所以最大整数. 15 分
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及不等式的证明，通过构造函数并利用切线放缩法是解题的关键.
第 2 页，共 17 页第23讲 函数的零点问题 · 综合测试
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·浙江北斗星盟·5月联考）已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2026·江西八所重点中学·4月联考）已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
3.（2026·江西赣州·一模）已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
4.（2026·湖北圆创联盟·一模）已知函数. 若存在正实数，使得仅有1个零点，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
5.（2026·安徽淮北·二模）已知函数. 若方程有两个不同的根，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2026·广东深圳·一模）已知函数. 若有两个零点，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
7.（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为. 则的零点个数为（ 　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.（2026·福建泉州·一模）已知函数. 则的极值点个数为（ 　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·安徽淮北·一模）已知实数，函数，数列的前项和为，若，且，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 当时，
B. 若时，，则
C.
D.
10.（2026·河南南阳·一模）已知函数，函数，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若对恒成立，则
B. 若有2个零点，则
C. 若有2个零点，则
D. 若有2个零点，则
11.（2026·安徽滁州·一模）我们把称为区间的长度．若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间．已知函数，．则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若，任取的一个自映射区间，其区间的长度的概率为
B. 若存在自映射区间，则
C. 若存在自映射区间，则
D. 若存在自映射区间，则的长度
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2024·广东新南方联盟·4月联考）设函数的零点为，则当的取值为__时，的最大值为＿＿＿＿＿＿.
13.（2026·福建厦门·第二次质量检测）若函数恰有两个零点，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
14.（2026·河北百师联盟·一模）已知函数，若函数，则的所有零点之积为__；方程有三个不同的解，则实数的范围为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·河北邯郸·一模）已知函数.
（1） 若，证明：.
（2） 设有两个零点.
①求的取值范围；
②证明：.
16.（2026·河南湘豫名校·5月预测）已知函数.
（1） 若时，恒成立，求实数的最大值.
（2） 当时，有两个极值点，且.
（i） 用表示；
（ii） 证明：所有零点之和大于.
17.（2026·河南百师联盟·5月联考）已知函数有两个不同的零点.
（1） 证明：；
（2） 当时，求的最大值；
（3） 若，数列满足，证明：.
18.（2026·湖北黄冈·4月调研）已知函数.
（1） 证明：的导函数有且仅有一个极值点；
（2） 证明：的所有零点之和大于.
19.（2026·安徽师大附中·适应性检测）已知函数.
（1） 求函数的单调区间与最小值；
（2） 若，且有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（3） 设，且，证明：，并求使不等式恒成立的最大整数.
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